高中人教B版數(shù)學(xué)新教材必修第一冊學(xué)案第一章11112集合的基本關(guān)系

1.1.2集合的基本關(guān)系(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解子集、真子集的概念，能識別給定集合的子集.2.理解兩個(gè)集合包含與相等的含義，能用子集的觀點(diǎn)解釋兩個(gè)集合的相等關(guān)系．教學(xué)重點(diǎn)：1.子集、真子集定義的理解.2.寫出給定集合的子集.3.兩個(gè)集合之間關(guān)系的判定.4.用子集觀點(diǎn)解釋兩個(gè)集合的相等關(guān)系．教學(xué)難點(diǎn)：1.兩個(gè)集合之間關(guān)系的判定.2.一些關(guān)系符號(?，?，，，∈，?)的準(zhǔn)確使用.3.具體問題中易忽視空集的情況.【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容)我們學(xué)校共有高一、高二、高三三個(gè)年級，每個(gè)年級都分為兩個(gè)級部，每個(gè)級部都有若干個(gè)班級，每個(gè)班級都有若干個(gè)學(xué)生．學(xué)校可以看成“所有學(xué)生組成的集合”，而年級、級部、班級可以看成“某些學(xué)生組成的集合”．這里有個(gè)體(學(xué)生)、局部(年級等)、整體(學(xué)校)一些研究對象．怎么用集合語言刻畫它們之間的關(guān)系呢？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點(diǎn)一子集一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素eq\o(□,\s\up3(01))都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的eq\o(□,\s\up3(02))子集，記作eq\o(□,\s\up3(03))A?B(或eq\o(□,\s\up3(04))B?A)，讀作“eq\o(□,\s\up3(05))A包含于B”(或“eq\o(□,\s\up3(06))B包含A”)．對應(yīng)地，如果A不是B的子集，則記作eq\o(□,\s\up3(07))AB(或eq\o(□,\s\up3(08))B?A)，讀作“eq\o(□,\s\up3(09))A不包含于B”(或“eq\o(□,\s\up3(10))B不包含A”)．規(guī)定：eq\o(□,\s\up3(11))空集是任何集合的子集．注意：(1)子集是刻畫兩個(gè)集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系(而元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體之間的關(guān)系)．(2)并不是任意兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因?yàn)?∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因?yàn)?∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．(3)子集有下列兩個(gè)性質(zhì)：①自反性：任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A；②傳遞性：對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.(4)為了直觀地表示集合間的關(guān)系，常用平面上的封閉圖形的內(nèi)部表示集合，稱為維恩圖．因此，A?B可用維恩圖表示為知識點(diǎn)二真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的eq\o(□,\s\up3(01))真子集，記作eq\o(□,\s\up3(02))AB(或BA)，讀作“eq\o(□,\s\up3(03))A真包含于B”(或“eq\o(□,\s\up3(04))B真包含A”)．可用維恩圖表示為很明顯，空集是任何非空集合的真子集．從真子集的定義可以看出，要想證明A是B的真子集，需要兩步：一是證明eq\o(□,\s\up3(05))A?B(即A中的任何元素都屬于B)，二是證明B中至少有一個(gè)元素不屬于A.知識點(diǎn)三集合的相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，則稱集合A與集合Beq\o(□,\s\up3(01))相等，記作eq\o(□,\s\up3(02))A＝B，讀作“eq\o(□,\s\up3(03))A等于B”．由集合相等的定義可知：如果eq\o(□,\s\up3(04))A?B且eq\o(□,\s\up3(05))B?A，則eq\o(□,\s\up3(06))A＝B；反之，如果eq\o(□,\s\up3(07))A＝B，則eq\o(□,\s\up3(08))A?B且eq\o(□,\s\up3(09))B?A.【新知拓展】1．對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是判斷A?B的常用方法．(2)不能簡單地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”．因?yàn)槿鬉＝?，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.2．集合子集的個(gè)數(shù)求集合的子集問題時(shí)，一般可以按照子集元素個(gè)數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集．集合的子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律為：含n(n∈N*)個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集，有(2n－1)個(gè)真子集，有(2n－2)個(gè)非空真子集．寫集合的子集時(shí)，空集和集合本身易漏掉．3．由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法(1)注意點(diǎn)：①不能忽視集合為?的情形；②當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí)，一般需要分類討論．(2)常用方法：對于用不等式給出的集合，已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時(shí)，常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若A?B，則B中至少有一個(gè)元素不屬于A.()(2)若A?B，則要么AB，要么A＝B.()(3)空集沒有真子集．()(4)若A?B，則B不會是空集．()(5)若A＝B，則必有A?B.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)用適當(dāng)?shù)姆??，?，，，＝)填空．N*________N，R________Q，{x|x2＝1}________{－1,1}，{(x，y)|x＋y＝1}________eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝0)))))).(2)給出下列集合：A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它們的關(guān)系可以表示為________________．答案(1)＝(2)DBA，DCA題型一判斷集合之間的關(guān)系例1判斷下列各組集合的關(guān)系：(1)A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的正約數(shù)}；(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形}；(3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解](1)集合A中的元素1,2,4都是8的正約數(shù)，從而這三個(gè)元素都屬于B，即A?B；但B中的元素8不屬于A，從而A≠B，所以AB.