廣義函數(shù)與基本解

廣義函數(shù)與基本解第一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

物理學(xué)家原本定義的函數(shù)是這樣的“函數(shù)”：

。

第二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

物理學(xué)家在20世紀(jì)30年代就廣泛使用函數(shù)討論問題，并獲得相當(dāng)?shù)某晒ΑＶ钡?0世紀(jì)40年代末，Schwarz等人建立了廣義函數(shù)基礎(chǔ)理論，才為這類奇異“函數(shù)”建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論。僅從以上三個(gè)方面看，擴(kuò)充函數(shù)概念是很有必要的。下面我們給出廣義函數(shù)的定義。第三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.1基本空間8.1.1引言第四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解記號(hào)第五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解1.2基本空間和

首先考慮的基本空間是即具有緊支集的無限次可微函數(shù)組成的空間。所謂一個(gè)函數(shù)f(x)的支集，是指集合的閉包，記作在中定義收斂概念如下：第六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解附注易知中的收斂性比中的收斂性強(qiáng)，反之未必對(duì)。例如可取為例8.1.1中的函數(shù)，并定義

易證。第十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解1.3

基本空間若定義在

上的函數(shù)

滿足條件則稱它是速減函數(shù)。易證，條件(ii)與下述任一個(gè)條件等價(jià)：第十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解基本空間上的Fourier變換第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解Fourier變換的性質(zhì)第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解一般地，對(duì)任一多重指標(biāo)有第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

由此，可以導(dǎo)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的Sobolev空間。Parselval等式的重要性可見一斑。第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2廣義函數(shù)空間8.2.1概念與例子

依次把基本空間和上的線形連續(xù)泛函叫作廣義函數(shù),廣義函數(shù)和廣義函數(shù)，它們各自的全體分別組成和廣義函數(shù)空間。有時(shí)我們分別簡(jiǎn)稱為廣函和廣函空間。廣義函數(shù)又叫作分布，廣義函數(shù)空間又叫分布空間。第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.2廣義函數(shù)的收斂性第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.3自變量的變換第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.4廣義函數(shù)的微商與乘子第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解廣義函數(shù)微商的性質(zhì)：第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.5廣義函數(shù)的支集

一個(gè)廣義函數(shù)逐點(diǎn)的值是沒有意義的，但是我們有第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.6廣義函數(shù)的卷積

為了給出廣義函數(shù)卷積的合理定義，先從常義函數(shù)第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

于是，若使廣函卷積是常以函數(shù)卷積的合理推廣，應(yīng)把兩個(gè)廣函f與g的卷積定義為第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第四十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解廣函卷積的可交換性第四十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第四十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第四十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解廣函卷積的性質(zhì)：第四十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.2.7

第四十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

廣義函數(shù)Fourier變換的性質(zhì)：第四十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第四十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第五十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.3基本解8.3.1基本解的概念

P(D)的基本解也叫做方程P(D)U=0的基本解。基本解不唯一，因?yàn)橐粋€(gè)基本解加上方程P(D)U=0的任一個(gè)解也滿足方程(8.3.1)，故通常只要求得一個(gè)具有奇性的基本解即可（即把滿足齊次方程的線性疊加部分去掉）。第五十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解3第五十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第五十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.3.2第五十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解

現(xiàn)在看Cauchy問題第五十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解第五十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解8.3.3第五十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第8章廣義函數(shù)與基本解的基本解。第五十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年