江西省贛州市2022屆高三下學(xué)期3月一模考試數(shù)學(xué)（文）試題Word版含解析

贛州市2022年高三年級(jí)摸底考試文科數(shù)學(xué)試卷2022年3月本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，然后由并集定義計(jì)算．詳解】由題意，所以．故選：C．2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.-1 B.1 C. D.【2題答案】【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)與四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】，所以虛部為-1.故選：A3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，以為圓心，半徑為的圓與交于，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.4【3題答案】【答案】B【解析】【分析】利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為2，解直角三角形，再根據(jù)拋物線的及圓的對(duì)稱性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線：的距離為2，又，所以，故選：B4.某學(xué)校為了更好落實(shí)“五育”管理，對(duì)高一年級(jí)1890名新生的體質(zhì)情況進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)將這些新生編號(hào)成1，2，3，4，…，1890，再采用系統(tǒng)抽樣的方法從這些新生中抽取210名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若43號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A.15號(hào)學(xué)生 B.72號(hào)學(xué)生C.1214號(hào)學(xué)生 D.1267號(hào)學(xué)生【4題答案】【答案】D【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，所抽編號(hào)之差都是組距的整數(shù)倍求解即可.【詳解】因?yàn)楦咭荒昙?jí)1890名新生按系統(tǒng)抽樣共抽取210人，所以分210組，每組9人中抽取一人，因?yàn)?3號(hào)被抽到，所以抽取的其他編號(hào)與43相差9的整數(shù)倍，而中只有1224能被9整除，故下面4名學(xué)生中被抽到的是1267號(hào)學(xué)生.故選：D5.設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+） D.[0,+）【5題答案】【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不同區(qū)間對(duì)應(yīng)的x范圍，然后取并.【詳解】由，可得；或，可得；綜上，的取值范圍是.故選：D6.在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.已知四棱錐為陽(yáng)馬，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，有兩條側(cè)棱長(zhǎng)為3，則該陽(yáng)馬的表面積為（）A. B.C. D.【6題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四棱錐的性質(zhì)，分別求側(cè)面與底面面積，即可得解.【詳解】如圖，由題意知,,平面,因?yàn)?，所?故選：B7.已知正方形的中心為M，從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)，則取到的三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】D【解析】【分析】用列舉法寫出所有基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．【詳解】從從A，B，C，D，M五個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)的基本事件有：，共10個(gè)，其中可構(gòu)成直角三角形的有：，共8個(gè)，概率為．故選：D．8.等比數(shù)列滿足，，則（）A.8 B.4 C.-4 D.-8【8題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量，結(jié)合已知條件求得公比，再求結(jié)果即可.【詳解】對(duì)等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為，由，可得，故可得，則.即.故選：A.9.在半徑為2的球O的表面上有A，B，C三點(diǎn)，.若平面平面，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，可證明平面得，由已知求得長(zhǎng)，要使三棱錐體積最大，則到平面的距離最大，顯然，當(dāng)時(shí)，，由此求得體積的最大值．【詳解】作出如圖三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則，又，，所以，，所以，所以，，要使三棱錐體積最大，則到平面的距離最大，顯然，當(dāng)時(shí)，平面平面，平面，所以平面，此時(shí)，為最大值，．故選：B．10.已知，，，則（）A. B.C. D.【10題答案】【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)比較各個(gè)數(shù)與中間量0，的大小，從而可比較出這3個(gè)數(shù)的大小.【詳解】因?yàn)?，且，，即，又，故選：C11.斐波那契螺線又叫黃金螺線，廣泛應(yīng)用于繪畫、建筑等，這種螺線可以按下列方法畫出：如圖，在黃金矩形（其中）中作正方形，以F為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓?。蝗缓笤诰匦蜟DEF中作正方形DEHG，以H為圓心，DE長(zhǎng)為半徑作圓弧；……；如此繼續(xù)下去，這些圓弧就連成了斐波那契螺線.記圓弧，，的長(zhǎng)度分別為，，，給出以下兩個(gè)命題：，.則下列選項(xiàng)為真命題的是（）A. B.C. D.【11題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，判斷命題的真假，再結(jié)合邏輯連接詞判斷復(fù)合命題的真假即可.【詳解】根據(jù)題意可得圓弧，，對(duì)應(yīng)的半徑分別為，也即，則弧長(zhǎng)分別為，則，故命題為真命題；，而，故，命題為真命題.則為真命題，，，均為假命題.故選：A.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸；②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③的取值范圍是.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【12題答案】【答案】B【解析】【分析】對(duì)于③，令，得，可知，求得得；、對(duì)于①，利用的對(duì)稱軸為可判斷；對(duì)于②，利用利用的增區(qū)間為可判斷；【詳解】對(duì)于③，，，令，得，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即取得0，所以，解得，故③錯(cuò)誤；對(duì)于①，當(dāng)，，由，知的對(duì)稱軸為，由于值不確定，所以不一定取到，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，由，知即，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確；所以正確個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.13.已知單位向量，滿足，則，的夾角為_(kāi)_______.【13題答案】【答案】##60°【解析】【分析】把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算可求得向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所以，即，，，，，所以．故答案為：?4.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)________.【14題答案】【答案】【解析】【分析】先畫出可行區(qū)域，再按照斜率型求的最小值即可.【詳解】畫出可行區(qū)域如圖所示，表示和連線的斜率，已知在點(diǎn)取得最小值，即.故答案為：.15.已知，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作的漸近線的垂線，垂足為.若的面積為，則的離心率為_(kāi)________.