【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】1拋物線

1第四課時拋物線第十一章集合與常用邏輯1.拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(直線l不經(jīng)過點F)

的點的軌跡叫做拋物線，

叫做拋物線的焦點，

叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)(p＞0)：p的幾何意義是

.2焦點到準(zhǔn)線的距離距離相等點F直線l3標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點F(

,0)F(-

,0)F(0,

)F(0,-

)準(zhǔn)線x=-

x=

y=-

y=

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py4范圍x≥0,y∈Rx≤0，y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0對稱軸x軸y軸頂點(0，0)離心率e=1

2.拋物線的焦半徑、焦點弦

(1)y2=2px(p≠0)的焦半徑|PF|=

；x2=2py（p≠0）的焦半徑|PF|=

；(2)過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑，其長度為

.(3)若線段AB為拋物線y2=2px的焦點弦，則xAxB=

，yAyB=

，|AB|=

.5xA+xB+p2p-p21.若拋物線y=4x2上的一點M到其焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是（）A.

B.C.

D.06B2.邊長為1的等邊三角形AOB，O為原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A、B的拋物線方程是(

)A.

B.

C.

D.7C設(shè)AB⊥x軸于點D，則|OD|=1·cos30°=

,|AD|=1·sin30°=

,所以A(

).由題意可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，將點A的坐標(biāo)代入即可得2p=

結(jié)合圖形的對稱性知選C.83.若拋物線y2=2px的焦點與橢圓

的右焦點重合，則p的值為（

）A.-2

B.2C.-4

D.4

因為橢圓

的右焦點為(2，0)，所以拋物線y2=2px的焦點為(2，0)，則p=4.9D4.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是

.

設(shè)拋物線y=-x2上一點為(m,-m2)，該點到直線4x+3y-8=0的距離為故當(dāng)m=

時，d取得最小值，為

.105.（2009·深圳二模）已知離心率為e的雙曲線的右焦點與拋物線y2=16x的焦點重合，則e的值為

.111.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：A.焦點在y軸上B.焦點在x軸上C.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于612D.拋物線的通徑的長為5E.由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足的坐標(biāo)為(2，1).能使這條拋物線的方程為y2=10x的條件是_______.(要求填寫合適條件的序號)13B、E(2)頂點在原點且過點(2,4)的拋物線方程為____________.(3)若方程y=ax2(a<0)表示的曲線是拋物線，則其準(zhǔn)線方程為________.2.拋物線的幾何性質(zhì)(1)在拋物線y2=2px上，若橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5，則p的值為()A.B.1C.2D.414y2=8x或x2=yC(2)設(shè)過拋物線y2=4x的焦點的直線與拋物線相交于點A(x1,y1)、B(x2,y2)，且|AB|=6,則x1+x2=___.(3)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2).若y1y2=-16,則p=____.1544題型1：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

求定點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(-3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.

設(shè)所求的拋物線方程為y2=-2px或x2=2py(p>0).因為拋物線過點(-3,2),所以4=-2p·(-3)或9=2p·2,解得p=

或p=

.16所以所求拋物線的方程為y2=-

x或x2=

y,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=

,y=-

.【評注】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個待定系數(shù)p.從實際分析，一般需確定p和開口方向兩個條件，有時需要相應(yīng)的討論.17根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點；(2)過點P(2，-4)；(3)拋物線的焦點在y軸上，拋物線上一點M(m,-3)到焦點的距離為5.18

(1)雙曲線的方程化為由題意設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p＞0)，則-

=-3，所以p=6.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-12x.(2)由于點P(2，-4)在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，故可設(shè)拋物線的方程為y2=mx或x2=ny，代入P點的坐標(biāo)可得m=8或n=-1.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x或x2=-y.19其左頂點為(-3，0).(3)由題意知，拋物線的開口向下，設(shè)其方程為x2=-2py(p＞0).又點M(m,-3)到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線y=的距離，為|-3-

|=5，所以p=4或p=-16(舍去).所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y.20題型2：拋物線的幾何性質(zhì)

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明：直線AC經(jīng)過原點O.21

設(shè)直線AB的方程為x=my+

，將其代入y2=2px，得y2-2pmy-p2=0.由韋達(dá)定理，得yAyB=-p2，即yB=

因為BC∥x軸，且點C在準(zhǔn)線x=-

上，所以C(-

，yB).則故直線AC經(jīng)過原點O.22證法1：

如右圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，過A作AD⊥l，垂足為D.則AD∥EF∥BC.23證法2：連接AC交EF于點N，則因為|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，所以即N是EF的中點，從而點N與點O重合.故直線AC經(jīng)過原點O.24【評注】本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)A·yB=-p2這個重要結(jié)論.還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目.本例需證直線AC經(jīng)過原點O，即證O、A、C三點共線.為此只需證kOC=kOA.此外，本題也可由拋物線的幾何性質(zhì)，運用平面幾何知識去解決，如證法2，這使得本題的“幾何味”特別濃.25若定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上運動，記線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標(biāo).26如圖，過A，B及M分別引準(zhǔn)線的垂線AC、BD、MN，垂足分別為C、D、N.根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)及定義，

