2023年高等數(shù)學(xué)一微積分考試必過歸納總結(jié)要點重點

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高等數(shù)學(xué)一微積分考試必過歸納總結(jié)要點重點全書內(nèi)容可粗分為以下三大部分：第一部分函數(shù)極限與延續(xù)（包括級數(shù)）

其次部分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（包括多元函數(shù)）

第三部分積分計算及其應(yīng)用（包括二重積分和方程）

第一部分函數(shù)極限與延續(xù)

一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見考試題型：

1、求函數(shù)的自然定義域。

2、推斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。

3、求反函數(shù)。

4、求復(fù)合函數(shù)的表達式。

二、極限與延續(xù)

常見考試題型：

1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。

2、考察分段函數(shù)在分段點處極限是否存在，函數(shù)是否延續(xù)。

3、函數(shù)的延續(xù)與間斷。

4、求函數(shù)的漸進線。

5、級數(shù)的性質(zhì)及等比級數(shù)。

6、零點定理。

每年必有的考點

第三部分導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用

常見考試題型：

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、研究分段函數(shù)分段點的延續(xù)性與可導(dǎo)性。

3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；

4、研究函數(shù)的單調(diào)性和高低性，求曲線的拐點；

5、求閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最值；

6、實際問題求最值。

每年必有的考點

第四部分積分計算及應(yīng)用

考試常見題型

1、不定積分的概念與計算；

2、定積分的計算；

3、定積分計算平面圖形的面積；

4、定積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積；

5、無窮限反常積分

6、二重積分

7、微分方程

最近幾年考題中，積分計算的題目較多，而且也有一定的難度。

第一部分函數(shù)極限與延續(xù)

一、關(guān)于函數(shù)概念及特性的常見考試題型：1、求函數(shù)的自然定義域。

2、推斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。

3、求反函數(shù)。

4、求復(fù)合函數(shù)的表達式。

例1..函數(shù)

___________.

學(xué)問點：定義域

商定函數(shù)的定義域是使函數(shù)的解析表達式故意義的一切實數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集。解要使根式函數(shù)故意義必需滿足23loglog0x≥，

要使23loglog0x≥成立，惟獨3log1x≥，即3x≥.

注：我們所求定義域的函數(shù)普通都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的

＋－×÷運算及有限次的復(fù)合得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。這就需要我們把基本初等函數(shù)的定義域、值域等搞清晰。

基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形如下表所示(T表周期)：

例2求函數(shù)()ln(1),0.fxxx=-≤的值域

解：由0.x≤可知11x-≥，所以ln(1)0x-≥，故

()ln(1),0.fxxx=-≤的值域為[0,)+∞

例3.1.下列函數(shù)中在所給的區(qū)間上是有界函數(shù)的為（）

A．f(x)=

1

1

+x[0，1]B．f(x)=

1

1

+x（-1，0）C．f(x)=ex(-∞，+∞)D．f(x)=lnx(0，+∞)

學(xué)問點：函數(shù)的有界性

注：函數(shù)的有界性是指值域的有界性。解：A1111+1212+1

xxx≤≤≤≤?≤≤當(dāng)0時，，故f(x)=

11

+x在[0，1]上為有界函數(shù)。B．-11lim

=+1xx→∞故f(x)=

1

1

+x在（-1，0）上為無界函數(shù)。CD結(jié)合函數(shù)圖像推斷。

例4、設(shè)函數(shù)()fx是定義在(,)aa-上的隨意函數(shù)，證實：（1）、()()(),(,)gxfxfxxaa=+-∈-是偶函數(shù)

（2）、()()(),(,)gxfxfxxaa=--∈-是奇函數(shù)學(xué)問點：奇偶性

若對于任何x，恒有()()fxfx-=-成立，則稱()fx是奇函數(shù)。若對于任何x，恒有

()()fxfx-=成立，則稱()fx是偶函數(shù)．

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱分析：由于()gx是定義在對稱區(qū)間上，按照定義，只需證實：

（1）()()gxgx-=（2）()()gxgx-=-

只證（1）：()()(())()()()gffffxxxxxgx=+-=+=偶函數(shù)。

例5、求函數(shù)44log2logy=+.學(xué)問點：反函數(shù)

求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù)()yfx=中解出1()xfy-=，再置換x與y，就得反函數(shù)1()yfx-=。

解：由44411log2loglog22yx=+=

+，可得41

2()log2

yx-=，所以214yx-=，上式中x與y的記號互換，即得反函數(shù)為

例6．1.設(shè)f(x)=x3-x，xx2sin)(=?，則f[)4

(π-?]=()

B.22

-D.22.已知f(x+1)=x2

，則f(x)=學(xué)問點：復(fù)合函數(shù)

解：1.

