2019-2020年高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用新課標(biāo)

可編輯修改2019-2020年高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用新課標(biāo)(一)知識(shí)歸納：數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，其證題程序是：①驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；②假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確.如果①、②兩個(gè)步驟都完成了，則可斷定結(jié)論對(duì)的一切正整數(shù)都正確.實(shí)際上，中學(xué)所學(xué)的這種數(shù)學(xué)歸納法稱第一數(shù)學(xué)歸納法.(二)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．用數(shù)學(xué)歸納法證題要注意下面幾點(diǎn)：①證題的兩個(gè)步驟缺一不可，要認(rèn)真完成第一步的驗(yàn)證過程；②成敗的關(guān)鍵取決于第二步對(duì)的證明：1)突破對(duì)“歸納假設(shè)”的運(yùn)用；2)用好命題的條件；3)正確選擇與命題有關(guān)的知識(shí)及變換技巧.2．中學(xué)教材內(nèi)，用數(shù)學(xué)歸納法證明的問題的主要題型有“等式問題”、“整除問題”、“不等式問題”等，要積累這幾種題型的證題經(jīng)驗(yàn).3.必須注意，數(shù)學(xué)歸納法不是對(duì)所有“與正整數(shù)n有關(guān)的命題”都有效.【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明下述等式問題：(])1?(n2-12)+2?(n2-22)h fn(n2-n2)=4n2(n-1)(n+1).[證明].當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，???左邊=右邊，時(shí)等式成立；.假設(shè)時(shí)等式成立，即1?(k2-12)+2?(k2-22)+…+k,(k2-k2)=-k2(k-1)(k+1)4???當(dāng)時(shí)，邊=1,[(k+1)2-12]+2,[(k+1)2—22]++k,[(k+1)2—k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=[1?(k2-12)+2(k2-22)+…+k?(k2-k2)]+[1?(2k+1)+2?(2k+1)+…+k(2k+1)]=1k2(k-1)(k+1)+k(k+1)?(2k+1)=1k(k+1)[(k-1)+2(2k+1)]4 24=4k(k+1)(k2+3k+2)=4(k+1)2k(k+2)=右邊，即時(shí)等式成立，根據(jù)，等式對(duì)都正確.C1+2C2+3C3+…+nCn=n2n-1.nnn n[證明].當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立；.假設(shè)時(shí)等式成立，即C1+2C2+3C3+???+kCk=k?2-1,kkk k??當(dāng)時(shí) 左邊=C1 +2C2 +…+kCk+(k +1)Ck+1=(C0 +C1)k+1k+1 k+1 k+1kk可編輯修改+2(Ci+C2)+…+k(Ck-i+Ck)+(k+1)Ck=(Co+Ci+…+Ck)kk kk kkk k+2(Ci+2C2+…+kCk)=2k+2?k?2k-i=(k+1)?2k=右邊，等式也成立；kk k由知等式對(duì)都成立.【評(píng)析】等式問題是比較基本的問題，的證明的技巧一般都不高，而且在高考中出現(xiàn)得不多.【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明下述整除問題：(I)求證：能被6整除.［證明］.當(dāng)時(shí)，13+5x1=6能被6整除，命題正確；.假設(shè)時(shí)命題正確，即能被6整除，??當(dāng)時(shí)，(k+1)3+5(k+1)=(k3+3k2+3k+1)+(5k+5)=(k3+5k)，??兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確，由知命題時(shí)都正確.(II)求證：被133整除.［證明］.當(dāng)n=1時(shí)，113+123=1331+1728=3059=133x23能被133整除，.?.當(dāng)n=1時(shí)命題正確；.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題正確，即能被133整除，時(shí)，11k+3+122k+3=11*(11k+2+122k+1)+122k+3-11*122k+1=11義(11k+2+122k+1)+122k+1*(122-11)=11義(11k+2+122k+1)+122k+1*133能被133整除，即當(dāng)時(shí)命題也正確；由知命題對(duì)都正確.［評(píng)析］在高考難度范圍內(nèi)，整除問題并不多見，如果與正整數(shù)n有關(guān)的整除問題，在教材的范圍內(nèi)一般只有用數(shù)學(xué)歸納法解決，在的證明過程中應(yīng)首先考慮拼湊出“歸納假設(shè)”，然后再想辦法證明剩余部分.【例3】已知n個(gè)圓中每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn)，且無三圓過同一點(diǎn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：這n個(gè)圓將平面劃分成塊區(qū)域.［證明］.當(dāng)時(shí)，1個(gè)圓將平面分成2部分，而2=12－1+2，?.當(dāng)n=1時(shí)命題正確；.假設(shè)時(shí)命題正確，即滿足條件的個(gè)圓將平面劃分成部分，??當(dāng)時(shí)，平面上增加了第個(gè)圓，它與原來的個(gè)圓的每一個(gè)圓都相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，共個(gè)交點(diǎn).而這個(gè)點(diǎn)將第個(gè)圓分成段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩可編輯修改塊區(qū)域，.??區(qū)域的塊數(shù)增加了塊，??個(gè)圓將平面劃分成的塊數(shù)為(k2—k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2—(k+1)+2,時(shí)命題也正確，根據(jù)知命題對(duì)都正確.［評(píng)析］用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是教材中一種題型，但由于這種題型的證明主要是文字推理為主，在評(píng)分上不好把握，因此考試中很難見到這種題型.【例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明下述不等式;(T)—!—+—-—+--—H F—>—(neN*,且n>2).J)n+1n+2n+3 3n10［證明］.當(dāng)n=2時(shí),1111左邊=—+—+—+—34565754 9——>——=——606010，???當(dāng)n=2時(shí)，不等式正確；1 1 1 9.假設(shè)當(dāng)不等式正確，即^一-+-一-+…+歹>;，k+1k+2 3k101 1 1111；?當(dāng)時(shí).左邊= + ^ ^—+ + + ，k+2k+3 3k3k+13k+23k+3二」+，+，+..」)+

