數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第七次作業(yè)數(shù)理統(tǒng)計實驗

士人收集整理―僅供參考學(xué)習(xí)士人收集整理―僅供參考學(xué)習(xí)#/17數(shù)學(xué)模型第七次作業(yè)數(shù)理統(tǒng)計實驗實驗?zāi)康呐c要求學(xué)會對數(shù)據(jù)的參數(shù)進(jìn)行估計和作相應(yīng)的假設(shè)檢驗學(xué)會對分布進(jìn)行檢驗和數(shù)據(jù)的秩檢驗建立相應(yīng)的統(tǒng)計模型，并用R軟件求解基本實驗區(qū)間估計已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該燈泡中隨機(jī)抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為1067919119678511269369181156920948試問這批燈泡中大約95%的燈泡至少使用多少小時；求這批燈泡能夠使用1000小時以上的概率。解：⑴根據(jù)題意，使用R軟件求解，編輯程序如下：>X<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)>t.test(X,al="g")得到如下結(jié)果：OneSamplet-testdata:Xt=23.9693,df=9,p-value=9.148e-10alternativehypothesis:truemeanisgreaterthan0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:920.8443Infsampleestimates:meanofx997.1由此知道這批燈泡中大約95%的燈泡至少使用920.8443小時。(2)>x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)>x[1]1067919119678511269369181156920948資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途>pnorm(1000,mean(x),sd(x))]0.5087941由此知道求這批燈泡能夠使用1000小時以上的概率為50.87941%假設(shè)檢驗I正常男子血小板計數(shù)均值為225X109/L,今測得20名男性油漆作業(yè)工人的血小板計數(shù)值(單位：109/L)220 188 162 230 145 160 238 188 247 113資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途126 245 164 231 256 183 190 158 224 175資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途問油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子有無差異，并說明油漆作業(yè)對人體血小板計數(shù)是否有影響。解：根據(jù)題意，設(shè)原假設(shè)為H0:與正常男子血小板計數(shù)無差異，對立假設(shè)H1:與正常男子血小板計數(shù)有差異?？梢允褂肦軟件求解此問題，>x<-c(220,188,162,230,145,160,238,188,247,113,126,245,164,231,256,183,190,158,224,175)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途>t.test(x,mu=225,alternative="less")得到如下結(jié)果：OneSamplet-testdata:xt=-3.4783,df=19,p-value=0.001258alternativehypothesis:truemeanislessthan22595percentconfidenceinterval:-Inf208.4806sampleestimates:meanofx192.15做出原假設(shè)：油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子無差異；做出備擇假設(shè)：油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子有差異。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途此時的P-值為0.002516小于0.05,拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為油漆工人的血小板計數(shù)與正常成年男子有差異。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途3.假設(shè)檢驗II為研究國產(chǎn)四類新藥阿卡波糖膠囊效果，某醫(yī)院用40名II型糖尿病病人進(jìn)行同期隨機(jī)對照試驗。