高中數(shù)學(xué)拋物線-高考經(jīng)典例題

/1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn).定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2拋物線的圖形和性質(zhì)：①頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。②焦準(zhǔn)距：③通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為。④頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：。⑤焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)F、準(zhǔn)線是公切線。⑥焦半徑為直徑的圓：以焦半徑FP為直徑的圓必與過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。所有這樣的圓過(guò)定點(diǎn)F、過(guò)頂點(diǎn)垂直于軸的直線是公切線。⑦焦點(diǎn)弦為直徑的圓：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線。3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：4拋物線的圖像和性質(zhì)：①焦點(diǎn)坐標(biāo)是：.②準(zhǔn)線方程是：。③焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn).則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離〔稱(chēng)為焦半徑是：.④焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)⑤拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P5一般情況歸納：方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線定義特征y2=kxk>0時(shí)開(kāi)口向右<k/4,0>x=─k/4到焦點(diǎn)<k/4,0>的距離等于到準(zhǔn)線x=─k/4的距離k<0時(shí)開(kāi)口向左x2=kyk>0時(shí)開(kāi)口向上<0,k/4>y=─k/4到焦點(diǎn)<0,k/4>的距離等于到準(zhǔn)線y=─k/4的距離k<0時(shí)開(kāi)口向下拋物線的定義：例1：點(diǎn)M與點(diǎn)F<－4.0>的距離比它到直線l：x－6=0的距離相等.求點(diǎn)M的軌跡方程．分析：點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線x=4的距離恰好相等.符合拋物線定義．答案：y2=－16x例2：斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn).與拋物線相交于點(diǎn)A、B.求線段A、B的長(zhǎng)．分析：這是靈活運(yùn)用拋物線定義的題目．基本思路是：把求弦長(zhǎng)AB轉(zhuǎn)化為求A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的和．解：如圖8－3－1.y2=4x的焦點(diǎn)為F<1.0>.則l的方程為y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．設(shè)A<x1.y1>.B<x2.y2>則x1+x2=6．又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為..則點(diǎn)評(píng)：拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì).在解題中起到至關(guān)重要的作用例3:<1>已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=10x.求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；<2>已知拋物線的焦點(diǎn)是F<0.3>求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；<3>已知拋物線方程為y=－mx2<m>0>求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；<4>求經(jīng)過(guò)P<－4.－2>點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；分析：這是為掌握拋物線四類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程而設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)題.解題時(shí)首先分清屬哪類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)型.再錄求P值<注意p>0>．特別是<3>題.要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式：.則．<4>題滿(mǎn)足條件的拋物線有向左和向下開(kāi)口的兩條.因此有兩解．答案：<1>.．<2>x2=12y<3>.；<4>y2=－x或x2=－8y．例4求滿(mǎn)足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：〔1過(guò)點(diǎn)〔－3.2；〔2焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上分析：從方程形式看.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析.一般需確定p和確定開(kāi)口方向兩個(gè)條件.否則.應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論解：〔1設(shè)所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py〔p＞0.∵過(guò)點(diǎn)〔－3.2.∴4=－2p〔－3或9=2p·2∴p=或p=∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y.前者的準(zhǔn)線方程是x=.后者的準(zhǔn)線方程是y=－〔2令x=0得y=－2.令y=0得x=4.∴拋物線的焦點(diǎn)為〔4.0或〔0.－2當(dāng)焦點(diǎn)為〔4.0時(shí).=4.∴p=8.此時(shí)拋物線方程y2=16x；焦點(diǎn)為〔0.－2時(shí).=2.∴p=4.此時(shí)拋物線方程為x2=－8y∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y.對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4.y=2常用結(jié)論①過(guò)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的弦AB長(zhǎng)的最小值為2p②設(shè)A<x1.y>.1B<x2.y2>是拋物線y2＝2px上的兩點(diǎn).