2023年高等數(shù)學(xué)考研知識點總結(jié)

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一、考試要求

1、理解函數(shù)的概念，把握函數(shù)的表示辦法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

2、了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3、理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4、把握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

5、理解（了解）極限的概念，理解（了解）函數(shù)左、右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6、把握（了解）極限的性質(zhì)，把握四則運算法則。

7、把握（了解）極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，把握（會）利用兩個重要極限求極限的辦法。

8、理解無窮小量、無窮大量的概念，把握無窮小量的比較辦法，會用等價無窮小量求極限。

9、理解函數(shù)延續(xù)性的概念（含左延續(xù)與右延續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型

10、了解延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的延續(xù)性，理解閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。1

1、把握（會）用洛必達法則求未定式極限的辦法。

二、內(nèi)容提要

1、函數(shù)（1）函數(shù)的概念:y=f(x)，重點：要求會建立函數(shù)關(guān)系、（2）復(fù)合函數(shù):y=f(u),u=，重點：確定復(fù)合關(guān)系并會求復(fù)合函數(shù)的定義域、（3）分段函數(shù):注重，為分段函數(shù)、（4）初等函數(shù)：通過有限次的四則運算和復(fù)合運算且用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)。（5）函數(shù)的特性：單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性*注：

1、可導(dǎo)奇(偶)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶(奇)函數(shù)。特殊：若為偶函數(shù)且存在，則

2、若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；

3、可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)。特殊：設(shè)以為周期且存在，則。

4、若f(x+T)=f(x),且，則仍為以T為周期的周期函數(shù)、

5、設(shè)是以為周期的延續(xù)函數(shù)，則，

6、若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則

7、設(shè)在內(nèi)延續(xù)且存在，則在內(nèi)有界。

2、極限(1)

數(shù)列的極限：

(2)

函數(shù)在一點的極限的定義：

(3)

單側(cè)極限:1)

左右極限2)

極限存在的充要條件：

(4)

極限存在的準(zhǔn)則1)

夾逼定理：

數(shù)列情形，函數(shù)情形2)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限(5)極限的基本性質(zhì)：唯一性，保號性，四則運算*1）極限不等式注：不成立2）局部保號性則在某內(nèi)3）局部有界性則在某內(nèi)有界。4）(6)

兩類重要極限(7)

無窮小量與無窮大量1)

無窮小量;2)

無窮大量;（注重與無界變量的差異）3)

無窮小量與無窮大量的關(guān)系(8)

無窮小量階的比較(9)

羅比達法則

3、延續(xù)1)

延續(xù)的定義2)

區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)3)

間斷點及其分類4)

閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理、零點定理

三、*重要公式與結(jié)論

1、常見極限不存在的情形：1)

辦法：用無窮小量乘有界變量2）辦法：分或研究、2、特殊：若

3、無窮小量的等價代換若，則有特殊注重：

（，（），（），設(shè)，且～，～(1)

(2)

(3)

(4)

若，則（0712）當(dāng)初，與等價的無窮小量是（A）（B）（C）（D）4、若由此有

5、極限的形式與關(guān)系（1）（2）（3），

6、若，則(i)

(ii)

若，則(i)

(ii)

7、設(shè)在處延續(xù)，則（1）（2）（3）（4）不存在

四、典型題型與例題題型

一、函數(shù)的概念和性質(zhì)例

1、設(shè)，則=（A）0（B）1（C）（D）例

2、對下列函數(shù)（1）（2）（3）在（0，1）內(nèi)有界的有（）個（A）0（B）1（C）2（D）3例

3、（0434）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）例

4、（0534）以下四個命題中正確的是（）（A）若在（0，1）內(nèi)延續(xù)，則在（0，1）內(nèi)有界（B）若在（0，1）內(nèi)延續(xù)，則在（0，1）內(nèi)有界（C）若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界（D）若在（0，1）內(nèi)有界，則在（0，1）內(nèi)有界例

5、（0

51、2）設(shè)是延續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，則必有（A）是偶函數(shù)是奇函數(shù)（B）是奇函數(shù)是偶函數(shù)（C）是周期函數(shù)是周期函數(shù)（D）是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)題型

二、極限的概念和性質(zhì)例

6、當(dāng)初，是（A）無窮?。˙）無窮大（C）有界的但不是無窮小（D）無界的但不是無窮大例

7、設(shè)對，總有，且，則（A）存在且等于0（B）存在但一定不為0（C）一定不存在（D）不一定存在例

8、已知在處延續(xù)，且，求題型

三、求函數(shù)的極限基本思路：

1、先化簡（1）約掉零因子（無窮因子）（2）提出極限不為零的因子（3）根式有理化（4）無窮小替換（5）變量替換（尤其是倒代換）

2、再用洛必達法則或其它求極限的辦法

3、上述步驟可重復(fù)舉行

1、常規(guī)辦法：1)

