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1第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動2

剛體的基本運動可以分為平動和轉(zhuǎn)動,剛體的各種復(fù)雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。平動的剛體可看作質(zhì)點。剛體的轉(zhuǎn)動比較復(fù)雜,我們只研究定軸轉(zhuǎn)動。3.1剛體運動的基本形式

剛體的定軸轉(zhuǎn)動是指剛體上各點都繞同一直線作圓周運動,而直線本身在空間的位置保持不動的一種轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。3剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點:1.各質(zhì)點圓周運動的平面垂直于轉(zhuǎn)軸線,圓心在軸線上,這個平面我們稱為轉(zhuǎn)動平面。2.剛體上各個質(zhì)點都在作圓周運動,但各質(zhì)點圓周運動的半徑不一定相等。3.各質(zhì)點的位矢在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度即角位移是相同的。各質(zhì)點的角速度和角加速度是相同的。42.剛體的角量描述轉(zhuǎn)動方程角位移與轉(zhuǎn)動方向符合右手法則角速度=(t)角加速度做定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角量與線量的關(guān)系:53.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律1.力對轉(zhuǎn)軸的矩力對固定點的矩對軸的矩就等于力對固定點O的矩。力對固定軸的矩(1)力垂直轉(zhuǎn)軸OPdr(2)力與轉(zhuǎn)軸不垂直F⊥θF∥轉(zhuǎn)軸orFz轉(zhuǎn)動平面

將力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。

平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果,對軸的矩為零。即大小:6d)定軸轉(zhuǎn)動中,力矩之和與合力的矩是不同的概念,不要混淆。a)當所給的力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),力對轉(zhuǎn)軸的矩與力對交點O的矩等值。但不能說完全相同。c)同一個力對不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣;b)力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時力對該轉(zhuǎn)軸的矩為零;說明:力矩的計算

計算力對某一轉(zhuǎn)軸的力矩,若力的作用點不是固定在同一處,則應(yīng)當采取分小段的辦法,先計算分力產(chǎn)生的矩,再求和。7例1一勻質(zhì)細桿,長為l質(zhì)量為m,在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動,求摩擦力的力矩M阻。解:桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用,但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同細桿的質(zhì)量密度質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元受阻力矩:細桿受的阻力矩8例2質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤,在摩擦系數(shù)為的水平面上繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動,求摩擦力的力矩M阻。解:分割圓盤為圓環(huán)負號表示力矩的方向與圓盤轉(zhuǎn)動的角速度方向相反92.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)動軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。注意幾點:1.上式是矢量式(在定軸轉(zhuǎn)動中力矩只有兩個方向);2.M、J、是對同一軸而言的;4.轉(zhuǎn)動慣量J是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度;5.剛體轉(zhuǎn)動定律的地位與牛頓第二定律相當。3.具有瞬時性,是力矩的瞬時效應(yīng);10剛體定軸轉(zhuǎn)動定律(具體解釋)

考慮剛體上某一質(zhì)元,

剛體外其他物體對它的合作用力(外力)為,剛體上其它質(zhì)元對它的作用力為對用牛頓第二定律:法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸,力矩為零。11兩邊乘以ri對所有質(zhì)元求和外力矩之和內(nèi)力矩之和0轉(zhuǎn)動慣量上式簡寫成剛體定軸轉(zhuǎn)動定律123.定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量

剛體對固定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體:(面質(zhì)量分布)(線質(zhì)量分布)單位:kgm213例1.在無質(zhì)輕桿的b處和3b處各系質(zhì)量為2m和m的質(zhì)點,可繞O軸轉(zhuǎn)動,求:質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量J。解:由轉(zhuǎn)動慣量的定義例2.半徑為R質(zhì)量為M的圓環(huán),繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動,求轉(zhuǎn)動慣量J。解:分割質(zhì)量元dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為14oR例3.一質(zhì)量為m,半徑為R的均勻圓盤,求對通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:rdr15例4.