則AB過(guò)F的充要條件是y1y2＝－p2③設(shè)A.B是拋物線y2＝2px上的兩點(diǎn).O為原點(diǎn).則OA⊥OB的充要條件是直線AB恒過(guò)定點(diǎn)<2p.0>例5：過(guò)拋物線y2=2px<p>0>的頂點(diǎn)O作弦OA⊥OB.與拋物線分別交于A<x1.y1>.B<x2.y2>兩點(diǎn).求證：y1y2=－4p2．分析：由OA⊥OB.得到OA、OB斜率之積等于－1.從而得到x1、x2.y1、y2之間的關(guān)系．又A、B是拋物線上的點(diǎn).故<x1.y1>、<x2.y2>滿(mǎn)足拋物線方程．從這幾個(gè)關(guān)系式可以得到y(tǒng)1、y2的值．證：由OA⊥OB.得.即y1y2=－x1x2.又..所以：.即．而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．弦的問(wèn)題例1A,B是拋物線y2=2px<p>0>上的兩點(diǎn).滿(mǎn)足OAOB<O為坐標(biāo)原點(diǎn)>求證：<1>A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積.縱坐標(biāo)之積為定值；<2>直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)<3>作OMAB于M.求點(diǎn)M的軌跡方程解：<1>設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>,則y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2<定值><2>直線AB的斜率k===,∴直線AB的方程為y─y1=<x─>,即y<y1+y2>─y1y2=2px,由<1>可得y=<x─2p>,直線AB過(guò)定點(diǎn)C<2p,0><3>解法1:設(shè)M<x,y>,由<2>知y=<x─2p><i>,又ABOM,故兩直線的斜率之積為─1,即·=─1<ii>由<i>,<ii>得x2─2px+y2=0<x0>例4已知拋物線,焦點(diǎn)為F,一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且,且AB的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)S<6,0>①求拋物線方程;②求面積的最大值解:①設(shè),AB中點(diǎn)由得又得所以依題意,拋物線方程為②由及,令得又由和得:例5定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng).AB的中點(diǎn)為M.求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離.并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖.設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>,M<x,y>,則x=,y=,又設(shè)點(diǎn)A.B.M在準(zhǔn)線:x=─1/4上的射影分別為A/,B/,M/,MM/與y軸的交點(diǎn)為N.則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,∴x=<x1+x2>=<|AF|+|BF|─><|AB|─>=等號(hào)在直線AB過(guò)焦點(diǎn)時(shí)成立.此時(shí)直線AB的方程為y=k<x─>由得16k2x2─8<k2+2>x+k2=0依題意|AB|=|x1─x2|=×==3,∴k2=1/2,此時(shí)x=<x1+x2>==∴y=±即M<,>,N<,─>綜合類(lèi)<幾何>例2已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn).求△RAB的最大面積．分析：求RAB的最大面積.因過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的弦長(zhǎng)為定值.故可以為三角形的底.只要確定高的最大值即可．解：設(shè)AB所在的直線方程為．將其代入拋物線方程.消去x得當(dāng)過(guò)R的直線l平行于AB且與拋物線相切時(shí).△RAB的面積有最大值．設(shè)直線l方程為．代入拋物線方程得由得.這時(shí)．它到AB的距離為∴△RAB的最大面積為．例6如圖所示.直線和相交于點(diǎn)M.⊥.點(diǎn).以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形...且.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.求曲線段C的方程．分析：因?yàn)榍€段C上的任一點(diǎn)是以點(diǎn)N為焦點(diǎn).以為準(zhǔn)線的拋物線的一段.所以本題關(guān)鍵是建立適當(dāng)坐標(biāo)系.確定C所滿(mǎn)足的拋物線方程．解：以為x軸.MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.建立直角坐標(biāo)系．由題意.曲線段C是N為焦點(diǎn).以為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段的兩端點(diǎn)．∴設(shè)曲線段C滿(mǎn)足的拋物線方程為：其中、為A、B的橫坐標(biāo)令則.∴由兩點(diǎn)間的距離公式.得方程組：解得或∵△AMN為銳角三角形.∴.則.又B在曲線段C上.則曲線段C的方程為例7如圖所示.設(shè)拋物線與圓在x軸上方的交點(diǎn)為A、B.與圓在x由上方的交點(diǎn)為C、D.P為AB中點(diǎn).Q為CD的中點(diǎn)．〔1求．〔2求△ABQ面積的最大值．分析：由于P、Q均為弦AB、CD的中點(diǎn).故可用韋達(dá)定理表示出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo).由兩點(diǎn)距離公式即可求出．解：〔1設(shè)由得：.由得.同類(lèi)似.則.〔2.∴當(dāng)時(shí).取最大值．例8已知直線過(guò)原點(diǎn).拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn).焦點(diǎn)在軸的正半軸上.且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在上.求直線和拋物線的方程．分析：設(shè)出直線和拋物線的方程.由點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).分別代入拋物線方程．或設(shè).利用對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)和三角函數(shù)知識(shí)求解．解法一：設(shè)拋物線的方程為.直線的方程為.則有點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為、.則有解得解得如圖.、在拋物線上∴兩式相除.消去.整理.得.故.由..得．把代入.得．∴直線的方程為.拋物線的方程為．解法二：設(shè)點(diǎn)、關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為、.又設(shè).依題意.有.．故.．由.知．∴.．又..故為第一象限的角．∴、．將、的坐標(biāo)代入拋物線方程.得∴.即從而..∴.得拋物線的方程為．又直線平分.得的傾斜角為．∴．∴直線的方程為．