【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】?jī)绾瘮?shù)

1第十課時(shí)冪函數(shù)第三章基本初等函數(shù)（Ⅰ）

1.冪函數(shù)的定義形如

（α∈R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是

，α為

.

2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)當(dāng)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)

，且在（0，+∞）上是

；當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)

，且在（0，+∞）上是

.

2增函數(shù)（0，0）、（1，1）指數(shù)底數(shù)y=xα減函數(shù)（1，1）

1.下列函數(shù)：①y=；②y=3x-2；③y=x4+x2；④y=，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

②是一次函數(shù)，③是兩個(gè)冪函數(shù)的和.3B

2.冪函數(shù)y=xm2-2m-3（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，則m的值為（

）

A.-1

B.0

C.1

D.2

由m2-2m-3<0，得-1<m<3.又m∈Z,所以m=0,1,2.因?yàn)閙2-2m-3為偶數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，m=1符合，

故選C.4

3.已知冪函數(shù)f（x）=xα由下表定義，則f（|x|）≤2的解是（）

由，得α=

,所以則-4≤x≤4,故選D.5x1f（x）1

4.函數(shù)y=（x-1）α（α≠0）始終過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

5.已知點(diǎn)P（，3）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）的表達(dá)式為

.設(shè)f（x）=xα，則，解得α=-2.6（1,0）,（2,1）f（x）=x-2

1.冪函數(shù)的概念（1）當(dāng)α=0時(shí)，若冪函數(shù)y=xα的圖象是平行于x軸的直線，則這條直線不經(jīng)過點(diǎn)

.（2）若冪函數(shù)y=xα的圖象在（0,+∞）上增長(zhǎng)的速度越來越慢，則α的取值范圍是

.（3）對(duì)于冪函數(shù)y=xα,當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，有xα>x，則α的取值范圍是

.7（0,1）（0,1）（0,1）

2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（1）冪函數(shù)y=xα，對(duì)于x1,x2∈（0,+∞）且x1<x2時(shí)，總有f（x1）>f（x2），則α的取值范圍是

.

（2）冪函數(shù)y=xα的圖象一定不會(huì)經(jīng)過

第

象限.

（3）已知

則x的取值范圍是

.8（-∞,0）四（0,1）

3.冪函數(shù)的應(yīng)用

（1）設(shè)點(diǎn)A1（x1,f（x1））,A2（x2,f（x2））（x1<x2）是冪函數(shù)f（x）=

的圖象上的兩點(diǎn).已知

則a、b的大小關(guān)系是

.

（2）設(shè)α∈{-2,-1,

,

,1,2}，冪函數(shù)y=xα，當(dāng)x∈（1,+∞）時(shí)，它的圖象恒在直線y=x的下方，則α=

.9a<b，－1，

－2

題型1

冪函數(shù)的概念若函數(shù)

+（x2-mx+1）0的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

10依題意得對(duì)x∈R恒成立，故解得所以1<m<2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1,2）.11

【評(píng)注】?jī)绾瘮?shù)的定義域是根據(jù)冪函數(shù)的表達(dá)式的特點(diǎn)來確定的.本題看成兩個(gè)冪函數(shù)的和，前一個(gè)，α<0，且要開偶次方，故冪的底數(shù)恒大于0，后一個(gè)要求底數(shù)不能為0，且底數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故底數(shù)也要恒大于0.12

函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈（0,+∞）時(shí)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是冪函數(shù)，所以m2-m-1=1，得m=-1或m=2.當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=0，不符合要求；當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f（x）=x-3，它在（0,+∞）上是減函數(shù).故m=2.13

題型2

冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用已知冪函數(shù)f（x）=（4m2-3）xm2-2m-3的圖象與x軸、y軸都無公共點(diǎn)，且函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求整數(shù)m的值.

由4m2-3=1，得m=±1.當(dāng)m=1時(shí)，m2-2m-3=1-2-3=-4，函數(shù)化為f（x）=x-4，符合要求，所以m=1；當(dāng)m=-1時(shí)，m2-2m-3=1+2-3=0，顯然，不符合要求.14

【評(píng)注】本題是屬于求符合條件的函數(shù)表達(dá)式問題，冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，是說明性定義，如果函數(shù)是冪函數(shù)，則其表達(dá)形式y(tǒng)=xα的整體系數(shù)是1；對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，其冪指數(shù)一定是負(fù)數(shù)，要牢記冪函數(shù)在第一象限的圖象的位置關(guān)系.15

已知函數(shù)f（x）=x3m-9（m∈N*）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0,+∞）上函數(shù)值隨x的增大而減小，求該函數(shù)的表達(dá)式.

