數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度

數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.1.1數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度的內(nèi)容6.1.1數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度概述1.分布特征識(shí)別：考察變量數(shù)列的分布特征與分布類(lèi)型等。2.集中趨勢(shì)測(cè)度：有算均、調(diào)均、幾均、中位數(shù)和眾數(shù)等平均指標(biāo)3.離散趨勢(shì)測(cè)度：有全距、方差與標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等變異指標(biāo)。4.偏度與峰度測(cè)定:考察次數(shù)分布非對(duì)稱(chēng)程度和分布曲線(xiàn)尖峭程度。6.1.2數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度的作用1.認(rèn)識(shí)作用。認(rèn)識(shí)總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)與分布特征、一般水平與差異程度.2.比較作用。通過(guò)集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)測(cè)度，可作橫向和動(dòng)態(tài)比較。3.數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)作用。在制定管理定額中，常以相應(yīng)的平均數(shù)為基礎(chǔ)。4.推斷作用。樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，是抽樣推斷的重要依據(jù)。6.1.3數(shù)據(jù)分布特征測(cè)度的原則

1.注意總體各單位的同質(zhì)性。2.用組平均數(shù)補(bǔ)充總年均數(shù)。3.用次數(shù)分布補(bǔ)充總平均數(shù)。4.集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)測(cè)度相結(jié)合。5.注意一般與個(gè)別相結(jié)合。第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.2次數(shù)分布的類(lèi)型與識(shí)別

6.2.1次數(shù)分布的類(lèi)型次數(shù)分布：變量的不同取值及其相應(yīng)的頻數(shù)所構(gòu)成的分布數(shù)列.頻率分布：變量的不同取值及其相應(yīng)的頻率所構(gòu)成的分布數(shù)列.次數(shù)分布或頻率分布的主要類(lèi)型有三種：1.鐘形分布：“兩頭小，中間大”為特征的次數(shù)分布或頻率分布。曲線(xiàn)圖猶如一口古鐘；故稱(chēng)鐘形分布。鐘形分布可分為對(duì)稱(chēng)分布、右偏分布和左偏分布三種類(lèi)型.2.U形分布：“兩頭大，中間小”為特征的次數(shù)分布或頻率分布。曲線(xiàn)圖象英文字母“U”.3.J

型分布：有正J型分布和反J型分布兩種類(lèi)型第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.2.2次數(shù)分布類(lèi)型的識(shí)別主要考察變量數(shù)列次數(shù)或頻率分布的類(lèi)型與分布特征,描述總體或樣本的結(jié)構(gòu)與分布。主要有圖示識(shí)別法、位置測(cè)度法和偏度測(cè)定法等。圖示識(shí)別法:離散型數(shù)列宜采用直線(xiàn)圖和條形圖，連續(xù)型數(shù)列宜采用直方圖、折線(xiàn)圖、平滑圖。【例6.1】

第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3集中趨勢(shì)測(cè)度

集中趨勢(shì)是指變量數(shù)列中數(shù)據(jù)分布的中心值或一般水平。集中趨勢(shì)測(cè)度就是計(jì)算變量數(shù)列的平均數(shù)，而平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等五種，前三種稱(chēng)為數(shù)值平均數(shù)，后兩種稱(chēng)為位置平均數(shù)。第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.1算術(shù)平均數(shù)基本算式:總體標(biāo)志總量/總體單位總量【例6.2】

1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù):未分組資料平均數(shù)=∑x/n【例6.3】2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù):分組資料求平均數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)權(quán)數(shù)絕對(duì)權(quán)數(shù)和比重權(quán)數(shù)之分.(2)權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)大小起權(quán)衡輕重的作用，比重權(quán)數(shù)更能反映權(quán)數(shù)的實(shí)質(zhì)。(3)根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算的平均數(shù)只是一個(gè)近似值。【例6.4】【例6.5】第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.總平均數(shù)與分段平均數(shù)以總平均數(shù)為臨界點(diǎn)，可將數(shù)列劃分為低于總平均數(shù)和高于總平均數(shù)的兩部分，進(jìn)而可計(jì)算低段n1個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和高段n2個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)來(lái)概括數(shù)據(jù)分布的特征，分段平均數(shù)可補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)的不足，亦可度量先進(jìn)平均水平和落后平均水平，作為制訂先進(jìn)平均定額的依據(jù).【例6.6】