說(shuō)明：<1>本題屬于點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題．解法一是解對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題的基本方法.它的思路明確.但運(yùn)算量大.若不仔細(xì)、沉著.難于解得正確結(jié)果．解法二是利用對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)來(lái)解.它的技巧性較強(qiáng).一時(shí)難于想到．<2>本題是用待定系數(shù)法求直線的方程和拋物線方程．在已知曲線的類(lèi)型求曲線方程時(shí).這種方法是最常規(guī)方法.需要重點(diǎn)掌握．例9如圖.正方形的邊在直線上.、兩點(diǎn)在拋物線上.求正方形的面積．分析：本題考查拋物線的概念及其位置關(guān)系.方程和方程組的解法和數(shù)形結(jié)合的思想方法.以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解：∵直線..∴設(shè)的方程為.且、．由方程組.消去.得.于是..∴<其中>∴．由已知.為正方形..∴可視為平行直線與間的距離.則有.于是得．兩邊平方后.整理得..∴或．當(dāng)時(shí).正方形的面積．當(dāng)時(shí).正方形的面積．∴正方形的面積為18或50．說(shuō)明：運(yùn)用方程〔組的思想和方法求某些幾何量的值是解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法.本題應(yīng)充分考慮正方形這一條件．例10設(shè)有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行.地球恰好位于拋物線軌道的焦點(diǎn)處.當(dāng)此彗星離地球?yàn)闀r(shí).經(jīng)過(guò)地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為.求這彗星與地球的最短距離．分析：利用拋物線有關(guān)性質(zhì)求解．解：如圖.設(shè)彗星軌道方程為..焦點(diǎn)為.彗星位于點(diǎn)處．直線的方程為．解方程組得.故．．故.得．由于頂點(diǎn)為拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn).所以頂點(diǎn)是拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)．焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離為.所以彗星與地球的最短距離為或.〔點(diǎn)在點(diǎn)的左邊與右邊時(shí).所求距離取不同的值．說(shuō)明：<1>此題結(jié)論有兩個(gè).不要漏解；<2>本題用到拋物線一個(gè)重要結(jié)論：頂點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn).其證明如下：設(shè)為拋物線上一點(diǎn).焦點(diǎn)為.準(zhǔn)線方程為.依拋物線定義.有.當(dāng)時(shí).最小.故拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．例11如圖.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn).圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn).直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).且斜率為2.直線交拋物線與圓依次為、、、四點(diǎn).求的值．分析：本題考查拋物線的定義.圓的概念和性質(zhì).以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為直線被圓錐曲線所截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題．解：由圓的方程.即可知.圓心為.半徑為2.又由拋物線焦點(diǎn)為已知圓的圓心.得到拋物線焦點(diǎn)為.設(shè)拋物線方程為.∵為已知圓的直徑.∴.則．設(shè)、.∵.而、在拋物線上.由已知可知.直線方程為.于是.由方程組消去.得.∴．∴.因此.．說(shuō)明：本題如果分別求與則很麻煩.因此把轉(zhuǎn)化成是關(guān)鍵所在.在求時(shí).又巧妙地運(yùn)用了拋物線的定義.從而避免了一些繁雜的運(yùn)算．11.已知拋物線y2=2px<p>0>.過(guò)焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為θ<θ≠0>,且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).〔1求證：|AB|=;<2>求|AB|的最小值.〔1證明：如右圖.焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F〔,0.設(shè)過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為θ的直線方程為y=tanθ·〔x-,與拋物線方程聯(lián)立.消去y并整理.得tan2θ·x2-<2p+ptan2θ>x+=0.此方程的兩根應(yīng)為交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo).根據(jù)韋達(dá)定理.有x1+x2=.設(shè)A、B到拋物線的準(zhǔn)線x=-的距離分別為|AQ|和|BN|.根據(jù)拋物線的定義.有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.〔2解析：因|AB|=的定義域是0<θ<π.又sin2θ≤1.所以.當(dāng)θ=時(shí).|AB|有最小值2p.12.已知拋物線y2=2px<p>0>的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分.求證：為定值.本題若推廣到橢圓、雙曲線.你能得到什么結(jié)論？解析：〔1當(dāng)AB⊥x軸時(shí).m=n=p.∴=.〔2當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí).設(shè)AB:y=k<x->,A<x1,y1>,B<x2,y2>,|AF|=m,|BF|=n,∴m=+x1,n=+x2.將AB方程代入拋物線方程.得k2x2-<k2p+2p>x+=0,∴∴==.本題若推廣到橢圓.則有=〔e是橢圓的離心率；若推廣到雙曲線.則要求弦AB與雙曲線交于同一支.此時(shí).同樣有=<e為雙曲線的離心率>.13.如右圖.M是拋物線y2=x上的一點(diǎn).動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn).且|MA|=|MB|.〔1若M為定點(diǎn).證明：直線EF的斜率為定值；〔2若M為動(dòng)點(diǎn).且∠EMF=90°.求△EMF的重心G的軌跡方程.〔1證明：設(shè)M〔y02,y0.直線ME的斜率為k<k>0>,則直線MF的斜率為-k.直線ME的方程為y-y0=k<x-y02>.由得ky2-y+y0<1-ky0>=0.解得y0·yE=,∴yE=,∴xE=.同理可得yF=,∴xF=.∴kEF=〔定值.〔2解析：當(dāng)∠EMF=90°時(shí).∠MAB=45°.所以k=1.由〔1得E〔〔1-y02,〔1-y0>F〔