計量經(jīng)濟學(xué)第02章經(jīng)濟時間序列的季節(jié)調(diào)整、分解和平滑

第二章經(jīng)濟時間序列的季節(jié)調(diào)整、趨勢分解與指數(shù)平滑為什么要進行季節(jié)調(diào)整、趨勢分解和指數(shù)平滑？

在經(jīng)濟分析中，季節(jié)變動要素和不規(guī)則要素往往掩蓋了經(jīng)濟發(fā)展中的基本變動趨勢，混淆了經(jīng)濟發(fā)展中其他客觀變化要素，以致難以深入研究和正確理解經(jīng)濟規(guī)律，給分析經(jīng)濟發(fā)展趨勢和判斷經(jīng)濟狀態(tài)帶來困難。因此，需要在經(jīng)濟分析之前將經(jīng)濟時間序列進行季節(jié)調(diào)整，剔除其中的季節(jié)變動要素和不規(guī)則要素。而利用趨勢分解方法可以把趨勢和循環(huán)要素分離開來，從而研究經(jīng)濟的長期趨勢變動和景氣循環(huán)變動。對某些經(jīng)濟時間序列(如股票序列)，不存在明顯的趨勢變動和季節(jié)變動。一般，我們使用指數(shù)平滑方法對這樣的時間序列進行擬合及預(yù)測。1

季節(jié)調(diào)整：通過X12調(diào)整出TC/S/I

趨勢分解：通過HP濾波分解出T/C

指數(shù)平滑：對不存在季節(jié)變動和趨勢變動的時間序列進

行擬合和預(yù)測。經(jīng)濟指標的月度或季度時間序列包含4種變動要素(TCSI)：

(1)長期趨勢要素(T):

代表經(jīng)濟時間序列長期的趨勢特性。

(2)循環(huán)要素(C):是以數(shù)年為周期的一種周期性變動。

[趨勢循環(huán)(TC：TrendCycle):代表經(jīng)濟時間序列長期的趨勢特性,包含了趨勢T和循環(huán)C兩個要素；季節(jié)調(diào)整方法只能分解出TC；將T和C分解開要靠趨勢分解方法。]2

(3)季節(jié)要素(S：SeasonalFactors;也稱季節(jié)因子):是每年重復(fù)出現(xiàn)的循環(huán)變動，以12個月或4個季度為周期的周期性影響，由溫度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季節(jié)要素和循環(huán)要素的區(qū)別在于季節(jié)變動是固定間距（如季或月）中的自我循環(huán)，而循環(huán)要素是從一個周期變動到另一個周期，間距比較長且不固定的一種周期性波動。

(4)不規(guī)則要素

(I，IrregularComponent):又稱隨機因子、殘余變動或噪聲，其變動無規(guī)則可循，這類因素是由偶然發(fā)生的事件引起的，如罷工、意外事故、地震、水災(zāi)、惡劣氣候、戰(zhàn)爭、法令更改和預(yù)測誤差等。32.2

季節(jié)調(diào)整

目前有4種比較常用的季節(jié)調(diào)整方法：X11方法CensusX12方法移動平均方法(MAM)Tramo/Seats方法42.2.1

X11季節(jié)調(diào)整方法

1954年美國商務(wù)部人口普查局(BureauofCensus，DepartmentofCommerce)在美國全國經(jīng)濟研究局(NBER)戰(zhàn)前研究的移動平均比率法(TheRatio-MovingAverageMethod)的基礎(chǔ)上，開發(fā)了關(guān)于季節(jié)調(diào)整的最初的電子計算機程序，1965年10月發(fā)表了X-11方法，這一方法歷經(jīng)幾次演變，已成為一種相當(dāng)精細、典型的季節(jié)調(diào)整方法。5乘法模型（Multiplicative）：適用于序列可被分解為趨勢項與季節(jié)項的乘積（意味著兩者相互影響的關(guān)系），只適用于序列值都為正的情形。加法模型（Additive）：適用于序列可被分解為趨勢項與季節(jié)項的和（意味著兩者相互獨立的關(guān)系）。EViews:在打開的月度或季度序列表中選Proc/SeasonalAdjustment/X116