(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°且等邊三角形都是等腰三角形，即A?B；有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即B?A，所以A＝B.(3)解法一：兩個(gè)集合都表示一些正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故B解法二：由列舉法知A＝{1,3,5,7，…}，B＝{3,5,7,9，…}，所以BA.金版點(diǎn)睛集合間的關(guān)系是由兩集合中元素的關(guān)系確定的，因此，要判定集合間的關(guān)系，必須根據(jù)集合的表示方法，弄清集合中的元素是什么，再根據(jù)元素之間的關(guān)系給出結(jié)果；很明顯當(dāng)AB或者A＝B時(shí)，不宜表示為A?B.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])例1中(3)，兩集合中條件“n∈N*”改為n∈Z，結(jié)果如何？解A＝B.題型二寫出集合的子集和真子集例2寫出集合{a，b，c}的所有子集和真子集．[解]因?yàn)榧蟵a，b，c}中有3個(gè)元素，所以其子集中的元素個(gè)數(shù)只能是0,1,2,3.有0個(gè)元素的子集：?；有1個(gè)元素的子集：{a}，，{c}；有2個(gè)元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；有3個(gè)元素的子集：{a，b，c}．因此集合{a，b，c}的所有子集為?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．集合{a，b，c}的所有真子集為?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．金版點(diǎn)睛本例采用分類列舉的辦法，分類的標(biāo)準(zhǔn)是子集中元素的個(gè)數(shù)，這樣做，所寫的子集不重不漏，是一種思路清晰、條理明確的解題方法.在寫出的集合的子集中，除去集合本身，剩下的都是該集合的真子集.eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])寫出集合{1,2,3}的所有子集和真子集．解集合{1,2,3}的所有子集為?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．集合{1,2,3}的所有真子集為?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.題型三有限集子集個(gè)數(shù)探究例3令集合A0＝?，集合An＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N*)，試探究集合An子集的個(gè)數(shù)．[解]為了方便，不妨設(shè)集合An的子集數(shù)為m(An)．我們把An的子集分為兩類，第一類：含元素an；第二類：不含元素an.易知，第二類就是集合An－1的子集，且第一類和第二類同樣多．因此，m(An)＝2m(An－1)．從而，m(An－1)＝2m(An－2)，…，m(A1)＝2m(A0)，易知m(A0)＝1.所以m(An)＝2m(An－1)＝22m(An－2)＝23m(An－3)＝…＝2金版點(diǎn)睛若一組對象分為甲、乙兩類，當(dāng)兩類對象同樣多時(shí)，我們只要知道其中一類對象的個(gè)數(shù)，也就知道了另一類對象的個(gè)數(shù)，從而也就知道了這組對象的總個(gè)數(shù)．“同樣多”是一種一一對應(yīng)的觀點(diǎn)．如下例：很明顯，第二行就是A2的所有子集，從而m(A3)＝2m(A2注意：如果非空集合A中有n(n∈N*)個(gè)元素，那么集合A的子集有2n個(gè)，真子集有(2n－1)個(gè)，非空真子集有(2n－2)個(gè)．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])滿足{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M有多少個(gè)？解由{1,2}M可知，M中必定有1,2兩個(gè)元素，且至少還有異于1,2的“其他”一個(gè)元素；由M?{1,2,3,4,5}可知，上面所說的“其他”應(yīng)當(dāng)來自于3,4,5這三個(gè)數(shù)：可以是其中的1個(gè)(三種情況)，2個(gè)(三種情況)，3個(gè)(一種情況)．故滿足條件的集合M有7個(gè)(也就是集合{3,4,5}的非空子集的個(gè)數(shù)).題型四集合相等的應(yīng)用例4設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2019＋b2020.[解]由A＝B，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1.))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))由集合元素的互異性，知a≠1.∴a＝－1，b＝0，故a2019＋b2020＝－1.金版點(diǎn)睛集合相等的應(yīng)用方法根據(jù)兩個(gè)集合相等求集合的待定字母，一般是從集合中元素對應(yīng)相等來建立方程(或方程組)，要注意將對應(yīng)相等的情況分類列全，最后還需要將方程(方程組)的解代入原集合檢驗(yàn)，對不符合題意的解要舍去．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，且x，y為整數(shù)，求(x＋y)2019的值．解∵A＝B，∴集合A與集合B中的元素相同．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x，,y＝y(tǒng)2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)2，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)))(舍去)．驗(yàn)證得，當(dāng)x＝0，y＝0時(shí)，A＝{2,0,0}，這與集合元素的互異性相矛盾，舍去．當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，A＝B＝{0,1,2}，符合題意．∴x，y的取值為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴(x＋y)2019＝1.題型五含參問題探究例5已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求實(shí)數(shù)m[解]①當(dāng)B≠?時(shí)，如圖所示：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個(gè)不等式組，得2≤m≤3.②當(dāng)B＝?時(shí)，由m＋1>2m－1，得m綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．金版點(diǎn)睛eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練5])已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B?A.求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解B?A，分兩種情況考慮：①當(dāng)B＝?時(shí)，m＋1≤2m－1解得m≥2.②當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2，綜上得m的取值范圍為{m|m≥－1}．1．下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個(gè)子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè)