【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】直線平面垂直的判定與性質(zhì)

1第三課時(shí)第九章立體幾何直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的_________直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面互相垂直.2.直線和平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的__________直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.2兩條相交任意一條3.直線和平面垂直的性質(zhì)若a⊥α，bα，則_________；若a⊥α，b⊥α，則_________；若a⊥α，a⊥β，則________.過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.4.平面與平面垂直的定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角為________，就這兩個(gè)平面垂直.3a⊥b

a∥b

α∥β

90°5.兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的_______,則這兩個(gè)平面垂直.6.兩平面垂直的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)_______________的直線與另一個(gè)平面垂直.4垂線垂直于交線7.點(diǎn)到平面的距離：過一點(diǎn)作平面的垂線,____________________叫做點(diǎn)到平面的距離.8.直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上______________到這個(gè)平面的距離叫做直線到平面的距離.5任意一點(diǎn)點(diǎn)與垂足間線段的長度1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行;②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行;③一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直.A.0B.1C.2D.36D

2.已知直線l⊥平面α，直線mβ.有下列四個(gè)命題：

①α∥βl⊥m；

②α⊥βl⊥m；

③l∥mα⊥β；

④l⊥mα∥β.

其中正確的命題是(

)

A.①②

B.③④

C.②④

D.①③7D

①對(duì)，因?yàn)閘⊥平面α，α∥β，所以l⊥β.又mβ，所以l⊥m；

②錯(cuò)，因?yàn)閘可以和m平行；

③對(duì)，因?yàn)閘⊥平面α,l∥m，所以m⊥α.又mβ，所以α⊥β；

④錯(cuò)，因?yàn)棣?、β還可以相交.

故選D.83.如果直線l是平面α的斜線，那么在平面α內(nèi)（）A.不存在與l平行的直線B.不存在與l垂直的直線C.與l垂直的直線只有一條D.與l平行的直線有無數(shù)多條9A

4.如圖，直線PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的任意一點(diǎn).有下列四個(gè)結(jié)論：①PC⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PA⊥BC.其中不正確的是

.10③

依題意,∠ACB=90°,即BC⊥AC.

又PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC.

而PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，

所以BC⊥PC.

綜上得①②④正確.

假設(shè)③正確,則因?yàn)锳C⊥PB,AC⊥BC,

所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥PC.

顯然，這與由PA⊥底面ABC，得PA⊥AC矛盾.

故不正確的結(jié)論是③.115.如圖，等腰Rt△ABC沿其斜邊AB上的高CD對(duì)折，使△ACD與△BCD所在平面垂直，則∠ACB=_________.

連接AB.由平面ACD⊥平面BCD，易知∠ADB=90°，且AD=DB，所以AB=AD.又△ADC與△BDC均為等腰直角三角形，所以AC=BC=AD，所以△ABC為等邊三角形，所以∠ACB=60°.1260°1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)已知直線a,b和平面α，判斷下列命題是否正確.①若a∥b,a⊥α,則b⊥α;()②若a⊥α,b⊥α，則a∥b;()③若a⊥α,a⊥b,則b∥α;()④若a∥α,a⊥b,則b⊥α.()13√√××(2)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，體對(duì)角線AC1與面對(duì)角線BD的位置關(guān)系是_________.(3)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，則四個(gè)側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)為__.14垂直42.面面垂直的判定與性質(zhì)(1)過平面α外的一條直線，且與平面α垂直的平面有()A.一個(gè)B.無數(shù)個(gè)C.不存在D.一個(gè)或無數(shù)個(gè)(2)已知兩平面α,β滿足α⊥β，直線aα，則直線a與平面β的位置關(guān)系是()A.a⊥βB.a∥βC.a⊥β或a∥βD.以上都不對(duì)15DD題型1：線線、線面、面面垂直關(guān)系的綜合問題若l、m為兩條不重合的直線，α、β、γ為三個(gè)互不重合的平面，給出下面5個(gè)命題：①α⊥γ,β⊥γα⊥β；②α⊥γ,β∥γα⊥β；③l∥α,l⊥βα⊥β；④m∥l,m⊥α,l⊥βα⊥β;16其中正確的命題有(

