2019高考數(shù)學(xué)（理）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)2011年新課標(biāo)第10題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理；2013年新課標(biāo)Ⅰ第2題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理；2014年新課標(biāo)Ⅰ第12題以函數(shù)零點(diǎn)為背景，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2016年天津第8題根據(jù)根的分布求參數(shù)的范圍高考試題對(duì)該部分內(nèi)容考查的主要角度有兩種：一種是找函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；一種是判斷零點(diǎn)的范圍．另外備考中應(yīng)該特別注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)零點(diǎn)圖2-11-1圖2-11-2⑥方程有兩根(如圖2-11-3)：x2>k，x1<k

?af(k)<0；圖2-11-3⑦方程有且只有一根在區(qū)間(k1，k2)內(nèi)?f(k1)f(k2)<0(如圖2-11-4)；圖2-11-4

圖2-11-5⑨方程兩根滿足k1<x1<k2≤p1<x2<p2D2.若關(guān)于x的方程x2＋ax＋a－1＝0有異號(hào)的兩個(gè)實(shí)根，則a的取值范圍是__________.a<1m>7

3.若方程8x2＋(m＋1)x＋m－7＝0有兩個(gè)負(fù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________. 4.若關(guān)于x的方程x2－ax＋a2－4＝0有兩個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.考點(diǎn)1一元二次方程根的分布考向1零分布例1：當(dāng)m取何實(shí)數(shù)時(shí)，方程2(m＋1)x2＋4mx＋3m－2＝0.(1)有一正實(shí)數(shù)根和一負(fù)實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；(3)正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值；(4)有實(shí)數(shù)根.(3)方程正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值??－2≤m≤1，且m≠－1.綜上所述，－2≤m≤1時(shí)，方程有實(shí)根.考向2K分布

例2：(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，則k的取值范圍為_______.

(2)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.圖D13解：方法一，設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0.∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二，函數(shù)圖象大致如圖D13，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2＜0.∴－2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,1).【互動(dòng)探究】1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集為[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x2＋1在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)2一元二次方程根的分布的應(yīng)用

例3：已知拋物線

y＝－x2＋mx－1與以A(3,0)，B(0,3)為端點(diǎn)的線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【互動(dòng)探究】

2.若二次函數(shù)y＝－x2＋mx－1的圖