試驗者將這些病人隨機(jī)等分到試驗組（阿卡波糖膠囊組）和對照組（拜唐蘋膠囊），分別測得試驗開始前和8周后的空腹血糖，算得空腹血糖下降值如表下：資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途試驗組-0.70-5.602.002.800.703.504.005.807.10-0.502.50-1.601.703.000.404.504.602.506.00-1.40資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途對照組3.706.505.005.200.800.200.603.406.60-1.106.003.802.001.602.002.201.203.101.70-2.00資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途⑴假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，試用t檢驗（討論方差相同和方差不同兩種情況)和成對t檢驗來判斷：國產(chǎn)四類新藥阿卡波糖膠囊拜唐蘋膠囊對空腹血糖的降糖效果是否相同？并分析三種檢驗方法各自的優(yōu)越性。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2)檢驗試驗組和對照組的數(shù)據(jù)的方差是否相同？解：⑴根據(jù)題意：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：以二日2即阿卡波糖膠囊組與拜糖平膠囊組空腹血糖下降值總體均數(shù)相等；H1：gN照即阿卡波糖膠囊組與拜糖平膠囊組空腹血糖下降值總體均數(shù)不相等；a=0.05。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途使用t檢驗，若兩組數(shù)據(jù)方差相同時，編輯R軟件程序如下：>x<-c(-0.70,-5.60,2.00,2.80,0.70,3.50,4.00,5.80,7.10,-0.50,2.50,-1.60,1.70,3.00,0.40,4.50,4.60,2.50,6.00,-1.40)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途>y<-c(3.70,6.50,5.00,5.20,0.80,0.20,0.60,3.40,6.60,-1.10,6.00,3.80,2.00,1.60,2.00,2.20,1.20,3.10,1.70,-2.00)資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途>t.test(x,y,var.equal=TRUE)得到如下結(jié)果：TwoSamplet-testdata:xandyt=-0.6419,df=38,p-value=0.5248alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:-2.3261791.206179sampleestimates:meanofxmeanofy2.065 2.625分析結(jié)果，p-value=0.5248>0.05,所以接受原假設(shè)H0,即試驗組與對照組沒有顯著差異。根據(jù)題意，若兩組數(shù)據(jù)方差不同時，利用R軟件進(jìn)行t檢驗：>t.test(x,y)得到如下結(jié)果WelchTwoSamplet-testdata:xandyt=-0.6419,df=36.086,p-value=0.525alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:-2.329261.20926sampleestimates:meanofxmeanofy2.065 2.625因此試驗組與對照組的沒有顯著差異。進(jìn)行成對t檢驗：>t.test(x,y,paired=TRUE)得到如下結(jié)果：Pairedt-testdata:xandyt=-0.6464,df=19,p-value=0.5257alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:-2.3731461.253146sampleestimates:meanofthedifferences-0.56即試驗組與對照組的結(jié)果也沒有顯著差異。故三中檢驗的結(jié)果都顯示兩組數(shù)據(jù)均值無差異。對比三種檢驗方式，如果兩個樣本是成對的，應(yīng)該使用成對的t檢驗，如果不使用成對t檢驗，t值會變小，p值會變大，準(zhǔn)確性差了很多。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2)方差檢驗：>var.test(x,y)得到如下結(jié)果：Ftesttocomparetwovariancesdata:xandyF=1.5984,numdf=19,denomdf=19,p-value=0.3153資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途alternativehypothesis:trueratioofvariancesisnotequalto1資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:0.63265054.0381795sampleestimates:ratioofvariances1.598361故兩組數(shù)據(jù)方差相同。4.假設(shè)檢驗III某醫(yī)院研究乳腺癌家族史對于乳腺癌發(fā)病率的影響。假設(shè)調(diào)查了10000名50-54歲的婦女，她們的母親曾患有乳腺癌。發(fā)現(xiàn)她們在那個生存期的某個時刻有400例乳腺癌，而全國在該年齡段的婦女乳腺癌的患病率為2%，這組數(shù)據(jù)能否說明乳腺癌的患病率與家族遺傳有關(guān)。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：根據(jù)題意提出假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：p=p0=2%即患病率相符；H1：pWp0即患病率不符；a=0.05。