如圖所示,一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)空心圓柱體(即圓筒圓筒)其內(nèi)、外半徑分別為R1和R2。試求對幾何軸oz的轉(zhuǎn)動慣量。16例5.長度為L,質(zhì)量為m的均勻細棒AB的轉(zhuǎn)動慣量。(1)對于通過棒的一端與棒垂直的軸。

(2)對于通過棒的中心與棒垂直的軸。解(1)細桿為線質(zhì)量分布,單位長度的質(zhì)量為:(2)對于通過棒的中心的軸174.平行軸定理式中JC:相對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量;

JA:相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量;

兩軸平行,兩軸間的距離為L/2。剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量J,等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量JC加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。18例6.計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。(已知:擺錘質(zhì)量為m,半徑為r,擺桿質(zhì)量也為m,長度為2r。)rO解:擺桿轉(zhuǎn)動慣量:擺錘轉(zhuǎn)動慣量(平行軸定理):19例1.一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪(可當作均質(zhì)圓盤)上面繞有細繩,繩的一端固定在滑輪邊上,另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦,求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。Mg解:剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例也可用機械能守恒定律20例2.如圖所示,一均勻細棒,可繞通過其端點并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。已知棒長為l,質(zhì)量為m,開始時棒處于水平位置,令棒由靜止下擺,求:(1)棒在任意位置時的角加速度;(2)角為300,900時的角速度。(2)也可用機械能守恒定律21例3.兩個勻質(zhì)圓盤同軸地粘結(jié)在一起,構(gòu)成一個組合輪。小圓盤的半徑為r,質(zhì)量為m;大圓盤的半徑r’=2r,質(zhì)量m’=2m。組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸O轉(zhuǎn)動,對O軸的轉(zhuǎn)動慣量J=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩,細繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B,系統(tǒng)從靜止開始運動,繩與盤無相對滑動且長度不變。求(1)組合輪的角加速度;(2)當物體上升高度h時,組合輪的角速度。解:(1)(2)也可用機械能守恒定律22力矩功不是新概念,只是力做功的另一種表達方式。剛體在力作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移d力作功為強調(diào):內(nèi)力矩對做定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功為零。1.力矩的功3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的功與能232.剛體的動能質(zhì)點動能:剛體上所有質(zhì)元的動能之和為:——剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能24設(shè)在外力矩M的作用下,剛體繞定軸發(fā)生角位移d

元功:3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的剛體在某一狀態(tài)的動能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理:合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。

這一定理也可以通過剛體的轉(zhuǎn)動定理推導(dǎo)得到。

254.剛體的重力勢能

剛體的重力勢能可按質(zhì)心攜帶總質(zhì)量在重力場中的勢能來計算。5.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理質(zhì)點系的功能定理:剛體中,若則合外力矩作功之和,等于系統(tǒng)機械能的增量——功能原理即若,6.剛體定軸轉(zhuǎn)動機械能守恒合外力矩作功等于0,系統(tǒng)機械能守恒。26例1.質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤,以初角速度0在摩擦系數(shù)為的水平面上繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動,問:圓盤轉(zhuǎn)動幾圈后靜止?解:ppt8已經(jīng)計算出摩擦阻力矩動能定理:轉(zhuǎn)過的圈數(shù):27例2.一長為l

,質(zhì)量為m的均勻細桿OA,可繞通過其一端點O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動。已知另一端點A過最低點時的速率為v0,桿對通過端點O而垂直于桿長的軸的轉(zhuǎn)動慣量J=ml2/3

,若空氣阻力及軸上的摩擦力均忽略不計,求桿擺動時A點能夠升高的最大高度。也可用機械能守恒定律28例2.如圖所示,將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點,桿的質(zhì)量與單擺的擺錘相等,均為m