[]3()fxxx?=sin2-sin2

答案：C

2.令1,xu+=則1xu=-，故由2

(1)fxx+=可得2

()(1)fuu=-，即2

()(1)fxx=-.

二、極限與延續(xù)常見考試題型：

1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。

2、考察分段函數(shù)在分段點處極限是否存在，函數(shù)是否延續(xù)。

3、函數(shù)的延續(xù)與間斷。

4、求函數(shù)的漸進線。

5、級數(shù)的性質(zhì)及等比級數(shù)。

6、零點定理。典型例題

求極限辦法總結(jié)：利用極限四則運算、延續(xù)函數(shù)、重要極限、無窮小代換、洛比達法則等

例7．求22235

lim31

xxxx→-++．

學(xué)問點：若函數(shù)()yfx=在點0x處延續(xù)，0

0lim()()xxfxfx→=

解由于

7161lim3lim)13(lim2

2

2

≠=+=+=+→→→xxxxx．

故22

2

22

lim(235)

235

7

lim

131

lim(31)

7

xxxxxxxxx→→→-+-+=

=

=++例8、221

lim32

xxx→∞++

解：∞=++=++=++∞→∞→∞→2

22

2222

31

2lim2312lim2312lim

xxxx

xxxxxxxx學(xué)問點：普通地，設(shè)000,0,,abmnN≠≠∈，則

例9=-++∞→2

35

63lim

2nnnn___________.解：

3nnn

→∞

→∞=-例10（1）、121cos0

lim(1)

x

xx-→+(2)lim1n

nnn→∞??

?+??

學(xué)問點：重要極限：1∞

01

(1

)

lim(1),1lim(1),()0,lim(1())x

uxtxxteuxuxex

te→∞→+=+=→+=，

解:(1)22

1

1

221cos1cos0

lim(1)

lim[(1)]

xx

xx

xxxx--→→+=+

由于2

120lim[(1)]xxxe→+=，22

200lim

lim21cos2

xxxxx

x→→==-。(2)求lim1n

nnn→∞??

?+??

解：(1)

(1)

1111limlimlim1lim11111n

nnnnnnnnnnnnnnn-+-+→∞→∞→∞→∞+-???????

?==-=-

????++++????????例11.2000tansin1cos(1)lim(2)lim(3)lim(4)limsin(2022.10)2xxxnxkxxnxxxn

π

→→→→∞-

學(xué)問點：重要極限0()00sinsinsin()

lim

1,

lim

1,

lim

1()nn

xuxanax

uxxuxa→→→===

解：0000

tansin1sin1

(1)lim

limlim111coslimcosxxxxxxxxxxxx

→→→→===?=

(4)sin2lim(sin

)lim

22

22nnnnn

n

π

π

π

ππ→∞

→∞

=?

=

例12．求極限（1）2

0ln(1)

lim1cosxxx

→+-（2）(

)

2

x01sin3lim

(1cos2)ln(1)xex

xx→--+

學(xué)問點：利用等價無窮小代換求函數(shù)極限。

,',,'ααββ為無窮小，且~',~'ααββ，則'lim

lim'

ααββ=解：(1)由于221xx~)ln(+,2

2

11xx~

cos-所以22

002

ln(1)lim

=lim=211cos2

xxxxxx→→+-（2）由于2

21~xex-，sin3~3xx，22

121cos2~(2)2xxx-=，ln(1)~xx+

所以(

)