途使用R軟件進(jìn)行校驗：>binom.test(400,10000,p=0.002)得到如下結(jié)果：Exactbinomialtestdata:400and10000numberofsuccesses=400,numberoftrials=10000,p-value<資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2.2e-16alternativehypothesis:trueprobabilityofsuccessisnotequalto0.002資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:0.036243780.04402702sampleestimates:probabilityofsuccess0.04檢驗出P-值<0.05,因此不符合原假設(shè)，即這組數(shù)據(jù)不能說明乳腺癌的患病率與家族遺傳有關(guān)。.分布檢驗IMendel用豌豆的兩對相對性狀進(jìn)行雜交實驗，黃色圓滑種子與綠色皺縮種子的豌豆雜交后，第二代根據(jù)自由組合規(guī)律，理論分離比為黃圓:9331黃皺：綠圓：綠皺田:記:京正。實際實驗值為:黃圓315粒，黃皺101粒，綠圓108粒，綠皺32粒，共556粒，問此結(jié)果是否符合自由組合規(guī)律?資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：根據(jù)題意提出假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：結(jié)果符合自由組合規(guī)律；H1：結(jié)果不符合自由組合規(guī)律；a=0.05。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途使用R軟件進(jìn)行校驗，利用pearson卡方檢驗是否符合特定分布：>chisq.test(c(315,101,108,32),p=c(9,3,3得到如下結(jié)果：Chi-squaredtestforgivenprobabilitiesdata:c(315,101,108,32)X-squared=0.47,df=3,p-value=0.9254分析結(jié)果結(jié)果p-值為0.9254>0.05,所以接受原假設(shè)，即此結(jié)果符合自由組合規(guī)律。.分布檢驗II觀察每分鐘進(jìn)入某商店的人數(shù)X，任取200分鐘，所得數(shù)據(jù)表7.1所示。試分析，能否認(rèn)為每分鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布(a=0.1).資料解：根據(jù)題意提出假設(shè)：建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：每分鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布；H1：每分鐘顧客數(shù)X不服從Poisson分布;a=0.1。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途使用R軟件進(jìn)行校驗：首先利用pearson卡方檢驗是否符合泊松分布：得到如下結(jié)果：Chi-squaredtestforgivenprobabilitiesdata:YX-squared=2.1596,df=5,p-value=0.8267警告信息：Inchisq.test(Y,p=p):Chi-squared近似算法有可能不準(zhǔn)得到警告，因為PearsonX檢驗要求在分組后，至少要大于等于5，而后兩組中出現(xiàn)的顧客數(shù)是1，0，均小于5，重新分組，合并頻數(shù)小于5的組：資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途>Z<-c(92,68,28,12)>n<-length(Z);p<-p[1:n-1];p[n]<-1-q[n>chisq.test(Z,p=p)得到如下結(jié)果：Chi-squaredtestforgivenprobabilitiesdata:ZX-squared=0.9113,df=3,p-value=0.8227分析結(jié)果，p-值為0.8227>0.1,因此，接受原假設(shè)，即每分鐘顧客數(shù)X服從Poisson分布。.分布檢驗III一般認(rèn)為長途電話通過電話總機(jī)的過程是一個隨機(jī)過程，其間打進(jìn)電話的時間間隔服從指數(shù)分布，某個星期下午1：00以后最先打進(jìn)的10個電話的時間為資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途1:061:081:161:221:231:341:441:471:511:57試用Kolmogorov-Smirnov檢驗分析打進(jìn)電話的時間間隔是否服從指數(shù)分布。解：根據(jù)打進(jìn)的電話時間算出時間間隔：1:001:061:081:161:221:231:341:441:471:511:57628611110346建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)：H0：打進(jìn)電話的時間間隔服從指數(shù)分布；H1：打進(jìn)電話的時間間隔不服從指數(shù)分布；a=0.05。