冪級數(shù)的講解綱要

冪級數(shù)的講解綱要第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六主要內(nèi)容21函數(shù)項級數(shù)的一般概念3冪級數(shù)的運算冪級數(shù)及其收斂性4

冪級數(shù)求和第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六則稱無窮級數(shù)收斂.時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.2.等比級數(shù)

(又稱幾何級數(shù))技巧:利用“拆項相消”求和“收±收=收;收±發(fā)=發(fā);發(fā)±發(fā)=不確定”推論

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.1.知識點復(fù)習(xí)第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六3.

定理(級數(shù)收斂的必要條件)設(shè)收斂級數(shù)則必有若級數(shù)的一般項un不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.如,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.反之,不成立!4.正項級數(shù)收斂部分和序列有界.知識點復(fù)習(xí)第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六5.利用正項級數(shù)判別法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定,比較審斂法用它法判別:部分和極限知識點復(fù)習(xí)第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六發(fā)散

;當(dāng)時,收斂

.當(dāng)時,6.

p

級數(shù)

如如發(fā)散;收斂.7.利用等價無窮小：8.

含有選擇比值判別法，即知識點復(fù)習(xí)第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六10.任意項級數(shù)收斂9.交錯項級數(shù)的Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂絕對收斂條件收斂發(fā)散如如(un單調(diào)減少趨于0)知識點復(fù)習(xí)第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六12.(絕對值的比值、根值判別法)則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時,此方法失效，換其他方法.知識點復(fù)習(xí)11.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念§12.1冪級數(shù)設(shè)為定義在區(qū)間I

上的函數(shù)項級數(shù)

.對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;為定義在區(qū)間I

上的函數(shù),稱收斂,稱為其收

為級數(shù)的和函數(shù),并寫成在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六若用余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項的和,即例如,等比級數(shù)∴它的收斂域是有和函數(shù)§12.1冪級數(shù)第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六二、冪級數(shù)及其收斂性形如的函數(shù)項級數(shù)稱為(x-x0)的冪級數(shù),其中當(dāng)稱為冪級數(shù)的系數(shù)

.時,稱為x的冪級數(shù).如§12.1冪級數(shù)第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六定理1(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散

.時該冪級數(shù)發(fā)散

,則對滿足不等式發(fā)散§12.1冪級數(shù)點收斂,發(fā)散收斂收斂發(fā)散第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六若冪級數(shù)設(shè)則當(dāng)時,即級數(shù)絕對收斂;當(dāng)時,即級數(shù)發(fā)散;令發(fā)散發(fā)散收斂§12.1冪級數(shù)第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六可以看出,的收斂域是以原點為中心的區(qū)間.

冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.當(dāng)發(fā)散發(fā)散收斂§12.1冪級數(shù)第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=+

時,當(dāng)當(dāng)特別地,發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂R=0R=+§12.1冪級數(shù)第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六定理2若的系數(shù)滿足1)當(dāng)l≠0時,2)當(dāng)l＝0時,3)當(dāng)l＝+∞時,則的收斂半徑為說明:據(jù)此定理§12.1冪級數(shù)第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六對端點x=－1,的收斂半徑及收斂域.解

對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1

求冪級數(shù)§12.1冪級數(shù)第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例2

求下列冪級數(shù)的收斂域:解(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1§12.1冪級數(shù)第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例3

求冪級數(shù)的收斂半徑.解時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為當(dāng)即當(dāng)即§12.1冪級數(shù)第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例4求冪級數(shù)的收斂域.解

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)收斂;因此收斂域為即§12.1冪級數(shù)第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六三、冪級數(shù)的性質(zhì)定理3

設(shè)冪級數(shù)及的令則有:其中收斂半徑分別為§12.1冪級數(shù)第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六定理4

若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函數(shù)在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:逐項求導(dǎo)逐項積分§12.1冪級數(shù)第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六解

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5求冪級數(shù)則故得的和函數(shù).因此得設(shè)§12.1冪級數(shù)分母求導(dǎo)第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例6求冪級數(shù)的和函數(shù)解

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,故當(dāng)時，§12.1冪級數(shù)第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例7求冪級數(shù)的和函數(shù)解§12.1冪級數(shù)例6第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例7

求級數(shù)的和函數(shù)解

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,收斂域為由和函數(shù)的連續(xù)性知§12.1冪級數(shù)第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例8

求數(shù)項級數(shù)解

設(shè)則§12.1冪級數(shù)的和.故第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例9求冪級數(shù)的和函數(shù)解

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,故當(dāng)時，§12.1冪級數(shù)第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六1.函數(shù)項級數(shù)則在收斂域上有2.3.(x-x0)的冪級數(shù)：4.x的冪級數(shù)：內(nèi)容小結(jié)第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六5.的收斂半徑為逐項求導(dǎo)逐項積分對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)的收斂半徑:直接用比值法或根值法或通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.6.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.內(nèi)容小結(jié)第三十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)

P2061(2,3);3(1)5月28日(周六)第三階段考考試內(nèi)容：第11章第三十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題