2

x01sin3lim

(1cos2)ln(1)xex

xx→--+22x0(3)3

lim(2)2

xxxx→?==?．注：在使用等價無窮小代換時，應(yīng)注重只能對乘除法代換，不能對加減法代換，即只對極限中的各個因式舉行代換．

記住下列幾個常用的等價無窮小以及由此導(dǎo)出其它的等價無窮小

1、sin~,xx導(dǎo)出()0ux→時，sin()~()

uxux

2、tan~,xx導(dǎo)出()0ux→時，tan()~()uxux

3、arcsin~xx，導(dǎo)出()0ux→時，arcsin()~()uxux

4、1~xex-，導(dǎo)出()0ux→時，()1~()uxeux-

5、ln(1)~xx+，導(dǎo)出()0ux→時，()ln1()~()uxux+

6、2

1cos~2

xx-，導(dǎo)出()0ux→時

，

2

()1cos()~

2

uxux-

例13：(1)xxxxxsinelim20-→(2)2sinlim

1

xxx

x→∞++(3)

x1

lim(1)tan

2

x

xπ→-（4）11lim1lnxx

xx→??-

?-?

?學(xué)問點：洛必達法則：使用洛必達法則必需推斷所求的極限是分式型的未定式

∞

∞

、0

．其它類型的未定式∞-∞，0?∞，000,,1∞∞可轉(zhuǎn)化為分式型的未定式，從而可以用洛必達法則

解：(1)20limesinxxxxx→-0

()0

（2）

2sinlim

1

xxx

x→∞++

∞???∞??

(3)x1

lim(1)tan

2x

xπ→-

(0)0

?∞→

(4)1110

1ln11ln1limlimlim011ln(1)lnlnxxxxxxxxxxxxxx

x

→→→-++-∞-∞??-???+例14．求極限（1）x

xxxcos12

eelim0--+-→.(2)0lncos0,0,limlncosxaxabbx→≠≠

學(xué)問點;等價無窮小和洛比達法則結(jié)合

解：

（1）0ee2lim1cosxxxx-→+--0

()0

(2)001

(sin)

lncoscoslimlim1lncos(sin)

cosxxaaxax

ax

bxbbxbx

→→-=-0()0例15.設(shè)f(x)是延續(xù)函數(shù)，且f(0)=1，則=?→2

xlim

xdt)t(tfx

（）B.

1

2

學(xué)問點：變上限函數(shù)求導(dǎo)求極限

解：0

2

x0

x0

()()lim

lim

2x

tftdtxfxxx→→=?x0()(0)1

lim222

fxf→====例16．設(shè)函數(shù)f(x)=??

?

??≥+-，則由零點定理至少有一點(0,1)ξ∈，使()0,Fξ=即()1fξξ=-。

其次部分導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用常見考試題型：

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、研究分段函數(shù)分段點的延續(xù)性與可導(dǎo)性。

3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；

4、研究函數(shù)的單調(diào)性和高低性，求曲線的拐點；

5、求閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最值；

19求級數(shù)1

025nn+∞

=??

?

??

∑的和S

6、實際問題求最值。

一、有關(guān)定義的題型例21設(shè)f′(0)=1，求0

(3)()

lim

2xftftt

→--

學(xué)問點：導(dǎo)數(shù)的定義

解:0

0(3)()(3)(0)(()(0))

lim

lim

22xxftftftfftftt

→→=例22．設(shè)()fx=21,01

33,12xxxx?-≤≤?-時0D?，則()yfx=在[,]ab上單調(diào)增強；(2)、若在(,)ab內(nèi)()0fx'，故函數(shù)在(0,)+∞上單調(diào)增強。

故(,0)-∞為單調(diào)遞增區(qū)間，(0,)+∞為單調(diào)增區(qū)間。

例40．求曲線321yxxx=--+的高低區(qū)間和拐點.學(xué)問點：曲線的高低區(qū)間和拐點

()0fx''>時，曲線為凹的，()0fx''時,，則0()fx為()fx的極大值(2)、00(,)()0xxxfxδ'∈-時,，則0()fx為()fx的微小值其次充分條件

設(shè)函數(shù)()fx在點0x處具有二階導(dǎo)數(shù)，且00()0,()0fxfx'''=≠，則(1)、當(dāng)0()0fx''時，函數(shù)()fx在0x處取得微小值。解：ln(1)yxx=-+，定義域：(1,)-+∞

令0y'=時，00,"0xxy==>，所以x=0是函數(shù)的微小值點,而函數(shù)的微小值為0.