)

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)命題①不正確.由α⊥γ,β⊥γ,則α與β可能相交或平行；命題②正確.因?yàn)棣痢挺?，所以在α?nèi)必定可以作一條直線a垂直于兩平面的交線，所以a⊥γ.又β∥γ，所以a⊥β.而aα，故α⊥β成立.17B命題③正確.由l∥α，知過l作平面γ與α相交于直線m，則l∥m,mα.又因?yàn)閘⊥β,所以m⊥β,從而α⊥β成立.命題④不正確.因?yàn)閙∥l,m⊥α,所以l⊥α.又l⊥β，所以α∥β.綜上，只有②③正確,故選B.18

【評(píng)注】跟平行問題一樣，本題主要考查線線、線面、面面的垂直問題.高考幾乎年年都單獨(dú)考查學(xué)生對(duì)線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的理解，考查學(xué)生對(duì)符號(hào)語言、圖形語言、文字語言熟練轉(zhuǎn)換的能力.以選擇題、填空題居多，既可能就平行或垂直單獨(dú)進(jìn)行考查，又可能在平行中滲透垂直，垂直中兼顧平行，既考查空間想象能力，又考查邏輯推理能力.19

設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，考查下列命題，其中正確的命題是(

)

A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥β

B.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n

C.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥n

D.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β

20B

A錯(cuò)，由m⊥α,nβ,m⊥nα,β相交或平行；

B對(duì)，因?yàn)橛搔痢桅?m⊥αm⊥β，

又n∥β，所以m⊥n;

C錯(cuò)，m,n垂直、相交、異面均有可能;

D錯(cuò)，只有當(dāng)nα?xí)r才會(huì)有n⊥β.

綜上，選B.21

題型2：線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn).證明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.22

(1)在四棱錐P—ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.

又因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.

而AE平面PAC，所以CD⊥AE.

(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，

得△ABC是等邊三角形，故AC=PA.

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.23

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.

而PD平面PCD，所以AE⊥PD.

又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.

由已知得AB⊥AD，且PA∩AD=A，

所以AB⊥平面PAD.

又PD平面PAD，所以AB⊥PD.

因?yàn)锳B∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.24

【評(píng)注】本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.立體幾何的證明關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分析和掌握一些常規(guī)的證明方法.如：已知中點(diǎn)證明垂直時(shí)要首先考慮等腰三角形中的“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關(guān)系較多時(shí)最好標(biāo)示出來，充分進(jìn)行計(jì)算，從而發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的垂直等關(guān)系；已知線面垂直時(shí)會(huì)有哪些結(jié)論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證明結(jié)論或要得到哪個(gè)結(jié)論，就必須滿足什么條件等.25在四棱錐S-ABCD中,側(cè)棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點(diǎn).（1）求證：AC⊥平面SBD；（2）若E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持PE⊥AC，試指出動(dòng)點(diǎn)P的轉(zhuǎn)跡，并證明你的結(jié)論.26（1）證明：連接SO.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，O為中心，所以AC⊥BD.又SA=SC，O為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥SO.因?yàn)锽D∩SO=O，所以AC⊥平面SBD.27（2）取棱SC的中點(diǎn)M，CD的中點(diǎn)N，連接MN，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即是線段MN.證明：連接EM，EN.因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，M是SC的中點(diǎn)，所以EM∥SB.同理，EN∥BD.因?yàn)锳C⊥平面SBD，AC⊥SB，所以AC⊥EM.又AC⊥BD，所以AC⊥EN.因?yàn)镋M∩EN=E，所以AC⊥平面EMN.因此，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有AC⊥EP.28

題型3：面面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用如下圖，已知平面α、β、γ滿足α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求證：l⊥γ.29證法1：設(shè)α∩γ=AB,β∩γ=BC,如圖所示.

在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P，過P作直線m,n分別垂直于直線AB，BC.

因?yàn)棣痢挺?β⊥γ，

所以m⊥α,n⊥β.

又α∩β=l,所以lα且lβ,所以m⊥l,n⊥l.

而m∩n=P,所以l⊥γ.30證明證法2：設(shè)α∩γ=AB,β∩γ=BC,如圖所示.

