多重積分變量替換

多重積分變量替換第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五2討論的緣由單積分或一重積分的變量替換(也叫換元)的根據(jù)是微積分基本定理,其在計算和證明中的作用是巨大的.在證明了Fubini定理之后,它在重積分的討論中也獲得應(yīng)用.但這還是不夠的！多重積分的一般變量替換是一個十分重要、有趣題目第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五3基本思路什么樣的Rn到自身的變換是保集合的可測性的?基本例子:正則變換正則變換如何改變可測集的測度?線性變換：討論特征函數(shù)正則變換：討論特征函數(shù)非負(fù)可測函數(shù)和有積分函數(shù)的積分變換公式第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五4復(fù)習(xí)Rn上正則變換定義:設(shè)Rn是非空開集,TRn滿足下列條件:T在上是單射；T在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(即是C1的);DT=T在上處處可逆(即J(T)=det(T)恒不為零)則稱T為上的正則變換.結(jié)論:T()開集、T-1:T()也是正則變換、且第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五5記號復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)矩陣導(dǎo)數(shù)矩陣(也叫Jacobi矩陣):第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五6記號復(fù)習(xí)：差分的表示設(shè)x,B(x,r)(r>0),yB(x,r).TRn

在x點(diǎn)可微,則其中T(y),T(x),y和x都是n維列向量,|y-x|是n維歐氏范數(shù)(也叫長度或距離)第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五7記號復(fù)習(xí)：差分矩陣表示上頁的式子的矩陣形式：第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五8記號復(fù)習(xí)：線性變換設(shè)L:RnRn為線性變換,在取定基(通常取標(biāo)準(zhǔn)基)后,L可等同為一個n階方陣(也記為L).線性變換是可微變換;如果還是非奇異(也叫非退化的),就是正則變換L(x)=Lx;L(x)=L;J(L)=det(L)線性變換的范數(shù):||L||=max{|Lx|:|x|=1}導(dǎo)數(shù)的范數(shù):||T||E=sup{||T(x)||:xE}第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五9正則變換是可測變換可測變換:把可測集映射成可測集的變換叫做可測變換正則變換是可測變換:由正則變換把開集映射成開集,再由正則變換是單射,因此在正則變換下,交的像等于像的交.由任一個可測集包含在可數(shù)多個開集的交中,并且兩者的差的測度為零.因此只要能證明零測集的像還是零測集就行了步驟:(1)在一個閉方塊中的零測集的像是零測集;(2)一般的零測集的像是零測集第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五10閉方塊中零測集的像設(shè)Rn中的開集,T為上的C1變換.閉方塊Q,EQ為零測集,即|E|=0,則|T(E)|=0.證明:只要證明,|T(E)|<就行了.記=||T||Q,由微分中值不等式任取,由|E|=0,存在可數(shù)多開方塊Ck,k=1,2,…第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五11閉方塊中零測集的像(續(xù))不妨設(shè),否則用CKQ替代CK.取為Ck的中心,記Ck的邊長為,我們有因此所以第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五12零測集的像是零測集設(shè)Rn中的開集,T為上的C1變換.E為零測集,即|E|=0,則|T(E)|=0.證明:可以表示成可數(shù)多個閉方塊的并以及上面的結(jié)論，就可以得到所要的結(jié)論.#第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五13可測集的像是可測集設(shè)Rn中的開集,T為上的正則變換.E,為可測集,則T(E)也是可測集.證明:由E可測,則存在可數(shù)多個開集Gk和零測集Z,有注意T(Gk)是開集且就得到結(jié)論.#第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五14問題二如果僅要求T是C1的,T還能把可測集映成可測集嗎？其他類型的可測變換.第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五15正則變換如何改變測度基本結(jié)果：測度積分如何證明：線性變換:此時J(T)是常數(shù)正則變換第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五16線性變換測度公式設(shè)L是Rn上的線性變換,ERn可測.則L(E)可測且|L(E)|=|det(L)||E|.證明步驟：只需要討論L為可逆的情形對方塊結(jié)論成立(利用線性變換的初等分解)，學(xué)生自己寫清楚對開集結(jié)論成立(由第一步和測度的性質(zhì))對有界可測集結(jié)論成立對一般可測集結(jié)論成立第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五17線性變換測度公式(續(xù))有界可測集：取單調(diào)遞減的開集列Gk和零測集Z,注意|Gk||E|(k),|L(Gk)||L(E)|(k),以及|L(Gk)|=|det(L)||Gk|就得到結(jié)論一般可測集:取單調(diào)遞增有界可測集列Ek,

類似的步驟給出結(jié)論.#第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五18線性變換的兩個推論推論1:Lebesgue測度在正交變換下是不變的；推論2:設(shè)a>0,L=aI(位似變換,也叫伸縮變換)則|L(E)|=an|E|.第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五19線性變換積分公式設(shè)L是Rn的可逆線性變換,ERn可測.是L(E)上的可積函數(shù).則下列公式成立證明:考慮E=Rn的情形就可以了.只要證明對簡單函數(shù)結(jié)論成立就行了,而這正是測度公式所說的,惟一要注意的就是第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五20正則變換的測度不等式E為閉方塊Q成立(證明關(guān)鍵)E為開集G任意可測集E閉方塊Q情形的證明:記h為Q的邊長.證明的想法是對T用其導(dǎo)數(shù)(線性變換)“局部”近似.具體方法是等分Q和利用導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性以及線性變換時的結(jié)果.第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五21閉方塊測度不等式通過把Q的各邊m等分將等分Q為N=mn個不重疊的小方塊{Qk},記Qk的中心為xk,Lk=T(xk),k=1,…,N.由可微性由微分中值定理,得到不等式,記第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五22閉方塊測度不等式(續(xù)1)由T在Q上連續(xù),()0(0).下面估計注意其中記第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五23閉方塊測度不等式(續(xù)2)由關(guān)系式可知包含在以為心,以為邊長的方塊中,也就是,在注意到第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五24閉方塊測度不等式(續(xù)3)因此，令m就得到第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五25開集的測度不等式對于開集G,成立測度不等式證明:取可數(shù)多個不重疊的閉方塊QKG,滿足,因此第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五26有界可測集的測度不等式對于有界可測集E,成立測度不等式證明:由E可測,取單調(diào)遞減有界開集列Gk和零測集Z滿足由此得到由控制收斂定理,k就得到不等式.#第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五27可測集的測度不等式對于可測集E,成立測度不等式證明:取兩兩不相交有界可測集列Ek滿足則第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五28非負(fù)可測函數(shù)的積分不等式設(shè)是T()上的非負(fù)可測函數(shù),則證明：上述不等式對非負(fù)簡單函數(shù)成立,然后利用Levi單調(diào)收斂定理就可以了.#第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五29非負(fù)可測函數(shù)的積分公式設(shè)是T()上的非負(fù)可測函數(shù),則證明:由積分不等式,只要證明相反的不等式成立就行了