如果在季節(jié)調(diào)整對話框中選擇X11選項，調(diào)整后的序列及因子序列會被自動存入EViews工作文件中，在過程的結(jié)尾X-11簡要的輸出及錯誤信息也會在序列窗口中顯示。

調(diào)整后的序列的名字，EViews軟件在原序列名后加SA；分解出的季節(jié)要素通過在Factors框中在原序列名后加SF命名。但也可以改變調(diào)整后的序列名，這些將被存儲在工作文件中。需要注意，季節(jié)調(diào)整的觀測值的個數(shù)是有限制的。X-11只作用于含季節(jié)數(shù)據(jù)的序列，需要至少4整年的數(shù)據(jù)，最多能調(diào)整20年的月度數(shù)據(jù)及30年的季度數(shù)據(jù)。7

2.2.2

X12季節(jié)調(diào)整方法

美國商務(wù)部人口普查局的X12季節(jié)調(diào)整程序是在X11方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，包括X11季節(jié)調(diào)整方法的全部功能，增加了5個新功能：(1)

增加了季節(jié)、趨勢循環(huán)和不規(guī)則要素分解模型選擇的功能；(2)外部影響的調(diào)整；(3)貿(mào)易日和節(jié)假日影響的調(diào)節(jié)功能；

(4)新的季節(jié)調(diào)整結(jié)果穩(wěn)定性診斷功能；(5)增加X12-ARIMA模型的建模和模型選擇功能。8

X12季節(jié)調(diào)整方法的核心算法是擴展的X11季節(jié)調(diào)整程序。共包括4種季節(jié)調(diào)整的分解形式：乘法、加法、偽加法和對數(shù)加法模型。注意：采用乘法、偽加法和對數(shù)加法模型進行季節(jié)調(diào)整時，時間序列中不允許有零和負數(shù)。①加法模型(2.2.1)②乘法模型：(2.2.2)③對數(shù)加法模型：(2.2.3)④偽加法模型：(2.2.4)

1．季節(jié)調(diào)整的模型選擇9

調(diào)用X12季節(jié)調(diào)整過程，在序列窗口選擇Procs/SeasonalAdjustment/CensusX12，打開一個對話框：10①X11方法（X11Method）

這一部分指定季節(jié)調(diào)整分解的形式：乘法；加法；偽加法（此形式必須伴隨ARIMA說明）；對數(shù)加法。注意乘法、偽加法和對數(shù)加法不允許有零和負數(shù)。

②季節(jié)濾波(SeasonalFilter)

當(dāng)估計季節(jié)因子時，允許選擇季節(jié)移動平均濾波（月別移動平均項數(shù)），默認的是X12自動確定。近似地可選擇(X11default)。需要注意如果序列短于20年，X12不允許指定3×15的季節(jié)濾波。

X12方法的季節(jié)調(diào)整頁面有4個選擇框，介紹如下：11

④保存調(diào)整后的分量序列（ComponentSeriestosave）

X12將被調(diào)整的序列名作為缺省列在Basename框中，可以改變序列名。在下面的多選鈕中選擇要保存的季節(jié)調(diào)整后分量序列，X12將加上相應(yīng)的后綴存在工作文件中：

·最終的季節(jié)調(diào)整后序列（＿SA）；

·最終的季節(jié)因子（＿SF）；

·最終的趨勢—循環(huán)序列（＿TC）；

·最終的不規(guī)則要素分量（＿IR）；

·季節(jié)/貿(mào)易日因子（＿D16）；

·假日/貿(mào)易日因子（＿D18）；③趨勢濾波（TrendFilter(Henderson)）

當(dāng)估計趨勢—循環(huán)分量時，允許指定亨德松移動平均的項數(shù)，可以輸入大于1和小于等于101的奇數(shù)，默認的是由X12自動選擇。12例2.1利用X12加法模型進行季節(jié)調(diào)整

圖2.1a社會消費品零售總額原序列圖2.1b社會消費品零售總額的TC序列

圖2.1c社會消費品零售總額IR序列

圖2.1d社會消費品零售總額的SF序列

1314

設(shè)Yt表示一個無奇異值的月度時間序列，通過預(yù)測和回推來擴展序列使得在序列的尾端不需要對季節(jié)調(diào)整公式進行修改。把Yt分解為趨勢循環(huán)項TCt

