第23講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（原卷版）

第23講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系【知識點(diǎn)梳理】1．直線和曲線聯(lián)立（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，（正設(shè)）橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，（反設(shè)）注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．=2\*GB3②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時，特殊的，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標(biāo)來記憶．拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?．根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立,為了方便敘述，將上式簡記為,，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．【題型目錄】題型一：直線與橢圓位置關(guān)系題型二：直線與雙曲線位置關(guān)系題型三：直線與拋物線位置關(guān)系【典例例題】題型一：直線與橢圓位置關(guān)系【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線與圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)的個數(shù)為（）A．0或1B．2C．1D．0【例3】（2022全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（）A．相交B．相離C．相切D．不確定【例4】（2022·江蘇·高二）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若過點(diǎn)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______．【例5】（2021·云南省昆明市第十中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)是圓：上一點(diǎn)，則圓在處的切線方程為，由此類比可得到的正確結(jié)論是：設(shè)是橢圓：上一點(diǎn)，則橢圓在處的切線方程為_________________．【例6】（2022·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高二期末）已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為______．【例7】（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知動點(diǎn)到定點(diǎn)、的距離之比為，動直線與垂直，垂足為點(diǎn)．(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)是否存在中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓使得它與直線只有一個公共點(diǎn)？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由．【例8】（2022·江蘇鹽城·高二期末）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，OP的最小值為1，F(xiàn)P的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)直線上是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q能作橢圓C的兩條互相垂直的切線？若存在，請求出這樣的點(diǎn)Q；若不存在，請說明理由．【題型專練】1．（2022全國·高二課時練習(xí)）直線：，橢圓，則直線和橢圓的位置關(guān)系是__．2.（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）直線：與橢圓的位置關(guān)系是____________.3.（2022·江蘇·高二）若直線和圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．需根據(jù)a，b的取值來確定4.（2022遼寧·高二階段練習(xí)）已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（）A．相離B．相切C．相交D．無法確定5．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙），則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A．3B．4C．5D．66．（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知直線：與橢圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A．若與至少有一個公共點(diǎn)，則B．若與有且僅有兩個公共點(diǎn)，則C．若，則上到的距離為5的點(diǎn)只有1個D．若，則上到的距離為1的點(diǎn)只有3個7．（2022遼寧·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和曲線，則對于直線下列說法正確的是（）A．若，，，則直線與曲線沒有交點(diǎn)B．若，，，則直線與曲線有二個交點(diǎn)C．若，，，則直線與曲線有一個交點(diǎn)D．直線與曲線的位置關(guān)系和在哪里無關(guān)8．（2022·廣西·浦北中學(xué)高二期中（文））在直角坐標(biāo)系中，橢圓C方程為，P為橢圓C上的動點(diǎn)，直線的方程為：，則點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為__________.9．（2022·江西·臨川一中高三期中（文））已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C及圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P，且與橢圓C相切，與圓M相交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，試判斷直線與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10．（2022·四川·樂山市教育科學(xué)研究所二模（文））已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線過P且與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn).①求直線的方程（用，表示）；②設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)M，N，求面積的最小值.題型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C．D．【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過且與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．4條【例3】（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校三模（理））已知雙曲線：及雙曲線：，且的離心率為，若直線與雙曲線，都無交點(diǎn)，則的值是（）A．2B．C．D．1【例4】（2022·遼寧·沈陽二中模擬預(yù)測多選題）已知點(diǎn)，，若某直線上存在點(diǎn)P，使得，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（）A．B．C．D．【例5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與雙曲線無交點(diǎn)，則該雙曲線離心率的最大值為______．【例6】（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)多選題）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)（5，0）作直線交該雙曲線于A和B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A．或B．該雙曲線的離心率為C．滿足的直線有且僅有一條D．若A和B分別在雙曲線左、右兩支上，則直線的斜率的取值范圍是2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若過點(diǎn)的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A．B．C．D．3．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（）A．B．C．D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一個頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為()A．B．C．D．5．（2022·全國·高二單元測試）若直線l經(jīng)過雙曲線的中心，且與該雙曲線不相交，則l的斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（2022·全國·高二期中多選題）已知兩點(diǎn)和，若直線上存在點(diǎn)P，使，則稱該直線為“B型直線”．下列直線中為“B型直線”的是（）A．B．C．D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍為_____.8．（2022·四川·仁壽一中高二期中（理））若直線與雙曲線始終只有一個公共點(diǎn)，則取值范圍是_____________.9．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則k的取值范圍為___________.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是____．題型三：直線與拋物線【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線的方程為，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．【例2】（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時，直線的傾斜角為（）A．B．C．或D．或【例3】（2022·全國·高二單元測試多選題）泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒有交匯的軌跡（即兩個軌跡沒有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”【例4】（2022·四川資陽·高二期末（文））過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為___________.【題型專練】1．（2022·陜西渭南·高一期末）已知拋物線與直線有且僅有一個交點(diǎn)，則（）A．4B．2C．0或4D．82.（2022·四川自貢·高二期末（文））過點(diǎn)與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條3．（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試多選題）已知拋物線上的