若F為焦點，有|MN|=

(|AC|+|BD|)=

(|AF|+|BF|)≥

|AB|=

，當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點F時取等號.又此時|M′N|=

，點M與y軸的最短距離為|MM′|=

，且27設(shè)F是拋物線G:x2=4y的焦點.(1)過點P(0,-4)作拋物線G的切線，求切線方程;(2)設(shè)A、B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足=0，延長AF、BF分別交拋物線G于C、D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值.28題型3：拋物線的綜合應(yīng)用

(1)方法1:由題意可知，切線的斜率存在，故可設(shè)切線的方程為y=kx-4.

y=kx-4

x2=4y因為直線與拋物線相切，故Δ=16k2-64=0，所以k=±2.故所求切線的方程為y=±2x-4.29由，得x2-4kx+16=0.方法2：設(shè)切點Q（x0,）.由y′=x2，知拋物線在Q點處的切線的斜率為故所求切線的方程為即因為點P（0,-4）在切線上,所以-4=-，則=16，故x0=±4.所以所求切線的方程為y=±2x-4.30(2)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2).由題意知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設(shè)k>0.因直線AC過焦點F(0,1)，所以直線AC的方程為y=kx+1.點A,C的坐標(biāo)滿足方程組

y=kx+1

x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0.由根與系數(shù)的關(guān)系知

x1+x2=4k

x1x2=-4.31所以因為AC⊥BD，所以直線BD的斜率為從而直線BD的方程為y=同理可求得32所以S四邊形ABCD=

|AC||BD|當(dāng)k=1時，等號成立.所以，四邊形ABCD面積的最小值為32.【評注】本例的關(guān)鍵是判斷四邊形ABCD為矩形，進(jìn)而確立以直線AC的斜率k為參數(shù)表示四邊形的面積，然后水到渠成地運用韋達(dá)定理表示邊長來求面積.33設(shè)F(1，0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且(1)當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)是曲線C上除原點外的三點，且

成等差數(shù)列.當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點E(3，0)時，求B點的坐標(biāo).34(1)因為故P為線段MN的中點.又因為點P在y軸上，F(xiàn)(1，0)，故點M在x軸的負(fù)半軸上.設(shè)N(x,y)，則M(-x,0),P(0,

)(x＞0)，所以又因為故=0，即所以y2=4x(x＞0)，即為軌跡C的方程.35(2)拋物線C的準(zhǔn)線方程是x=-1.由拋物線的定義，知=x1+1，因為成等差數(shù)列，所以x1+1+x3+1=2(x2+1)，所以x1+x3=2x2.又故=(y1+y3)(y1-y3)=4(x1-x3)，所以36所以線段AD的中垂線方程為因為AD的中點()在其中垂線上，所以即1=-(x2-3)，所以x2=1.因為

=4x2，所以y2=±2，所以B點的坐標(biāo)為(1，2)或(1，-2).37又當(dāng)|BC|2＞|AC|2+|AB|2，即即時，∠CAB為鈍角.當(dāng)|AC|2＞|BC|2+|AB|2，381.抓住拋物線的定義與幾何性質(zhì)，結(jié)合問題熟練運用坐標(biāo)法、待定系數(shù)法、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想和方法，分析清楚題中所給幾何圖形的性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê喗萸蠼?2.有關(guān)拋物線的焦半徑、焦點弦的問題，常轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離.有關(guān)直線與拋物線的位置關(guān)系問題，常用方程組思想、消元法，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求解.393.理解幾個結(jié)論：如圖，拋物線y2=2px，準(zhǔn)線為CD，AB為過焦點F的弦，M、N分別為AB、CD的中點，則AN⊥BN，DF⊥CF，NF⊥AB.40

|AF|=|AC|

|BF|=|BD|

|MN|=

(|AC|+|BD|)

在以AB為直徑的圓上AN⊥BN.|AF|=|AC|∠ACF=∠AFCAC∥FK∠ACF=∠CFK∠CFK=∠AFC.41由同理，∠BFD=∠KFD，故∠CFD=90°.所以|ND|=|NF|，而|BD|=|BF|，BN為公共邊，得△BDN≌△BFN，可知NF⊥BF.又由Rt△BNA和射影定理，得421.（2009·四川卷）已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）A.2

B.3C.

D.43A解析：易知直線l2:x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線.由拋物線的定義知，動點P到直線l2的距離等于它到拋物線的焦點F(1,0)的距離.故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線y2=4x上找44一點P,使得點P到點F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離，即

2.(2009·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2，2)，其焦點F在x軸上.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；