、季節(jié)項St和不規(guī)則要素It?，F(xiàn)以加法模型為例，介紹X12季節(jié)調(diào)整方法的核心算法（為敘述簡便而不考慮補欠項的問題）。共分為三個階段：3．X12季節(jié)調(diào)整方法的核心算法15①通過中心化12項移動計算平均趨勢循環(huán)要素的初始估計

(2.2.5)②計算SI項的初始估計

(2.2.6)③通過3×3移動平均計算季節(jié)因子S的初始估計

(2.2.7)④消除季節(jié)因子中的殘余趨勢

(2.2.8)⑤季節(jié)調(diào)整結(jié)果的初始估計

(2.2.9)第一階段季節(jié)調(diào)整的初始估計16①利用Henderson移動平均公式計算暫定的趨勢循環(huán)要素

(2.2.10)②計算暫定的SI項

(2.2.11)③通過3×5項移動平均計算暫定的季節(jié)因子

(2.2.12)④計算最終的季節(jié)因子

(2.2.13)⑤季節(jié)調(diào)整的第二次估計結(jié)果

(2.2.14)第二階段計算暫定的趨勢循環(huán)要素和最終的季節(jié)因子17①利用Henderson移動平均公式計算最終的趨勢循環(huán)要素

(2.2.15)②計算最終的不規(guī)則要素

(2.2.16)

第三階段計算最終的趨勢循環(huán)要素和最終的不規(guī)則要素3.貿(mào)易日和節(jié)假日影響（略）

（Eviews節(jié)假日調(diào)整只適合美國）4.X12-ARIMA模型（略）5.外部影響調(diào)整（略）6.診斷（略）182.3趨勢分解

季節(jié)調(diào)整方法可以對經(jīng)濟時間序列進行分解，但在季節(jié)調(diào)整方法中，趨勢和循環(huán)要素視為一體不能分開。這里專門討論如何將趨勢和循環(huán)要素進行分解的方法。測定長期趨勢有多種方法，比較常用的方法有回歸分析方法、移動平均法、階段平均法(phaseaverage，PA方法)、HP濾波方法和頻譜濾波方法（frequency(band-pass)filter，BP濾波）。本節(jié)主要介紹HP濾波方法。19Hodrick-Prescott（HP）濾波

在宏觀經(jīng)濟學(xué)中，人們非常關(guān)心序列組成成分中的長期趨勢，Hodrick-PrescottFilter是被廣泛使用的一種方法。該方法在HodrickandPrescott(1980)(其中Prescott為2004年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主)分析戰(zhàn)后美國經(jīng)濟周期的論文中首次使用。我們簡要介紹這種方法的原理。設(shè){Yt}是包含趨勢成分和循環(huán)成分的經(jīng)濟時間序列，

{YtT}是其中含有的趨勢成分，

{YtC}是其中含有的循環(huán)成分。則

(2.3.1)

計算HP濾波就是從{Yt}中將{YtT}分離出來。20一般地，時間序列{Yt}中的不可觀測部分趨勢{YtT}常被定義為下面最小化問題的解：

(2.3.2)其中：c(L)是延遲算子多項式

(2.3.3)

將式(2.3.3)代入式(2.3.2)，則HP濾波的問題就是使下面損失函數(shù)最小，即

(2.3.4)21

最小化問題用[c(L)YtT]2

來調(diào)整趨勢的變化，并隨著的變化而變化。這里有一個權(quán)衡問題，要在趨勢要素對實際序列的跟蹤程度和趨勢光滑程度之間作一個選擇。稱作平滑參數(shù)(smoothingparameter),

越小，趨勢線越接近于實際曲線；=0時，滿足最小化問題的趨勢等于序列{Yt}，即趨勢曲線與實際曲線重合；

增大時，估計趨勢中的變化總數(shù)相對于序列中的變化減少，即越大，估計的趨勢線越光滑；

趨于無窮大時，估計趨勢接近線性趨勢(approachesalineartrend.)。一般經(jīng)驗地，的取值如下：Youmayspecify

directly.Thedefaultistouseapowerruleof2,yieldingtheoriginalHodrickandPrescottvaluesfor:22