6.幾種特殊的算術(shù)平均數(shù)(1)等級(jí)平均數(shù)。通常把屬性數(shù)列中的等級(jí)量化為1、2、3…，用觀察的次數(shù)作權(quán)數(shù)，用加權(quán)平均法計(jì)算平均等級(jí)來(lái)反映集中趨勢(shì)?！纠?.7】(2)評(píng)分平均數(shù)。通常把人們對(duì)評(píng)價(jià)項(xiàng)目的評(píng)分值作為x，把事先規(guī)定的項(xiàng)目重要程度作權(quán)數(shù)f，計(jì)算評(píng)分平均數(shù)?！纠?.8】(3)截尾平均數(shù)。由于算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響，有時(shí)為了消除少數(shù)特別大或特別小的數(shù)值影響，而采用截尾平均數(shù)。如評(píng)級(jí)評(píng)獎(jiǎng)項(xiàng)目的平均分值的計(jì)算，可去掉一些最低分和最高分，再求平均分.【例6.9】

第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.2調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是各個(gè)變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù).有簡(jiǎn)單調(diào)均與加權(quán)調(diào)均兩種，計(jì)算公式為：調(diào)和平均數(shù)可避免算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響，但本意上的調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用很少，在實(shí)際工作中，常把調(diào)和平均數(shù)作為算術(shù)平均數(shù)的變形來(lái)使用。其變形形式為：【例6.10】【例6.11】【例6.12】

第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.3幾何平均數(shù)1.幾均是數(shù)列中n個(gè)變量值的連乘積的n次方根.適宜于求數(shù)列的平均比率或平均速度。亦有簡(jiǎn)單幾均與加權(quán)幾均之分，計(jì)算公式為：計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意各變量值中不能有數(shù)值為零或?yàn)樨?fù)數(shù)的數(shù)出現(xiàn)?！纠?.13】【例6.14】【例6.15】2.幾均、算均、調(diào)均的關(guān)系對(duì)同一變量數(shù)列而言，若分別計(jì)算幾均、算均、調(diào)均，則有算均最大、調(diào)均最小、幾均居中，三者的關(guān)系用不等表示為:第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.4中位數(shù)中位數(shù)變量數(shù)列中居中間位置的變量值，又稱(chēng)二分位數(shù)。由于中位數(shù)位置居中，其值不大不小，因而，可用來(lái)代表數(shù)列的一般水平。1.未分組資料求中位數(shù)。先將n個(gè)數(shù)值由小到大排列;其次,用（n+1）/2確定中位數(shù)所處位置；最后視n為奇數(shù)還是偶數(shù)確定中位數(shù).2.單項(xiàng)數(shù)列求中位數(shù)。先用較小累計(jì)制求累計(jì)次數(shù)，其次用公式（∑f+1）/2決定中位數(shù)的位次和所在的組別，最后確定中位數(shù).3.由組距數(shù)列確定中位數(shù)，先采用較小或較大累計(jì)制計(jì)算各組累計(jì)次數(shù)；其次用（∑f+1）/2確定中位數(shù)的位次和所處的組別，最后根據(jù)均勻分布假設(shè)，用下列公式求中位數(shù):

【例6.16】【例6.16】【例6.18】第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.5眾數(shù)眾數(shù)是變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。由于眾數(shù)在數(shù)列中出現(xiàn)的頻率較高，有時(shí)利用眾數(shù)來(lái)表示現(xiàn)象的一般水平或集中趨勢(shì)。眾數(shù)M0的確定有以下兩種情形：1、單項(xiàng)分組數(shù)列求眾數(shù)。直接找出次數(shù)最多的變量值即為眾數(shù)2、組距變量數(shù)列求眾數(shù)。對(duì)稱(chēng)分布時(shí)眾數(shù)M0為眾數(shù)組（次數(shù)最多的組）的組中值(粗眾數(shù))。非對(duì)稱(chēng)分布時(shí),眾數(shù)會(huì)受眾數(shù)組前后兩組次數(shù)（f-1及f+1）的影響眾數(shù)有兩種計(jì)算方法：【例6.18】