例42求()fxx=-[0,2]上的最大值與最小值．學(xué)問點：閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最值。辦法：1、先求區(qū)間內(nèi)部可疑的極值點

2、計算區(qū)間端點和內(nèi)部可疑極值點的函數(shù)值。

3、比較函數(shù)值大小，確定最大值和最小值。

解1()1210

2fxx'=-?=>．令()0fx'=，得駐點1x=．因為(0)0,(1)1,(2)2fff==-=-比較可知，()fx在[0,2]上的最大值為(0)0f=，最小值為(1)1f=-。

例43．證實：當(dāng)0x>時，12

x

，()(0)fxf則2

250001

()40

Cxx'=-+，令()0Cx'=得1000x=由實際意義和駐點唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)1000產(chǎn)品時，平均成本最小。

(2)利潤函數(shù)21

()500(25000200).40

Lxxxx=-++

11

()5002022002022

Lxxx'=--=-令()0Lx'=得6000x=

由實際意義和駐點唯一可知，當(dāng)生產(chǎn)6000產(chǎn)品時，利潤最大.

第三部分積分計算及應(yīng)用

考試常見題型

1、不定積分的概念與計算；

2、定積分的計算；

3、定積分計算平面圖形的面積；

4、定積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積；

5、無窮限反常積分

6、二重積分

7、微分方程一、不定積分例45．設(shè)?+=

Cx

x

dxxfsin)(，則f(x)=學(xué)問點：不定積分的概念與性質(zhì)假如()()Fxfx'=或()()dFxfxdx=，函數(shù)()Fx就稱為()fx一個原函數(shù)，()fx得全體原函數(shù)為()()()fxdxdFxFxC==+??

解：2

sincossin()xxxx

fxxx'-??==???

例462(5)d.xxex-?

學(xué)問點：不定積分的計算：

運算性質(zhì)

性質(zhì)1[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx±=±???

性質(zhì)2kfxdxkfxdx??=??()(

)(k為非零常數(shù))

基本積分表為前提

10dxC=?2?+=Ckxkdx(k為常數(shù))，31

11

xdxxCμμμ+=++?(1-≠μ)，4?

+=Cxdxxln1

5?

+=+Cxdxx

arctan11

2

6?

+=-Cxdxx

arcsin112

7?+=Cxxdxsincos，8?+-=Cxxdxcossin，9??

+==Cxdxxxdxtancos1sec22，10??

+-==Cxdxx

xdxcotsin1csc2

2

，11?+=Cxxdxxsectansec，12?+-=Cxxdxxcsccotcsc，13?+=

Caa

dxax

xln1，14xx

edxe

C=+?，

解：2(5)d[(2)52)dxxxxexex-=-???

注重：計算不定積分一定不要漏掉常數(shù)C。

例47(1)212cosdxxx?(2)222

dx

xx++?(3)

232

dx

xx-+?

（4）?

-+.282

x

xdx

學(xué)問點：不定積分的第一換元積分法（湊微分法）

解：(1)21212212

coscossin22dxdCxxxxx

=-=-+??。

(2)

222(1)

arctan(1)22(1)1(1)1

dxdxdxxCxxxx+===++++++++???。

(3)

211

32(1)(2)21

dxdxdxdxxxxxxx==--+?

???

(4)1

1

arcsin

.3xdx--===+C注重：常見的湊微分公式

?

?

=x

xxx

deefdxee

f)()(；

?

?

=xdxfxdx

xfln)(ln)

(ln；

??-=xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos；

??=xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；

??

=x

dxfxdxxftan)(tansec)(tan2

；

??=+?

xdxfx

dx

xfarctan)(arctan1)(arctan2

；

例48.（1

）求不定積分?.（2

）?

學(xué)問點：不定積分其次換元法

解：（1

）2,33

dt

xdx-2t2t，則==注重：

的式子，取換元t=．

（2）1,x

t=則21

dxdtt

=-所以

21

dt-

==-?