EViews軟件操作：使用Hodrick-Prescott濾波來平滑序列，選擇Procs/HodrickPrescottFilter出現(xiàn)下面的HP濾波對話框：

首先對平滑后的序列給一個名字，EViews將默認一個名字，也可填入一個新的名字。然后給定平滑參數(shù)的值，年度數(shù)據(jù)取100，季度和月度數(shù)據(jù)分別取1600和14400。不允許填入非整數(shù)的數(shù)據(jù)。點擊OK后，EViews與原序列一起顯示處理后的序列。注意只有包括在當(dāng)前工作文件樣本區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)才被處理，平滑后序列區(qū)間外的數(shù)據(jù)都為NA。23HP濾波的三大應(yīng)用領(lǐng)域:(1)剔除趨勢成分，利用循環(huán)成分進行周期波動分析和景氣分析；(2)剔除循環(huán)成分，利用趨勢成分進行經(jīng)濟分析；(2)潛在產(chǎn)出和缺口分析。文獻：中國服務(wù)貿(mào)易周期波動分析

《中國服務(wù)貿(mào)易出口周期波動的實證分析》

《我國GDP增長率序列中趨勢成分和周期成分的分解》例2.3利用HP濾波方法求經(jīng)濟時間序列的趨勢項T

24例2.4利用HP濾波方法求潛在產(chǎn)出和產(chǎn)出缺口

設(shè){Yt}為我國的季度GDP指標，利用季節(jié)調(diào)整方法將GDP中的季節(jié)因素和不規(guī)則因素去掉，得到GDP_TC序列。本例的潛在產(chǎn)出Y*,

即趨勢利用HP濾波計算出來的{YtT}來代替，GDP的循環(huán)要素{YtＣ}序列由式(2.3.6)計算：

(2.3.6)25圖2.7顯示的GDP的循環(huán)要素{YtC}序列實際上就是圍繞趨勢線上下的波動，稱為GDP缺口序列。它是一個絕對量的產(chǎn)出缺口。也可以用相對量表示產(chǎn)出缺口，本例用Gapt來表示相對產(chǎn)出缺口，可由下式計算得到：

(2.3.7)

見下頁圖2.8的分析：26觀察圖2.8，可以發(fā)現(xiàn)我國從1997年以來，產(chǎn)出缺口Gap和通貨膨脹率之間存在明顯的正相關(guān)關(guān)系。從1998年到1999年，由于受到亞洲金融危機的影響，我國的出口增長速度近于停滯，宏現(xiàn)經(jīng)濟增長持續(xù)減速，出現(xiàn)了生產(chǎn)能力過剩的現(xiàn)象。1998年年底實際產(chǎn)出開始低于潛在產(chǎn)出，即產(chǎn)出缺口由正缺口轉(zhuǎn)為負缺口，并且逐漸變大，使得這一階段的通貨膨脹率也大幅降低，從1997年第l季度的5.2％下降到1999年第2季度的-2.1％。2000年以來，中國經(jīng)濟形勢持續(xù)好轉(zhuǎn)，經(jīng)濟增長加快，負產(chǎn)出缺口逐漸變小，在2002年下半年實際產(chǎn)出再次高于潛在產(chǎn)出，出現(xiàn)了正缺口，這就部分緩解了通貨緊縮壓力，物價水平也相應(yīng)出現(xiàn)了小幅上揚的趨勢。2001年下半年再次出現(xiàn)負產(chǎn)出缺口，2003年后持續(xù)回升，2006年后出現(xiàn)快速上升局面，2007年出現(xiàn)較大的正產(chǎn)出缺口。272.4指數(shù)平滑

季節(jié)調(diào)整和趨勢分解方法適用于經(jīng)濟時間序列有明顯的季節(jié)波動和趨勢變動。有些經(jīng)濟時間序列（如股票數(shù)據(jù)）不具有明顯的季節(jié)波動和趨勢變動，對于這樣的單指標時間序列數(shù)據(jù)，一般采用指數(shù)平滑方法進行擬合和預(yù)測。指數(shù)平滑主要方法有：(1)單指數(shù)平滑(單參數(shù)模型，適用于序列值在一個常數(shù)均值上下隨機波動的情況，無趨勢及季節(jié)要素)(2)雙指數(shù)平滑(單參數(shù)模型，適用于有線性趨勢的序列)(3)Holt-Winters乘法模型(三參數(shù)模型，適用于序列具有線性趨勢

