工程電磁場第五章

工程電磁場第五章1第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六在時變場中，電場與磁場都是時間和空間坐標的函數(shù)；變化的磁場會產生電場，變化的電場會產生磁場，電場與磁場相互依存構成統(tǒng)一的電磁場。英國科學家麥克斯韋將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的麥克斯韋方程組高度概括。麥克斯韋方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎。第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六時變場的知識結構框圖：磁通連續(xù)性原理高斯定律電磁感應定律全電流定律Maxwell方程組坡印廷定理與坡印廷矢量正弦電磁場動態(tài)位A

,分界面上銜接條件達朗貝爾方程電磁輻射、傳輸線及波導第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六5.1法拉第電磁感應定律1.電磁感應定律

當閉合回路環(huán)繞的磁通隨時間發(fā)生變化時，在回路中將引起感應電動勢和感應電流。感應電動勢的大小與磁通對時間的變化率成正比。感應電動勢的參考方向與磁通的方向成右手螺旋關系。根據(jù)楞次定律，感應電動勢及其所產生的感應電流總是企圖阻止導電回路所環(huán)繞的磁通發(fā)生變化，即由感應電流產生的磁通總是企圖抵消原磁通發(fā)生的變化。如果考慮到線圈的匝數(shù)，磁通應由磁鏈來代替。因此，感應電動勢的表示式為

當磁通發(fā)生變化時，閉合回路中產生了感應電動勢，說明回路中產生了感應電場。感應電場不同于庫侖電場。它不是由電荷產生的，而是由磁場的變化引起的。設S為閉合回路L限定的曲面第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六電磁感應定律（Faraday’sLaw）

當與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時，回路中會產生感應電動勢，這就是法拉弟電磁感應定律。電磁感應定律：

負號表示感應電流產生的磁場總是阻礙原磁場的變化。感生電動勢的參考方向第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六2.時變場中的靜止回路對于靜止回路，L和S不隨時間變化對于單匝回路，感生電動勢

這種靜止回路中的感應電動勢類似于變壓器線圈中的感應電動勢，因此叫做變壓器電動勢。變壓器電動勢就是S不變、B隨時間變化時的感應電動勢。感生電動勢第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六3.恒定磁場中的運動回路在恒定磁場中，當導體回路的某一部分以速度v運動時，隨導體一起運動的自由電荷將受到洛倫茲力的作用，磁場對運動電荷的作用力為

將作用在單位電荷上的洛倫茲力等效為電場強度，就可以認為運動導體中產生了感應電場，其電場強度為

若將磁場用磁感應強度線表示，運動的導體將切割磁感應強度線，因此，恒定磁場中運動回路的感應電動勢叫做切割電動勢。這種感應電動勢類似于發(fā)電機運動線圈中的感應電動勢，又稱為發(fā)電機電動勢。第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六磁場不變，回路切割磁力線稱為動生電動勢，這是發(fā)電機工作原理，亦稱為發(fā)電機電勢。動生電動勢第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六實際上，運動回路中產生感應電動勢的原因，同樣是回路中的磁通發(fā)生變化。第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六磁場隨時間變化，回路切割磁力線實驗表明：只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應電動勢。與構成回路的材料性質無關（甚至可以是假想回路），當回路是導體時，有感應電流產生。第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六4.時變場中的運動回路稱為電磁感應定律的積分形式在靜止媒質中，場點相對靜止這就是電磁感應定律的微分形式電磁感應定律的本質就是變化的磁場產生電場。第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六變化的磁場產生感應電場第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六

例5-1-1如圖5-1-2所示，無窮長直導線通以電流，導電線框以勻速v向右運動。當線框運動到如圖所示位置時，求接于AB之間的電壓表的讀數(shù)。

解時變場中的兩點之間電壓不是惟一的。這里只考慮兩種情況:（1）電壓表用短導線直接接到AB之間，并與線框一起運動;（2）電壓表用長導線沿線框接到AB之間，并與線框一起運動。第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六（2）當電壓表用長導線沿線框接到AB之間時，電壓表聯(lián)線與線框一起組成一個閉合回路，這個閉合回路圍成的面積為零。無論電流和磁場如何變化，線框怎樣運動，閉合回路中都不會產生感應電動勢。因此，電壓表測得的電壓為零。5.2全電流定律1.時變場的電流連續(xù)性在恒定電場中傳導電流是恒定電流。根據(jù)恒定電流的連續(xù)性，有在時變場中，根據(jù)電荷守恒原理，有第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六應用散度定理，可得這就是時變場的電流連續(xù)性方程傳導電流不再保持連續(xù)。第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六2.位移電流安培環(huán)路定理的微分形式為在恒定磁場中，電流是恒定的傳導電流，傳導電流密度的散度為零。在時變場中，傳導電流不再保持連續(xù)。可以看作是一種電流密度，記為全電流密度為第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六3.全電流定律根據(jù)位移電流的假設，麥克斯韋將安培環(huán)路定理推廣到時變場，得到全電流定律的微分形式位移電流密度應用斯托克斯定理，得到全電流定律的積分形式第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六