在α、β內(nèi)分別作直線a、b,使得a⊥AB,b⊥BC.

由面面垂直的性質(zhì)定理得a⊥γ,b⊥γ.

所以a∥b，且aβ,bβ.

由線面平行的判定定理得a∥β.

又因?yàn)閍α,α∩β=l，

故由線面平行的性質(zhì)定理得a∥l.

綜上有a⊥γ,a∥l，所以l⊥γ.31

【評(píng)注】本題是人教版必修2中73頁的習(xí)題，題目文字少，但有一定難度.只有真正對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理熟練掌握后才能得心應(yīng)手.面面垂直的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是“垂直于交線，則垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先應(yīng)找交線，看是否在某個(gè)平面內(nèi)存在直線垂直于交線，若無，肯定要向交線作垂線.在不同平面內(nèi)向交線作垂線都能解決問題，但難度顯然不同，做題前應(yīng)認(rèn)真分析.本題的證法1雖簡單，但證法2將平行和垂直的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)考查得淋漓盡致，不失為一個(gè)訓(xùn)練的好題.32（2009·茂名二模）如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6.將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.（1）求證：BC⊥A1D；（2）求證：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱錐A1-BCD的體積.33（1）證明：因?yàn)锳1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD.又BC平面BCD，所以BC⊥A1O.因?yàn)锽C⊥CO，A1O∩CO=O，所以BC⊥平面A1CD.而A1D平面A1CD，所以BC⊥A1D.34（2）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以A1D⊥A1B.由（1）知A1D⊥BC，又A1B∩BC=B，所以A1D⊥平面A1BC.而A1D平面A1BD，所以平面A1BC⊥平面A1BD.（3）因?yàn)锳1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C.因?yàn)锳1D=6，CD=10，所以A1C=8，所以35

證明線線、線面、面面平行或垂直時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找解題思路.(2)利用題設(shè)條件添加適當(dāng)?shù)妮o助線或輔助面是解題的常用方法之一.例如：證明平行時(shí)遇到中點(diǎn)要設(shè)法構(gòu)造中位線或平行四邊形，而證明垂直時(shí)則要構(gòu)造等腰三角形的中線、高線、角平分線三線合一；證明線面、面面垂直時(shí)要注意條件的充分性，已知線面垂直或面面垂直時(shí)要用好性質(zhì)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助面.361.新教材中刪去了三垂線定理，用傳統(tǒng)方法求角和距離的要求也相當(dāng)?shù)停虒W(xué)中不要過分強(qiáng)調(diào).但是必須明確斜線、垂線、以及斜線在平面內(nèi)的射影之間的聯(lián)系，會(huì)作出斜線在平面內(nèi)的射影，從而為線線或線面垂直做好鋪墊.372.線面垂直的性質(zhì)可以用來證明兩條直線垂直和平行，也可以實(shí)現(xiàn)面面垂直的證明，因此線面垂直關(guān)系是線線垂直、線線平行、面面垂直的樞紐，進(jìn)而是整個(gè)線面位置關(guān)系的核心.3.在線面垂直的定義中，一定要弄清楚“任意”與“無數(shù)”這兩個(gè)術(shù)語內(nèi)涵的差異，后者存在于前者中.“任意”的理解最終轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”，證明時(shí)此條件不可缺少.38

4.面面垂直的性質(zhì)的理解中三個(gè)條件也不可缺少，即：①兩個(gè)平面垂直；②其中一個(gè)平面內(nèi)的直線；③垂直于交線.所以無論何時(shí)見到已知兩個(gè)平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這樣就能目標(biāo)明確，事半功倍.39

5.注意充分利用好身邊的物體進(jìn)行比劃和舉反例，如將教室當(dāng)成六面體，將書桌、課本、紙張當(dāng)成平面，筆當(dāng)成直線等，這些方法依然是解決空間線面位置關(guān)系的最佳方法.401.（2009·廣東卷）給出下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；41③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，為真命題的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④42D2.（2009·福建卷）如圖，平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°，AB=2,AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.（1）求證：AB⊥DE;（2）求三棱錐E-ABD的側(cè)面積.43