高考導(dǎo)數(shù)(洛必達(dá)法則)

第二部分：泰勒展開式1.其中；2.其中；3.，其中；4.其中；第三部分：新課標(biāo)高考命題趨勢及方法許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型.這類題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)的方法，一部分題用這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路——分類討論和假設(shè)反證的方法.雖然這些壓軸題可以用分類討論和假設(shè)反證的方法求解，但這種方法往往討論多樣、過于繁雜，學(xué)生掌握起來非常困難.研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決這部分問題的原因是出現(xiàn)了”型的式子，而這就是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是洛必達(dá)法則.第四部分：洛必達(dá)法則及其解法洛必達(dá)法則：設(shè)函數(shù)、滿足：（1）；（2）在內(nèi)，和都存在，且；（3）（可為實數(shù)，也可以是）.則.（2011新）例：已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍.（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分類討論、假設(shè)反證法由（Ⅰ）知，所以.考慮函數(shù)，則.(i)當(dāng)時，由知，當(dāng)時，.因為，所以當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，可得，從而當(dāng)且時，，即；（ii）當(dāng)時，由于當(dāng)時，，故，而，故當(dāng)時，，可得，與題設(shè)矛盾.（iii）當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，，可得，與題設(shè)矛盾.綜上可得，的取值范圍為.注：分三種情況討論：①；②；③不易想到.尤其是②時，許多考生都停留在此層面，舉反例更難想到.而這方面根據(jù)不同題型涉及的解法也不相同，這是高中階段公認(rèn)的難點，即便通過訓(xùn)練也很難提升.當(dāng)，且時，，即，也即，記，，且則，記，則，從而在上單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時，，即當(dāng)，且時，.因為恒成立，所以.綜上所述，當(dāng)，且時，成立，的取值范圍為.注：本題由已知很容易想到用分離變量的方法把參數(shù)分離出來.然后對分離出來的函數(shù)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性、極值.此時遇到了“當(dāng)時，函數(shù)值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困境.如果考前對優(yōu)秀的學(xué)生講洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過強化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法.例（2010新）：設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，，求的取值范圍.即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.（2008）例：設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果對任何，都有，求的取值范圍．解：（Ⅰ）．當(dāng)（）時，，即；當(dāng)（）時，，即．因此在每一個區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個區(qū)間（）是減函數(shù)．（Ⅱ）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)