【15題答案】【答案】2【解析】【分析】利用雙曲線中，焦點(diǎn)到漸近線距離為b的結(jié)論，以及等面積法的轉(zhuǎn)換求解；【詳解】由題，，焦點(diǎn)，漸近線方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得，根據(jù)勾股定理得，在中，利用等面積法可得，P到x軸的距離，所以，離心率故答案為：216.數(shù)列滿足，若數(shù)列前項(xiàng)和，則________.【16題答案】【答案】【解析】【分析】由已知可知，代入，利用的值，結(jié)合等差數(shù)列求和可求解.【詳解】由已知可得故答案為：三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.（1）若，求的值；（2）若BC邊上的中線長(zhǎng)為，求a的值.【17~18題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，再利用同角之間關(guān)系即可求解；（2）利用余弦定理可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，又，若為鈍角，則也為鈍角，與三角形內(nèi)角和矛盾，故，即【小問(wèn)2詳解】取BC邊上的中點(diǎn)，則，設(shè)在中，利用余弦定理知在中，利用余弦定理知又，則即，即，解得又故a的值為.18.為積極貫徹落實(shí)國(guó)家教育的“雙減”政策，我市各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí).某初中學(xué)校為了解該校學(xué)生上學(xué)期來(lái)參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)、體育鍛煉、綜合實(shí)踐三大類別的課后服務(wù)情況，德育處從全校七、八、九年級(jí)學(xué)生中按照1：2：3分層抽樣的方法，抽取容量為240的樣本進(jìn)行調(diào)查.被抽中的學(xué)生分別對(duì)參加課后服務(wù)進(jìn)行評(píng)分，滿分為100分.調(diào)查結(jié)果顯示：最低分為51分，最高分為100分.隨后，德育處將八、九年級(jí)學(xué)生的評(píng)分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，圖表如下：八年級(jí)學(xué)生評(píng)分結(jié)果頻率分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)2173820（1）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖表信息試求m和n的值；（2）為了便于調(diào)查學(xué)校開(kāi)展課后服務(wù)“滿意度"情況是否與年級(jí)高低有關(guān)，德育處把評(píng)分不低于70分的定義為“滿意”，評(píng)分低于70分的定義為“不滿意”，通過(guò)樣本將七年級(jí)和九年級(jí)學(xué)生對(duì)課后服務(wù)“滿意度"情況匯總得到下表：年級(jí)滿意情況七年級(jí)九年級(jí)合計(jì)滿意30不滿意合計(jì)0.100.0500.0102.7063.8416.635請(qǐng)補(bǔ)充上表，并判斷是否有90%的可能性認(rèn)為學(xué)校開(kāi)展課后服務(wù)“滿意度”情況與年級(jí)高低有關(guān)?附：，.【18~19題答案】【答案】（1），；（2）沒(méi)有90%的可能性認(rèn)為學(xué)校開(kāi)展課后服務(wù)“滿意度”情況與年級(jí)高低有關(guān)．【解析】【小問(wèn)1詳解】由已知八年級(jí)樣本容量為，，，．【小問(wèn)2詳解】七年級(jí)樣本容量為，九年級(jí)不滿意人數(shù)為，列聯(lián)表如下：年級(jí)滿意情況七年級(jí)九年級(jí)合計(jì)滿意3096126不滿意102434合計(jì)40120160，所以沒(méi)有90%的可能性認(rèn)為學(xué)校開(kāi)展課后服務(wù)“滿意度”情況與年級(jí)高低有關(guān)．19.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，，且.（1）證明：；（2）若，，，求點(diǎn)到平面的距離.【19~20題答案】【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)證明線面垂直推得，結(jié)合△的幾何特點(diǎn)，即可證明；（2）利用等體積法，根據(jù)，即可帶值計(jì)算求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榱庑危士傻?，又因?yàn)?，面，故可得面，又面，故可得；在△中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，故垂直平分，故可得.【小問(wèn)2詳解】在菱形中，因?yàn)?，，故△為等邊三角形，則，，由（1）可知，又，且，故可得，，故在△中，，故，由，面，故可得面.又在三角形中，，故，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，故由可得：即，解得.即點(diǎn)到平面的距離為.20.設(shè)函數(shù).（1）若曲線在處的切線與直線互相垂直，求的方程；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【20~21題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出求切線斜率，再由垂直關(guān)系得出直線斜率建立方程求出a,由點(diǎn)斜式求切線方程；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分，兩種情況分析，時(shí)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性求出最小值，建立不等式求解，當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)在上不滿足條件即可得解.【小問(wèn)1詳解】，由題意知，，解得，又，故在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，①若時(shí)，，從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故.②若時(shí)，令，則且,，故當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，.綜上所述:a的取值范圍為.21.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，滿足，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，點(diǎn)N在直線：，滿足，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【21~22題答案】【答案】（1）（2）定值為，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由，得到，根據(jù)面積的最大值為，得到，結(jié)合，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立方程組得到，再聯(lián)立兩直線，求得，根據(jù)，，求得，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)得到，即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，因?yàn)椋傻?，即，又由面積的最大值為，可得，即，因?yàn)?，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由，，可得點(diǎn)四點(diǎn)共線，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，可得，即，因?yàn)?，，可得，所以則，所以為定值.請(qǐng)從下面所給的22、23兩題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分：不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.已知點(diǎn)在曲線上.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與（1）中的曲線交于、兩點(diǎn)，求的最大值與最小值.【22~23題答案】【答案】（1）（2）最小值為，最大值為【解析】【分析】（1）令，可得，求得，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有兩解，求得的范圍，結(jié)合，進(jìn)而求得的最值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，點(diǎn)在曲線上，可得，令，可得，設(shè)，則，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，要直線與曲線交于、兩點(diǎn)，則方程在上有兩解，設(shè)，可得，解得，設(shè)，則，且又由，因?yàn)?，又因?yàn)?/p>