k+1k+2k+3 3k二+，+」L>3k+13k+23k+3k+111112+，+，一上，+(103k+13k+23k+310)+()>19)，3k+13k+33k+23k+3???當(dāng)時(shí)不等式也正確;根據(jù)知對(duì)，且，不等式都正確.Isinn61<nIsin6I(neN*,8eR)［證明］.當(dāng)時(shí)，左邊=右邊，時(shí)不等式正確;.假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式正確，即，；.當(dāng)時(shí)，左邊=Isin(k+1)6I=Isink6.cos6+cosk6.sin6I<Isink6I?Icos6I+Icosk6I?Isin6I<Isink6I+Isin6I<kIsin6I+Isin6I右邊，???當(dāng)時(shí)不等式也正確；根據(jù)知對(duì)，不等式都正確.n(n +1)< x'i? 2+、.'2?3+—b.卜n(n+1)<(n+" (n eN).21 ^2 +編輯修改［解析］記a=6?2+、；2?3+…+n(n+1),nT- -1 1*2H_ _ (1+1)2當(dāng)時(shí)a—■<1?2=.22>1= ,而a=%：2<2= '1 2 1 2 ，??當(dāng)時(shí)，不等式正確；.假設(shè)時(shí)不等式正確，即，當(dāng)時(shí)，...k(k+1)+：(卜+1)(k+2)<a+：(k+1)(k+2)<(k+1)2+t(k+1)(k+2),2 ' k" 2而k(k+1)+式k+1)(k+2)>k(k2+1)+.式k+1)2―k(k2+1)+(k+1)(k+1)(k+1)-(k+電k+2)22(k+1)2 - 八/7 而— +工(k+1)(k+2)<(k+1)2 (k+1)+(k+2)k2+4k+4 (k+2)22 2 2 2，(k+1)(k+2) <a2 k+1(k+2)2<一2—，即時(shí)不等式正確;根據(jù)知對(duì)，不等式正確.［評(píng)析］用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，是數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)重點(diǎn)，也是考試中的重點(diǎn)題型之一，在的證明過程中還需要熟練運(yùn)用不等式證明的一些技巧，有時(shí)有一定的難度，不過必須注意，不是所有的與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明都能用數(shù)學(xué)歸納法證明成功.【例5】解答下述問題：(I)若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an滿足關(guān)系:，求證：為等差數(shù)列.［證明］用數(shù)學(xué)歸納法證明：.當(dāng)時(shí)，,/S= 1 3-n2(a+a+a)=3(a+a)3 2 123 13，即成等差數(shù)列，命題正確；.假設(shè)時(shí)成等差數(shù)列，且公差為d,2S =(k+1)(a+a)k+1 1 k+12S=k(a+a)

k 1k①，②當(dāng)時(shí)，:n(k-1)a1 k+1①一②得2a =(k+1)a -ka+ak+1 k+1 k——a+ka1k可編輯修改a+k［a+(k-1)d］=(k-1)a+k(k-1)d11 1:.a =a+kd=a+(k-1)d+d=a+dk+i i i k'成等差數(shù)列(公差為d),即時(shí)命題成立，由、知成等差數(shù)列.(11)數(shù)列和分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項(xiàng)之和分別是120和60,而第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和分別是90和34.集合A={a2,a2,…,a2,…},B={b,b，…,b，…}，求證:

1 2 n 12 n星［證明］設(shè)的公比為q，的公差為d,(易知a(1-q4)19nr2t =120Ia=3由條件得11-qn11Q,，aIq=3naq(1+q2)=90 11=3n,a2=9n；；

nI4b+6d=60 Ib=9而11