運算法則，2)無窮小量等價代換，3）洛必塔法則1）用運算法則應(yīng)注重的問題例

9、求極限例

10、求極限羅畢達法則

1、或型

1、先化簡

2、用洛必達法則、四則運算法則、泰勒公式

3、綜合題（結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義等）例

11、求例

12、求極限例

13、（042）求極限例

14、（0734）=羅畢達法則

2、型型未定式有兩種處理辦法或例

15、求例

16、例

17、（101）極限(A)1、(B)、(C)、(D)、

【】

羅畢達法則

3、其他類型

1、型轉(zhuǎn)化為型，用洛必達法則等

2、3、型(i)

通分(ii)

變量替換（重點倒代換）轉(zhuǎn)化為型。

4、不是未定式例

18、求極限例

19、（0434）求

2、變形辦法：1)

變量代換；2)

導(dǎo)數(shù)定義；3)

泰勒公式;特殊若f(x)二階延續(xù)可導(dǎo)，則有例20、設(shè)f(x)延續(xù)，f(0)=0,f(0)0,求例21、求下列極限(泰勒公式)

[,]例

22、求法

一、有理化，無窮小替換、洛必達法則法

二、泰勒公式

3、抽象函數(shù)例

23、若，求。題型

四、求數(shù)列的極限思路：

1、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限。

2、數(shù)列用遞推公式給出，可考慮單調(diào)有界原理。

3、對通項適當(dāng)放大（縮?。?，用夾逼準(zhǔn)則。

4、和（積）的極限，可考慮用定積分的定義。

1、利用函數(shù)極限求數(shù)列的極限辦法：

1、

2、若例

24、求

2、利用數(shù)列的收斂準(zhǔn)則（1）、兩個準(zhǔn)則（2）、已知可導(dǎo)1）若，則單調(diào)，且2）若，則不單調(diào)（3）、若存在使得，則例

25、設(shè)證實，并求其解。例

26、設(shè)證實，并求其解。

3、利用定積分定義(適合n項求和的情形)

思路：

1、求出項和或積（積可轉(zhuǎn)化為和），再求極限。

2、利用夾逼準(zhǔn)則。

3、利用定積分的定義

4、利用已知級數(shù)的和。公式：1）2）例

27、等于（A）（B）（C）（D）例

28、求

3、其他辦法例

29、（用級數(shù)收斂性）解：考慮級數(shù)因為級數(shù)收斂，所以=0例

30、（用中值定理）解：用拉格朗日中值定理（介與之間）=）因而=題型

五、反問題求已知極限中的待定參數(shù)，函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)及函數(shù)等命題方式：

1、已知極限存在

2、已知無窮小階的比較

3、已知函數(shù)的延續(xù)性或間斷點類型思路：

1、將極限轉(zhuǎn)化為

2、洛必達法則

3、泰勒公式例

31、已知求的值例

31、已知當(dāng)初，是的高階無窮小，求值例

33、（022）已知在可導(dǎo)，，且滿足，求題型六、無窮小量的比較

1、把握低階無窮小、高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小等概念

2、當(dāng)初，，若，則例

34、設(shè)函數(shù)則當(dāng)初，是的（A）低階無窮?。˙）高階無窮小（C）等價無窮?。―）同階但不等價的無窮小例

35、（0412）把時的無窮小，從高階到低階羅列例

36、設(shè)f(x)延續(xù)，且當(dāng)x→0時，F(xiàn)(x)=是與x3等價的無窮小量，則f(0)=、例

37、（103）設(shè)f(x)=ln10x,g(x)=x,h(x)=,則當(dāng)x充分大時有(A)

g(x)<h(x)<f(x)、(B)

h(x)<g(x)<f(x)、(C)

f(x)<

g(x)<

h(x)、(D)

g(x)<f(x)<h(x)、

【】

題型七、推斷函數(shù)的延續(xù)性與間斷點的類型

1、初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)是延續(xù)的。

2、延續(xù)隱含的條件。

3、會推斷函數(shù)的延續(xù)性（特殊是分段函數(shù)在分界點處的延續(xù)性，要考慮左右極限）。

4、會求函數(shù)的間斷點，并能推斷其類型。

5、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。例

38、設(shè)在處延續(xù)，求的值例

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