【2022屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全案】《一元二次不等式及其解法》

x∈?

2．一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)Δ的情況一元二次方程一元二次不等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a>0)ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}{x|x≠x0，x∈R}?

二次函數(shù)Δ的情況一元二次方程一元二次不等式圖象與解Δ<0方程無解解集為

解集為

?R3.用程序框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法過程為：1．(2010·廣州一模)不等式x2－3x＋2＜0的解集為(

)A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)

B．(－2，－1)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1,2)[答案]

D[答案]

A3．(2009·山東卷文)在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)＜0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)[解析]

依題意得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2∴x⊙(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1[答案]

B[點(diǎn)評(píng)與警示]

1.利用函數(shù)圖象法解不等式．步驟是：①化ax2＋bx＋c≥0(≤0)(a>0)；②判定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0根的存在；③根據(jù)y＝ax2＋bx＋c圖象，寫出解集．2．對于分式不等式，可考慮化為與之等價(jià)的整式不等式來求解．3．對分段函數(shù)，分段解決，再綜合下結(jié)論．若m＞－1，解關(guān)于x的不等式x(x＋m－1)≥m[解]

原不等式可以化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x＋m)＝0的根為1和－m，由于m＞－1，所以－m＜1，所以不等式x(x＋m－1)≥m的解集為{x|x≤－m或x≥1}例題中的去掉條件m＞－1，那么不等式x(x＋m－1)≥m的解又如何？并設(shè)計(jì)框圖求解該不等式[解]

原不等式可化為(x－1)(x＋m)≥0，則方程(x－1)(x＋m)＝0根1，－m，討論兩根大小，作函數(shù)圖象如圖：若－m<1即m>－1時(shí)，x≤－m或x≥1.若－m＝1即m＝－1時(shí)，原不等式的解集為R.若－m>1，即m<－1時(shí)，則x≤1或x≥－m.利用框圖求解：先整理不等式：x2＋(m－1)x－m≥0，再設(shè)計(jì)框圖，如下圖．

已知f(x)＝x2－2ax＋2，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．[解]

由f(x)＝x2－2ax＋2得f(x)≥a為x2－2ax＋2≥a，∴f(x)≥a恒成立，即x2－2ax＋2－a≥0恒成立要使得x2－2ax＋2－a≥0恒成立，只需Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤1∴所求a的取值范圍為－2≤a≤1例題中加上條件：在x∈[－1，＋∞)上，f(x)≥a恒成立，那么a的取值范圍又是什么呢？[解]

f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a，①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，結(jié)合圖象知，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3，又a＜－1，∴－3≤a＜－1②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，由a≥－1，∴－1≤a≤1綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1

某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛，本年度為了適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本，若每輛的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同年預(yù)計(jì)年銷售量增加比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量(1)寫出本年度預(yù)計(jì)利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？1．解一元二次不等式的一般步驟(1)對不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．2．對于解含有參數(shù)的二次不等式