。開始時直桿自然下垂,將單擺的擺錘拉到高度h0,令它自靜止狀態(tài)下垂,于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度h。chch’h=3h0/2bamlhol解:碰撞前單擺擺錘在最低位置的速度大小為鉛直位置彈性碰撞:角動量守恒、機械能守恒。29設(shè)碰撞后直桿的角速度為,擺錘的速度為v’。由機械能守恒,有:聯(lián)解得:①②碰撞后,擺錘的運動仍滿足機械能守恒,擺錘可達到的高度為:直桿的運動也滿足機械能守恒,質(zhì)心達到的高度為:直桿下端達到的高度為:由角動量守恒,有:例4.如圖所示,滑輪轉(zhuǎn)動慣量為0.01kgm2,半徑為7cm,物體質(zhì)量為5kg,由一繩與倔強系數(shù)k=200N/m的彈簧相連,若繩與滑輪間無相對滑動,滑輪軸上的摩擦忽略不計,求:(1)當繩拉直,彈簧無伸長時,使物體由靜止而下落的最大距離;(2)物體速度達到最大值對應(yīng)的位置及最大速率。313.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量及守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量質(zhì)元對Oz軸的角動量為剛體對OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量JZ定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量可簡寫為322、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動定律:定軸轉(zhuǎn)動剛體所受的合外力矩等于剛體的角動量對時間的變化率。作用在剛體上的沖量矩等于在作用時間內(nèi)角動量的增量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理微分形式33二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理守恒定律剛體對定軸的角動量定理當時,則剛體對定軸的角動量守恒定律:當剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之和為零時,剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。注意:該定律不但適用于剛體,同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。

34角動量守恒,由于,所以有以下兩種結(jié)果:即剛體在受合外力矩為0時,原來靜止則永遠保持靜止,原來轉(zhuǎn)動的將永遠轉(zhuǎn)動下去。證明了牛頓第一定律。a)對于定軸的剛體,因為J為常數(shù),所以其角速度也為常數(shù)。b)對于定軸的非剛體,轉(zhuǎn)動慣量J是變化的,若角動量守恒,即J=C,則有:35經(jīng)典運動學(xué)解決問題方法總結(jié):1、由質(zhì)點和剛體組成的系統(tǒng),既有質(zhì)點的運動,又有剛體的轉(zhuǎn)動,這時,一般按轉(zhuǎn)動來處理更方便。如研究質(zhì)點與剛體的碰撞問題,可以把質(zhì)點和剛體看成一個系統(tǒng),碰撞期間,系統(tǒng)所受的合外力矩為零,對系統(tǒng)應(yīng)用角動量守恒定律。2、求加速度/角加速度:用牛頓第二定律/轉(zhuǎn)動定律3、求速度/角速度與時間的關(guān)系:用動量定理/角動量定理4、求速度/角速度與路程的關(guān)系:動能定理、功能原理或機械能守恒定律36mll擺球在最低位置與杠碰撞:若為彈性碰撞:則碰撞過程能量守恒,角動量守恒,但動量不守恒若為非彈性碰撞:則碰撞過程能量不守恒守恒,動量不守恒,但角動量守恒m1llm2擺球m1在最低位置與m2碰撞:若為彈性碰撞:則碰撞過程能量守恒,角動量守恒,動量也守恒若為非彈性碰撞:則碰撞過程能量不守恒守恒,但角動量守恒,動量也守恒m2m1v兩球在光滑的水平面上碰撞:若為彈性碰撞:則碰撞過程能量守恒,動量也守恒若為非彈性碰撞:則碰撞過程能量不守恒守恒,但動量守恒碰撞問題37例1.在摩擦系數(shù)為桌面上有細桿,質(zhì)量為m、長度為l,以初始角速度0繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動,問細桿經(jīng)過多長時間停止轉(zhuǎn)動。解:以細桿為研究對象,受力分析,重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩,只有摩擦力產(chǎn)生力矩。分割質(zhì)量元dm桿的質(zhì)量密度質(zhì)元受的摩擦力矩細桿受的摩擦力矩角動量定理:也可用運動學(xué)法3812例2.人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量J0=60kg·m2,伸臂時臂長為1m,收臂時臂長為0.2m。人站在摩擦可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上,每只手抓有質(zhì)量m=5kg的啞鈴。伸臂時轉(zhuǎn)動角速度1

=3s-1,求收臂時的角速度2

。解:整個過程合外力矩為0,角動量守恒由轉(zhuǎn)動慣量的減小,角速度增加。39解:兩飛輪通過摩擦達到共同速度,合外力矩為0,系統(tǒng)角動量守恒。共同角速度嚙合過程機械能損失:例3.兩個共軸飛輪轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2,角速度分別為1

、2,求兩飛輪嚙合后共同的角速度。嚙合過程機械能損失。40例4.有一長為l,質(zhì)量為m1的均勻細棒,靜止平放在光滑水平桌面上,它可繞通過其端點O,且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為m2

、水平運動的小滑塊,從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞,并被棒反向彈回,

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