和乘法季節(jié)變化)(4)Holt-Winters加法模型(三參數(shù)模型，適用于具有線性時間趨勢

和加法模型的季節(jié)變化)(5)Holt-Winters無季節(jié)模型(兩參數(shù)模型，適用于具有線性時間趨勢且無季節(jié)變差的情形)28

平滑設(shè)定：要用指數(shù)平滑法預(yù)測，選擇Procs/ExponentialSmoothing顯示如下對話框29

1．平滑方法

在5種方法中選擇一種方法。

2．平滑參數(shù)

既可以指定平滑參數(shù)也可以讓EViews估計它們的值。(1)要估計參數(shù)，在填充區(qū)內(nèi)輸入字母e，EViews估計使誤差平方和最小的參數(shù)值。如果估計參數(shù)值趨于1，這表明序列趨于隨機游走，最近的值對估計將來值最有用。(2)要指定參數(shù)值，在填充區(qū)內(nèi)輸入?yún)?shù)值，所有參數(shù)值在0-1之間，如果你輸入的參數(shù)值超出這一區(qū)間，EViews將會估計這個參數(shù)。

30

3．平滑后的序列名

可以為平滑后的序列指定一個名字，EViews在原序列后加SM指定平滑后的序列名，也可以改變。

4．估計樣本

必須指定預(yù)測的樣本區(qū)間（不管是否選擇估計參數(shù)）。缺省值是當(dāng)前工作文件的樣本區(qū)間。EViews將從樣本區(qū)間末尾開始計算預(yù)測值。

5．季節(jié)循環(huán)

可以改變每年的季節(jié)數(shù)（默認值為每年12個月、4個季度）。這個選項允許預(yù)測不規(guī)則間距的數(shù)據(jù)，在空白處輸入循環(huán)數(shù)。31

2.4.1單指數(shù)平滑（一個參數(shù)）

這種單指數(shù)平滑方法適用于序列值在一個常數(shù)均值上下隨機波動的情況，無趨勢及季節(jié)要素。yt平滑后的序列計算式如下

,,t=2,3,…,T其中:,為平滑因子。越小，越平緩，重復(fù)迭代，可得到

由此可知為什么這種方法叫指數(shù)平滑，y的預(yù)測值是y過去值的加權(quán)平均，而權(quán)數(shù)被定義為以時間為指數(shù)的形式。32單指數(shù)平滑的預(yù)測對所有未來的觀測值都是常數(shù)。這個常數(shù)為（對所有的k>0）,是估計樣本的期末值。33

2.4.2雙指數(shù)平滑（一個參數(shù)）

這種方法是將單指數(shù)平滑進行兩次（使用相同的參數(shù)）。適用于有線性趨勢的序列。序列y的雙指數(shù)平滑以遞歸形式定義為

其中:01,St是單指數(shù)平滑后的序列，Dt是雙指數(shù)平滑序列。注意雙指數(shù)平滑是阻尼因子為01的單指數(shù)平滑方法。34

2.4.3Holt-winters乘法模型（三個參數(shù)）

這種方法適用于序列具有線性趨勢和乘法季節(jié)變化。yt的平滑序列由下式給出其中：at表示截距，bt表示斜率，at+btk表示趨勢，St為乘法模型的季節(jié)因子，s表示季節(jié)周期長度，月度數(shù)據(jù)s=12，季度數(shù)據(jù)s=4。需要用簡單的方法給出季節(jié)因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。35這三個系數(shù)定義如下其中：k>0，，，

在0～1之間，為阻尼因子。預(yù)測值由下式計算其中：ST+k-s用樣本數(shù)據(jù)最后一年的季節(jié)因子，T是估計樣本的終點。36

2.4.4.Holt-Winters加法模型（三個參數(shù)）

該方法適用于具有線性時間趨勢和加法模型的季節(jié)變