等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用第2課時【知識精講+高效課堂】高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.2第2課時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用

第四章數(shù)列復(fù)舊引新等差數(shù)列的前n項和問題1你能說出推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，并準確寫出這兩個公式嗎？復(fù)舊引新等差數(shù)列的前n項和梳理等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝_________Sn＝_____________新知探索等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)問題2

等差數(shù)列{an}中，若a3＝2，求S5.新知探索等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)新知探索等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)答案由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當a1<0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當a1＞0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值.新知探索等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)梳理等差數(shù)列前n項和的最值與{Sn}的單調(diào)性有關(guān).(1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值.典例精析題型一：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)例1

(1)等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}的前3m項的和S3m；解方法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.典例精析題型一：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)典例精析題型一：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)反思與感悟等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.典例精析題型二：等差數(shù)列前n項和的最值例2在等差數(shù)列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.解方法一

∵S9＝S17，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.∴當n＝13時，Sn有最大值169.典例精析題型二：等差數(shù)列前n項和的最值例2在等差數(shù)列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.方法二同方法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，又∵n∈N*，∴當n＝13時，Sn有最大值169.典例精析題型二：等差數(shù)列前n項和的最值例2在等差數(shù)列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.方法三同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.∴當n＝13時，Sn有最大值169.典例精析題型二：等差數(shù)列前n項和的最值典例精析題型三：實際應(yīng)用例3某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？解

設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10個月應(yīng)付款55.5元.即全部付清后實際付款1105＋150＝1255.由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數(shù)列，典例精析題型三：實際應(yīng)用反思與感悟(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：①抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．②深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.跟蹤練習(xí)1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()A.13 B.35 C.49 D.63√跟蹤練習(xí)2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27√解析∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6－S3，S9－S6構(gòu)成等差數(shù)列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.跟蹤練習(xí)3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，則Sn取得最小值時n的值為()A.5 B.6 C.7 D.8√又a9>a5，所以d>0，a1<0.跟蹤練習(xí)4.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一