2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材同步講義5.3 函數(shù)的單調(diào)性

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除5.3函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；（2）任意兩個(gè)自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢(shì)下降趨勢(shì)2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識(shí)點(diǎn)二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．【題型歸納目錄】題型一：?jiǎn)握{(diào)性的概念題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系題型七：求函數(shù)的最值題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題題型十：恒成立與能成立問題【典型例題】題型一：?jiǎn)握{(diào)性的概念例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對(duì)任意正數(shù)a?b，都有，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是增函數(shù)，且 B．是増函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且 D．是減函數(shù)，且【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增例3．（2022·山東濟(jì)寧·高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋阎獮樯系臏p函數(shù)，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)變式2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，對(duì)于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若的定義域和值域都是，求的最大值．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個(gè)量的大??？（作差）（3）如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)？（對(duì)差適當(dāng)變形）例5．（2022·山東·梁山縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最大值.例6．（2022·云南師大附中高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)根據(jù)單調(diào)性的定義，證明在上是增函數(shù)；(2)若函數(shù)是上的減函數(shù)，且不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式4．（2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)高中部高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)判斷并證明在上的單調(diào)性；(2)解不等式.變式5．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.變式6．（2022·新疆·和碩縣高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，且.(1)求和函數(shù)的解析式；(2)用定義法證明在其定義域的單調(diào)性.變式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．例8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式8．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式9．（2022·廣東·惠州市惠陽(yáng)區(qū)第一中學(xué)高中部高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例10．（2022·海南·瓊山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及討論對(duì)象的范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．例11．（2022·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）若二次函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例12．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．0 D．1變式11．（2022·江西省樂平中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)，在上，隨著的增大而減小，則實(shí)數(shù)范圍為（

）A． B．C． D．變式12．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正比例函數(shù)，若隨增大而增大，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式13．（2022·福建省廈門第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式14．（2022·湖北武漢·高一期中）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式16．（2022·山西太原·高一階段練習(xí)）函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]變式17．（2022·全國(guó)·高一）已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式18．（2022·廣西·南寧市東盟中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式例13．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對(duì)于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號(hào)脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．例14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例15．（2022·甘肅慶陽(yáng)·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）變式20．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，，都有，，則滿足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．變式21．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式22．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系例16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，數(shù)形結(jié)合．例17．（2022·福建省廈門第六中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例18．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．變式23．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式24．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，（其中），則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．變式25．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)在上是減函數(shù)，且為實(shí)數(shù)，則有（

）A． B．C． D．變式26．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足:對(duì)任意的，有，則有（

）A． B．C． D．題型七：求函數(shù)的最值例19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．例20．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）檢驗(yàn)下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值點(diǎn)．(1)；(2)；(3)；(4)．例21．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足下列3個(gè)條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞減；③函數(shù)過定點(diǎn)．(1)請(qǐng)猜測(cè)出一個(gè)滿足題意的函數(shù)，并寫出其解析式；(2)求（1）中所猜函數(shù)在上的最大值．變式27．（2022·浙江·溫州市第二十二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.變式28．（2022·浙江·金華市云富高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=+的最大值為__________.變式29．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或變式30．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，(1)證明：在上單調(diào)遞減，并求出其最大值與最小值：(2)若在上的最大值為，且，求的最小值.變式32．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意正實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)時(shí)，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進(jìn)行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對(duì)于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對(duì)型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．例23．（2022·全國(guó)·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?，?dāng)且時(shí)恒成立．(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)解不等式；(3)若對(duì)于所有，恒成立，求的取值范圍．例24．（2022·湖北黃岡·高一期中）定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)a，b，都有；②當(dāng)x>1時(shí)，<0；③＝－1(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的t的取值范圍.變式33．（2022·安徽宿州·高一期中）已知函數(shù)對(duì)任意，總有，且對(duì)，都有.(1)判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)解關(guān)于的不等式.變式34．（2022·四川巴中·高一期中）設(shè)函數(shù)對(duì)于任意，都有，且時(shí)，.(1)判斷的單調(diào)性，并用定義法證明；(2)解不等式.變式35．（2022·安徽·池州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)對(duì)任意、都有，且對(duì)任意，恒有.(1)判斷單調(diào)性，并證明；(2)已知，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式36．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高一期中）定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總有，若時(shí)，且.(1)求的值；(2)求證在定義域R上單調(diào)遞減；(3)若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式37．（2022·天津·靜海一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的實(shí)數(shù)均有，而且當(dāng)時(shí)，有(1)用定義證明的單調(diào)性；(2)解不等式(3)若對(duì)任意，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式38．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n總有，且當(dāng)時(shí)，.(1)試求的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例25．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并寫出的函數(shù)的表達(dá)式.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對(duì)稱軸的位置不確定時(shí)，則需要進(jìn)行分類討論．例26．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中高一期中）1.已知二次函數(shù)滿足，且的最大值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，求在區(qū)間上的最大值．例27．（2022·吉林油田高級(jí)中學(xué)高一期中）已知是二次函數(shù)，且滿足，，．(1)求函數(shù)的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，，，求函數(shù)的最小值．變式39．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當(dāng)時(shí)，求的最大值.題型十：恒成立與能成立問題例28．（2022·河北·滄州市一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式；(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】1、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.例29．（2022·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，，(1)求解析式：(2)若函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例30．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，其中為常數(shù)．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式40．（2022·河南·高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，在中，邊上的高為，且．(1)求的值；(2)若對(duì)任意，總存在，使不等式成立，求的取值范圍．變式41．（2022·山西·晉城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對(duì)任意的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式42．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(3)若使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式43．（2022·北京·高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知不等式的解集為或.(1)求和的值；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.變式44．（2022·四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求x的取值范圍.變式45．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習(xí)）設(shè)k為實(shí)數(shù)，已知關(guān)于x的函數(shù)(1)若對(duì)于?x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范圍；(2)若對(duì)于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，求k的取值范圍．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·云南·昆明一中高一期中）已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽淮南·高一階段練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·通許縣啟智高中高一階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（

）A．， B．，1 C．， D．1，4．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A． B．C． D．5．（2022·山西太原·高一階段練習(xí)）給出下列命題，其中錯(cuò)誤的命題有（

）個(gè)①若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?；②函?shù)，則③已知函數(shù)是定義域上減函數(shù)，若，則；④函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022·四川·重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）給定函數(shù)，，．用表示，中的較小者，記為，則的最大