假設(shè)指數(shù)分布的參數(shù)九為1=0.1,利用R軟件進(jìn)行檢驗：x<-c(6,2,8,6,1,11,10,3,4,6)ks.test(x,"pexp",0.1)得到如下結(jié)果：One-sampleKolmogorov-Smirnovtestdata:xD=0.3329,p-value=0.2178alternativehypothesis:two-sided因此P-值為0.2178>0.05,因此接受原假設(shè)，即打進(jìn)電話的時間間隔是否服從指數(shù)分布。.列聯(lián)表檢驗I向120名女性和120名男性做調(diào)查，了解他們關(guān)于給誰買節(jié)日禮物最難的看法，調(diào)查結(jié)果如表7.2所示。試分析:女性和男性在關(guān)于給誰買節(jié)日禮物最難的看法上有沒有顯著差異。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：根據(jù)題意，利用R軟件輸入數(shù)據(jù)，使用chisq.test()作檢驗。>compare<-matrix(c(28,42,34,31,23,9,7,1女性男性配偶父母 子女 兄弟姐妹姻親其他親屬人收集整理，勿做商業(yè)用途>chisq.test(compare,correct=TRUE)得到如下結(jié)果：Pearson'sChi-squaredtestdata:compareX-squared=12.4666,df=5,p-value=0.02892由于p-值為0.02892<0.05,因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為女性和男性在關(guān)于給誰買節(jié)日禮物最難的看法上是有顯著差異的。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途.列聯(lián)表檢驗II為研究人腦的左右半球惡性腫瘤的發(fā)病率是否有顯著差異，對人腦惡性腫瘤和良性腫瘤的發(fā)病情況做了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表7.3所示.試進(jìn)行分析。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：根據(jù)題意，其所給數(shù)據(jù)不滿足X2檢驗條件，固使用Fisher精確檢驗。x<-matrix(c(9,1,3,3),nc=2)fisher.test(x)得到如下結(jié)果：Fisher'sExactTestforCountDatadata:xp-value=0.1181alternativehypothesis:trueoddsratioisnotequalto1資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途95percentconfidenceinterval:0.4313171521.0928115sampleestimates:oddsratio7.63506由此計算出的p-值=0.1181>0.05,并且區(qū)間估計得到的區(qū)間包含有1,因此說明兩個變量是獨立的，即認(rèn)為左右半球惡性腫瘤的發(fā)病率并無顯著差異。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途W(wǎng)ilcoxon秩和檢驗I(1)為了了解新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法的效果是否比原來方法的效果有所提高，從水平相當(dāng)?shù)?0名學(xué)生中隨機(jī)地各選5名接受新方法和原方法的教學(xué)試驗。專家對10名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力予以綜合評估，并按其數(shù)學(xué)能力由弱到強(qiáng)排序如下資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途對口=0.05，檢驗新方法是否比原方法顯著地提高了教學(xué)效果。(2)若新方法與原方法得到排序結(jié)果改為能否說明新方法比原方法顯著提高了教學(xué)效果?解：因為Wilcoxon秩和檢驗本質(zhì)只需排出樣本的秩次，而且題目中的數(shù)據(jù)本身就是一個排序，因此可直接使用，編寫R程序如下：得到如下結(jié)果：Wilcoxonranksumtestdata:xandyW=19,p-value=0.1111alternativehypothesis:truelocationshiftisgreaterthan0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途得到的p-值為0.1111>0.05，因此接受原假設(shè)，即并不能認(rèn)為新的教學(xué)效果顯著優(yōu)于原方法。(2)同第一問，編寫R程序如下：>x<-c(4,6,7,9,10)>y<-c(1,2,3,5,8)>wilcox.test(x,y,alternative="greater得到如下結(jié)果：Wilcoxonranksumtestdata:xandyW=21,p-value=0.04762alternativehypothesis:truelocationshiftisgreaterthan0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途得到的p-值為，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為新方法比原方法顯著提高了教學(xué)效果。Wilcoxon秩和檢驗II為比較一種新療法對某種疾病的治療效果，將40名患者隨機(jī)地分為兩組，每組20人，一組采用新療法，另一組用原標(biāo)準(zhǔn)療法.經(jīng)過一段時間的治療后，對每個患者的療效作仔細(xì)的評估，并劃分為差、較差、一般、較好和好五個等級.兩組中處于不同等級的患者人數(shù)如表7.4所示。試分析，由此結(jié)果能否認(rèn)為新方法的療效顯著地優(yōu)于原療法(a=0.05)。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：根據(jù)題意，可以將不同方法治療后的結(jié)果用5個不同的值表示，1表示最差，5表示最好，這樣就可以為這些病人排序，因此，可用Wilcoxon秩和檢驗來分析問題。編寫R程序：得到如下結(jié)果：Wilcoxonranksumtestwithcontinuitycorrectiondata:xandyW=266,p-value=0.05509alternativehypothesis:truelocationshiftisnotequalto0資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途由計算結(jié)果知道p-的值為0.05509大于0.05,不能拒絕原假設(shè)，尚不能認(rèn)為新方法的療效顯著優(yōu)于原療法。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途7.3加分實驗(產(chǎn)品裝箱問題)A廠把加工好的螺母封裝成盒，標(biāo)準(zhǔn)為200個/盒。封裝好的產(chǎn)品賣給用戶。如果盒中的螺母個數(shù)少于200，會造成用戶的生產(chǎn)線停頓，用戶會因此向該廠索賠。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途⑴封裝生產(chǎn)線采用稱重計數(shù)的方式。已知螺母的重量X?N(100,4)(單位：克)，封裝時電腦自動稱量盒中螺母的重量，并由此估計螺母的個數(shù)，顯示在屏幕上?？刂迫藛T通過終端設(shè)定每盒中應(yīng)該裝填的螺母數(shù)，就可以開動由電腦控制的封裝線了。為了盡量避免出現(xiàn)不足的情況，控制人員設(shè)定的裝填個數(shù)一般比200大一些。假定盒子及其誤差可以忽略不計，電子稱稱量重量為p克的物體所得讀數(shù)服從均值為內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)差為3的正態(tài)分布。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途⑴試問：設(shè)定的個數(shù)至少為多少時，才能保證盒中實際螺母數(shù)少于200的概率不大于0.0001？(ii)設(shè)每個螺母成本為1元錢，用戶每天需要200盒螺母，用戶的生產(chǎn)線每停頓一次損失5000元，這些損失全部由A廠承擔(dān)。問設(shè)置數(shù)為多少時該廠的平均損失最少？資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2)若螺母重量分布的方差未知，采用下列方法：開始時放5個在盒中并從控制終端輸入盒中個數(shù)為5，如此直至盒中有20個。在此過程中，電腦會自動稱量盒中螺母并記錄下每5個螺母的重量。然后，可以開始上述的封裝過程。此時，試回答上述兩個問題。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解：⑴使用Matlab和R軟件兩種方法求解(兩種思路)⑴第一問使用兩種方法求解(Matlab和R軟件)使用Matlab求解：對題目意思的理解說明：1)題目中的正態(tài)分布N(100,4)中的4看做標(biāo)準(zhǔn)差，若為方差，可以在程序中將sigma改為2即可。2)電腦根據(jù)稱重情況T判斷是否符合設(shè)定個數(shù)n的原則：round(T/100)=n就表示滿足要求。應(yīng)用MC方法對系統(tǒng)進(jìn)行模擬，系統(tǒng)模擬封裝100萬盒螺母，源程序如下：>>functiony=test2(n)%%該程序計算一直終端控制個數(shù)時，求P(m<200)，即實際個數(shù)小于200的個數(shù)%%采用MC算法%%輸入?yún)?shù)：n表示終端控制個數(shù)，輸出為概率ymax=210;mu=100;sigma=4;T=0;all=1000000;out=0;D=tril(ones(max,max),0);%下三角矩陣fort=1:allifmod(t,all/100)==0disp(['正在計算次數(shù)'，num2str(t),'剩余次數(shù)'，num2str(all-t),'請等待...']);資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途endT0=normrnd(mu,sigma,max,1);%生成一批螺母T0=D*T0;%累加螺母重量T=normrnd(T0,3);%機(jī)器稱重T=round(T/100);%機(jī)器估算個數(shù)iffind(T==n)<200%實際個數(shù)小于200就計數(shù)out=out+1;endend%forty=out/all;end得到設(shè)定202個可以滿足要求。具體結(jié)果如下表所示：設(shè)定個數(shù)實際個數(shù)少于200個的概率2000.17672010.00362025.00E-062030使用R軟件求解：若使用R軟件進(jìn)行求解，可套用現(xiàn)成的函數(shù)，題目可以理解為當(dāng)測量總重