由于函數(shù)f（x）在（0,+∞）上是減函數(shù)，所以3m-9<0,得m<3.又m∈N*，所以m=1,2.當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)化為f（x）=x-6，符合要求；當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)化為f（x）=x-3，其圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.于是所求函數(shù)的表達(dá)式為f（x）=x-6.16

題型3冪函數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)g（x）=（a+1）x-3+2（a>-1）的圖象恒過定點(diǎn)A，點(diǎn)A在函數(shù)f（x）=（x+1）α+1（x≥-1）的圖象上.（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，若f（x-1）,f（3）,f（x+1）成等差數(shù)列，求x的值.

（1）當(dāng)x=3時(shí)，g（3）=3，所以函數(shù)g（x）的圖象過定點(diǎn)A（3，3）.17

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，得3=4α+1，即22α=2，所以α=

，所以

f（x）=

+1（x≥-1）.

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x-1）=

+1,f（3）=3,

f（x+1）=

+1.依題意得2f（3）=f（x-1）+f（x+1）,即4=

+

，18即

=4－

，得

，所以

.

【評(píng)注】掌握冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)是研究?jī)绾瘮?shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).本例中的第（2）小題中把三個(gè)冪函數(shù)的值通過等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為無理方程，求解有一定的難度，是一道較好的綜合題.19

若函數(shù)

的圖象與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

因?yàn)楹瘮?shù)的最大值ymax=1+m，且其圖象以x軸為漸近線，所以，將圖象向下平移就能使其與x軸相交，但平移的距離不能超過1個(gè)單位長(zhǎng)度.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是［-1,0）.20將函數(shù)化簡(jiǎn)為

1.冪函數(shù)的概念冪函數(shù)的定義是說明性定義，形如y=xα（α為常數(shù)）的函數(shù)叫冪函數(shù).重點(diǎn)掌握α=-1,

,

,1,2,3時(shí)的冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)由α的取值決定.應(yīng)用冪函數(shù)知識(shí)解題時(shí)，要熟知常見冪函數(shù)的特征，要重視數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題設(shè)條件及冪函數(shù)的性質(zhì)作出示意圖，再由圖象得出進(jìn)一步的結(jié)論.21

2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由α的取值不同而變得比較復(fù)雜，但過定點(diǎn)（1，1）是共同的，當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象還過定點(diǎn)（0，0），當(dāng)α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn).冪函數(shù)在（0,+∞）上的單調(diào)性，從三個(gè)方面考查：（1）當(dāng)0<α<1時(shí)，函數(shù)圖象在區(qū)間（0,1）上總在直線y=x的上方（xα>x），在區(qū)間（1,+∞）上總在直線y=x的下方（xα<x），所以函數(shù)圖象在（0,+∞）上成上凸姿勢(shì)，函數(shù)是增函數(shù)，增長(zhǎng)的速度越來越緩慢；22

（2）當(dāng)α>1時(shí)，函數(shù)圖象在區(qū)間（0,1）上總在直線y=x的下方（xα<x），在區(qū)間（1,+∞）上總在直線y=x的上方（xα>x），所以函數(shù)圖象在（0,+∞）上成下凸姿勢(shì)，函數(shù)是增函數(shù)，增長(zhǎng)的速度越來越快；（3）當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)圖象在區(qū)間（0,+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0,1）上函數(shù)的圖象總在直線y=x的上方（xα>x），在區(qū)間（1,+∞）上總在直線y=x的下方（xα<x）.23冪函數(shù)的奇偶性，一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式，再根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.

要注意，冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.24

1.（2009·福建卷）下列函數(shù)中，與函數(shù)y=有相同定義域的是（）

A.f（x）=lnx

B.f（x）=

C.f（x）=|x|

D.f（x）=ex

答案：A25

2.（2008·全國卷Ⅱ）函數(shù)f（x）=

-x的圖象關(guān)于（

）

A.y軸對(duì)稱

B.直線y=-x對(duì)稱

C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

D.直線y=x對(duì)稱

易知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

答案：C26

3.（2009·陜西卷）設(shè)曲線y=xn+1（