麥克斯韋最關鍵的貢獻就是引入了最后一個關鍵角色—變化的電場，他認為不止是靜電場中的穩(wěn)恒電流能產生磁場，變化的電場更應該能產生磁場，只不過不太容易被觀察到而已。這個關鍵性的觀念直接導致了麥克斯韋電磁場理論—可以說是牛頓力學后，物理學歷史上的第二個人類理性的輝煌勝利。把變化的電場作為一個電磁現(xiàn)象中的角色，關鍵就是把變化的電場也看成一種電流，這就是麥克斯韋提出的位移電流的概念。我們已經學習過的兩種電流形式—傳導電流和運流電流。傳導電流是電荷定向地傳遞相互作用，而運流電流則是電荷自身的宏觀定向運動。這兩種電流都可以通過靜電場來產生，但無法用來描述變化的電場所傳遞的相互作用，而通過變化的電場來傳遞相互作用卻是我們還沒能加以描述的物理過程。第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六有時候在全電流中還需要考慮不導電空間電荷運動形成的運流電流。運流電流密度為完整的全電流定律的微分形式應為全電流定律表明，除傳導電流、運流電流產生磁場外，位移電流也產生磁場。傳導電流和運流電流都是電荷的運動。但位移電流卻不是電荷的運動，而只是電場的變化。第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六例5-2-1求圖所示平行平板電容器中的位移電流密度和位移電流。

解設電容器極板面積為S，正負極板距離為d,電介質的介電常數(shù)為ε，電容器正負極之間加隨時間變化的電壓u。第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六

電容本身是不可能傳導電流的，但接入電容器的閉合電路并不就是等于斷開了電路。電容器仍然起到了傳遞相互作用的作用。這種相互作用體現(xiàn)在電容器的充電與放電的過程中。無論是充電還是放電，在電容器的極板之間的空間中出現(xiàn)了變化的電場，這個變化電場通過儲存和放出能量來響應電路中的電流變化。如果我們考慮這個變化電場的電通量的時間變化率，就會發(fā)現(xiàn)總是和電路中的電流大小相等。而電位移矢量的時間變化率的方向總是和電路中的電流的方向一致，那么我們很自然地就可以把這個變化的電場看成一種等效的電流，而整個電路的電流就沒有因為電容的緣故而斷開，而是仍然保持連續(xù)性。這個等效的電流就是位移電流。

第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六例計算銅中的位移電流密度和傳導電流密度的比值。設銅中的電場為E0sinωt，銅的電導率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解：銅中的傳導電流大小為

第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六5.3電磁場的基本方程組積分形式微分形式在各同同性媒質中，有關場矢量之間的關系用下列輔助方程表示:第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六全電流定律：麥克斯韋第一方程，表明傳導電流和變化的電場都能產生磁場。電磁感應定律：麥克斯韋第二方程，表明電荷和變化的磁場都能產生電場。磁通連續(xù)性原理：表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線。高斯定律：表明電荷以發(fā)散的方式產生電場(變化的磁場以渦旋的形式產生電場)。第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六媒質分界面條件在時變場中，電位移矢量所滿足的方程與其在靜電場中的方程相同。因此，電位移矢量的媒質分界面條件與靜電場中相同，即

en是分界面的法向單位矢量，從第一種電介質指向第二種電介質在時變場中，磁感應強度所滿足的方程與其在恒定磁場中的方程相同。因此，磁感應強度的媒質分界面條件與恒定磁場中相同，即第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六小矩形的面積為零為有限值第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六當分界面上不存在自由面電流和自由面電荷時，時變電磁場的分界面條件可簡化為第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六為電磁場的折射定律第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六5.4動態(tài)位1動態(tài)位的定義令定義動態(tài)位Ф第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六2.動態(tài)位的方程為了求得動態(tài)位與場源之間的關系，需要將動態(tài)位代入電磁場的基本方程和輔助方程。在均勻媒質中全電流定律第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六上式表示A與Jc的關系上式表示Ф與ρ的關系第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六3.洛倫茲規(guī)范和達朗貝爾方程洛倫茲規(guī)范第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六上式為非齊次波動方程，稱為達朗貝爾方程。對于靜態(tài)場和恒定場在無源的自由空間，達朗貝爾方程簡化為齊次波動方程，即第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六5.5達朗貝爾方程的解1.點電荷情況下的達朗貝爾方程的解達朗貝爾方程是非齊次波動方程，它的解應當同時具有波的特征和泊松方程解的特征。下面以標量動態(tài)位φ為例，討論在坐標原點處變化的點電荷q(t)產生時變場達朗貝爾方程的解。在無源的自由的空間源點電荷擁有球對稱性一維齊次波動方程通解f1和f2是存在二階偏導數(shù)的任意函數(shù)。第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六圖5.6.1

的物理意義

圖5.6.2波的入射、反射與透射第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六時變電磁場的波動性表明，它是空間傳播的電磁波由上可知，電磁波是以有限速度傳播的，這個傳播速度稱為波速，用v表示。波速決定于媒質的性質，其表示式為第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六5.6.1坡印廷定理（PoyntingTheorem）在時變場中，能量密度為體積V內儲存的能量為（1）（2）PoyntingTheoremandPoyntingVector

5.6坡印廷定理和坡印廷矢量電磁能量符合自然界物質運動過程中能量守恒和轉化定律——坡印廷定理；坡印廷矢量是描述電磁場能量流動的物理量。第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六恒定場中的坡印廷定理注意：磁鐵與靜電荷產生的磁場、電場不構成能量的流動。在恒定場中，場量是動態(tài)平衡下的恒定量，能量守恒定律為：坡印廷定理第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六

表示單位時間內流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。5.6.2坡印廷矢量(PoyntingVector)W/m2定義坡印廷矢量電磁波的傳播第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六電路中正弦量有三要素：振幅、頻率和相位。正弦電磁場也有三要素：振幅,頻率和相位。SinusoidalElectromagneticField5.7.1正弦電磁場的復數(shù)形式(SinusoidalElectromagneticFieldComplexForm)5.7正弦電磁場第五十一頁，共六十五頁，