①金氏插值法。根據(jù)眾數(shù)組前后兩組次數(shù)，用下列公式求眾數(shù):②切伯插值法。根據(jù)眾數(shù)組次數(shù)分別與前后兩組次數(shù)之差求眾數(shù):第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.3.6四分位數(shù)將一群由小到大排列的數(shù)列分為四等分，可得到三個(gè)分割點(diǎn)Q1、Q2、Q3，分別稱(chēng)為下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)。這三個(gè)臨界點(diǎn)就是四分位數(shù).【例6.20】

6.3.7五數(shù)概括法和箱線(xiàn)圖

五數(shù)概括法是用數(shù)列中的最小值(min)、下四分位數(shù)、中位數(shù)、上四分位數(shù)和最大值(max)來(lái)概括數(shù)據(jù)的變動(dòng)的范圍和特征。箱線(xiàn)圖是根據(jù)這五個(gè)數(shù)據(jù)繪制的圖形來(lái)顯示數(shù)據(jù)，即以Q1和Q3為盒箱的邊界，以Q3-Q1的間距作為盒箱的長(zhǎng)度，然后標(biāo)出最小值、最大值和中位數(shù)的位置，箱線(xiàn)圖的下方可標(biāo)出橫坐標(biāo)。

第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4離散趨勢(shì)測(cè)度

離散趨勢(shì)是指變量數(shù)列中變量值之間的差異程度、分散程度或離中程度。標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量變量數(shù)列中變量值離散程度的綜合指標(biāo)。標(biāo)志變異指標(biāo)可以評(píng)價(jià)平均數(shù)代表性大小、衡量事物變動(dòng)的均衡性或穩(wěn)定性。標(biāo)志變異指標(biāo)越小，平均數(shù)的代表性越大，事物變動(dòng)則具有較強(qiáng)的均衡性或穩(wěn)定性。常用的離散趨勢(shì)測(cè)度指標(biāo)有異眾比率、全距、四分位差、平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)、基尼系數(shù)

。第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4.2

異眾比率異眾比率是非眾數(shù)組的次數(shù)占總次數(shù)的比率，計(jì)算公式為：

一般用于測(cè)度屬性水準(zhǔn)數(shù)據(jù)的離散程度,也可用于測(cè)度數(shù)量水準(zhǔn)數(shù)據(jù)的離散程度。異眾比率越大，眾數(shù)的代表性越差；反之，眾數(shù)的代表性越大。

6.4.3全距全距是數(shù)列中最大變量值與最小變量值之差，又稱(chēng)極差，表示某一總體全部變量值的變動(dòng)范圍。全距越大，平均數(shù)的代表性越低，反之，則越強(qiáng)。全距R的計(jì)算公式為：

R=最大變量值－最小變量值（單項(xiàng)數(shù)列）

R=最高組上限－最低組限下（組距數(shù)列）全距計(jì)算簡(jiǎn)單方便，通俗易懂，但易受極端值影響，不能反映全部數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度。第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4.3四分位差為了克服全距易受極端值的影響,可采用四分位間距和四分位差來(lái)衡量數(shù)列中變量值的變異程度。四分位間距是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，亦即在數(shù)列中間的50%的數(shù)據(jù)的間距。四分位差QD則定義為四分位差不夠通俗，未考慮全部數(shù)據(jù)的差異，實(shí)際應(yīng)用較少。6.4.4平均差平均差是數(shù)列中各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。記作AD。采用離差絕對(duì)值計(jì)算平均離差，是為了消除正負(fù)離差相抵為0的影響，以便反映平均的離散程度。計(jì)算公式為：平均差能全面地準(zhǔn)確地反映各變量值的離散程度，但帶有絕對(duì)值符號(hào)，運(yùn)算上很不方便，實(shí)際應(yīng)用很少。【例6.21】

第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4.5方差與標(biāo)準(zhǔn)差1。方差是各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)，方差的平方根稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。采用離差平方的方法是為了避免正負(fù)離差相抵為零的問(wèn)題。方差用表示，標(biāo)準(zhǔn)差用表示。其計(jì)算公式為：標(biāo)準(zhǔn)差和平均差都能全面反映數(shù)列中變量值的離散程度，但標(biāo)準(zhǔn)差比平均差大（采用離差平方來(lái)消除正負(fù)離差互相抵消的問(wèn)題時(shí)，夸大了絕對(duì)值大的離差的影響）。標(biāo)準(zhǔn)差運(yùn)算方便，實(shí)際工作中常采用。

【例6.22】

第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.方差的性質(zhì)【例6.23】

第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.4.5離散系數(shù)離散系數(shù)也稱(chēng)標(biāo)志變異系數(shù)，是衡量數(shù)列變量值離散程度的相對(duì)指標(biāo)，通常用標(biāo)志變異指標(biāo)與相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)對(duì)比求得。最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)之比，計(jì)算公式為：通常將1-標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)稱(chēng)為集中度或均衡度。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的應(yīng)用應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。（1）若兩個(gè)數(shù)列或兩個(gè)總體的均值相同，可直接比較標(biāo)準(zhǔn)差大小來(lái)衡量平均數(shù)代表性大小或現(xiàn)象的均衡性，而不必計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。（2）若兩個(gè)數(shù)列或兩個(gè)總體的均值不相同，則應(yīng)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)來(lái)比較其平均數(shù)代表性大小或現(xiàn)象的均衡性?！纠?.24】某省城鎮(zhèn)居民可支配收入差異分析第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4.7基尼系數(shù)基尼系數(shù)又稱(chēng)落倫茨系數(shù)，是反映收入和財(cái)富平等與否程度的重要指標(biāo),亦可用于測(cè)定某些變量數(shù)列的離散程度,衡量事物變動(dòng)的均衡性或穩(wěn)定性?；嵯禂?shù)就是依據(jù)落倫茨曲線(xiàn)A、B兩塊面積而計(jì)算的比重：基尼系數(shù)的取值介于0與1之間，越接近于1，越不平等；越接近于0，越平等。一般認(rèn)為，基尼系數(shù)在0.2以下高度平均;02-0.4合理;0.4-0.6差距較大;0.6以上高度不平均;小于0.2或大于0.6則不合理。基尼系數(shù)計(jì)算方法很多,較簡(jiǎn)便的方法有以下3種（公式見(jiàn)教材）：(1)等距分組測(cè)定法：要求收入按相等組距分組。

(2)等級(jí)測(cè)定法：要求將全部家庭戶(hù)或人口按其收入等分為n組。

(3)簡(jiǎn)易測(cè)定法：要求將全部家庭戶(hù)或人口按其收入等分為5部分。

【例6.25】

第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.4.8是非標(biāo)志的方差是非標(biāo)志是指能將全部總體單位劃分為具有和不具有某種特征兩組的分組標(biāo)志。設(shè)全部總體單位數(shù)為N，具有某種特征的單位數(shù)為N1，不具有某種特征的單位數(shù)為No。在總體單位數(shù)中，具有某種特征的單位數(shù)的比率用P表示，不具有某種特征的單位數(shù)的比率用q表示，即：第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六則比率p（成數(shù)）的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差為：比率p的平均數(shù)：p因此，成數(shù)的平均數(shù)就是該成數(shù)的本身，成數(shù)的方差就是pq或p（1-p）。由于成數(shù)p總是大于0小于1，從成數(shù)方差的計(jì)算公式可知，成數(shù)方差的最小值為0（即p=0或P=1時(shí)）；最大值為0.25（即P=50%時(shí)），此時(shí)成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5。

【例6.26】

比率p的方差：

比率p的標(biāo)準(zhǔn)差：第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六6.5偏度與峰度5.5.1偏度偏度又稱(chēng)偏態(tài)，是指變量數(shù)列中次數(shù)分布的非對(duì)稱(chēng)程度。有時(shí)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差相同的數(shù)列，其次數(shù)分布的形態(tài)可能不完全一樣，這與次數(shù)分布的對(duì)稱(chēng)程度有關(guān)。如果次數(shù)分布是完全對(duì)稱(chēng)的，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)分布，如果