212=-=Cx++-211

注重：當(dāng)分母次數(shù)比分子次數(shù)高于1時，可以采納倒代換。

例49求不定積分（1

）（2）xxedx?學(xué)問點：分部積分法解：（1

）1

2ln2dxxx==-??

（2）

xxxedxxde=??xxxx

exedxexeC=?-=?-+?

注重：不定積分的幾種計算辦法有時需要結(jié)合使用，而且也可以移植到定積分的計算。

二定積分

牛頓(Newton)－萊布尼茨(Leibniz)公式

()()()()b

b

aa

fxdxFxFbFa==-?

例50正弦曲線的一段y=sinx≤≤x0(π)與x軸所圍平面圖形的面積為（）

學(xué)問點：定積分的幾何意義

解：00

sin(cos)2S

xdxxπ

π

==-=?

例5130

1xdx-?

學(xué)問點：被積函數(shù)含有肯定值的定積分

解：由定積分的區(qū)間可加性，原積分1

3

1

|1||1|xdxxdx=-+-??．

在區(qū)間[0,1]上，10x-≤，從而|1|1xx-=-；在區(qū)間[1,3]上，10x-≥，從而|1|1xx-=-．原積分1

3

1

15(1)(1)222

xdxxdx=-+-=

+=??．注：對于含有肯定值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉肯定值號。

例52計算定積分（1）0

?

。（2）3

3

1

x

xdx+?

學(xué)問點：定積分的換元計算換元必?fù)Q限，下限對下限，上限對上限解：（1）取代換2sinxt=，則00,22

xtxtπ

=→==→=

，

原積分2

20

2cos4costdttdtπ

==?

?

2

2

120

04(1cos2)2(sin2)2

tdtttππ

π=+=+=?。

（2t=，則11,3xtxt=→==→=例53計算定積分1

.?

學(xué)問點：對稱區(qū)間上定積分偶倍奇零設(shè)()fx在[,]aa-上延續(xù)，證實：(1)若()fx為奇函數(shù)，則()0a

afxdx-=?；

(2)若()fx為偶函數(shù)，則0

()2()aa

a

fxdxfxdx-=??

．

解：1

0.=?

例54設(shè)1

(),tx

Fxtedt-=?求()Fx'2022年1月

學(xué)問點：變上限函數(shù)。當(dāng)被積函數(shù)()fx延續(xù)時，變限函數(shù)

11

()(),()(),x

x

Fxfxdt

Gxfxdt==??可導(dǎo)，

且()(),()()FxfxGxfx''=-=解：()xFxxe-'=-三反常積分

例55、下列反常積分中發(fā)散的是A．

x

edx+∞

-?

B.

2

1

1dxx+∞

?

C1

lnedxxx+∞?.D.2

1

1dxx+∞

+?

學(xué)問點:無窮限反常積分

()lim

()lim()lim(()())b

b

aa

bbba

fxdxfxdxFxFbFa+∞

→+∞

→+∞

→+∞

===-?

?

解：

==lim+1=1xx

xxedxee+∞

+∞→+∞

--?

應(yīng)選C

例56求曲線2

2,4

xyyx==及直線1y=所圍圖形的面積A

例57.求由拋物線22,2yxyx==-所圍成圖形的面積，并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成

立體的體積.

學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積：

由延續(xù)曲線()yfx=，直線,xaxb==與x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積

2

2

[()]b

b

a

a

Vydxfxdxππ==??。

由延續(xù)曲線()xgy=，直線,ycyd==與y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積

22[()]d

d

c

c

Vxdygydyππ==??。

解如圖，22,2yxyx==-所圍圖形位于[-1，1]之間。

所圍成圖形的面積1

221

823

Sxxdx-=--=

?旋轉(zhuǎn)體的體積四二重積分的計算

二重積分(,),D

fxydxdy??通常都是化為二次積分來計算：

1）先對y后對x積分X—型區(qū)域

積分區(qū)域D的上邊界2()yx?=與下邊界1()yx?=D在x軸上的投影區(qū)間為[,]ab（右圖）．則2）先對x后對y積分，y—型區(qū)域

積分區(qū)域D的左邊界1()xyψ=與右邊界