2019版數(shù)學（理）高分計劃一輪高分講義：第11章　算法、復數(shù)、推理與證明 11.3　合情推理與演繹推理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精11。3合情推理與演繹推理[知識梳理]1．推理（1)定義：根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就是推理．(2)分類：推理一般分為合情推理與演繹推理．2．合情推理（1）定義:根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比,然后提出猜想的推理叫做合情推理．（2)分類：數(shù)學中常用的合情推理有歸納推理和類比推理．（3）歸納和類比推理的定義、特征3．演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）“三段論”是演繹推理的一般模式,包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論-—根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷．[診斷自測］1．概念思辨(1）歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．（）（2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．（）（3）在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．（）(4)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時,得到的結(jié)論一定正確．()答案(1）×（2)√（3)×（4）√2．教材衍化(1)（選修A2－2P75例題）觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4,a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10為(）A．28B．76C．123D．199答案C解析記an＋bn＝f(n）,則f(3）＝f(1）＋f（2）＝1＋3＝4;f（4）＝f（2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f（3）＋f(4)＝11。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f（n）＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*,n≥3），則f（6）＝f(4)＋f(5)＝18；f（7)＝f（5)＋f（6）＝29;f（8）＝f（6)＋f（7）＝47;f(9)＝f（7)＋f(8）＝76；f(10）＝f(8）＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.故選C.(2)(選修A2－2P84A組T5)設等差數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，則S4，S8－S4,S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4,________，________，eq\f（T16，T12)成等比數(shù)列．答案eq\f（T8，T4）eq\f（T12，T8)解析設等比數(shù)列{bn｝的公比為q，首項為b1，則T4＝beq\o\al（4，1）q6，T8＝beq\o\al（8，1)q1＋2＋…＋7＝beq\o\al（8，1)q28，T12＝beq\o\al（12，1）q1＋2＋…＋11＝beq\o\al（12，1）q66，∴eq\f（T8,T4）＝beq\o\al（4，1)q22，eq\f（T12，T8)＝beq\o\al(4，1)q38,即eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（T8，T4）)）2＝eq\f(T12,T8）·T4，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f（T12，T8)成等比數(shù)列．故答案為eq\f(T8,T4），eq\f（T12,T8）。3．小題熱身（1)(2018·廈門模擬)已知圓：x2＋y2＝r2上任意一點（x0,y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比以上結(jié)論，有雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上任意一點(x0,y0)處的切線方程為________．答案eq\f（x0x，a2）－eq\f(y0y，b2）＝1解析設圓上任一點為（x0，y0）,把圓的方程中的x2,y2替換為x0x，y0y，則得到圓的切線方程；類比這種方式，設雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1上任一點為(x0，y0），則切線方程為eq\f(x0x，a2）－eq\f（y0y，b2）＝1(這個結(jié)論是正確的，證明略)．（2)（2015·陜西高考）觀察下列等式1－eq\f（1，2)＝eq\f（1,2)1－eq\f（1,2）＋eq\f(1,3)－eq\f（1，4）＝eq\f（1,3）＋eq\f(1,4)1－eq\f（1，2）＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4）＋eq\f（1，5）－eq\f(1，6）＝eq\f(1，4）＋eq\f(1，5）＋eq\f（1,6)……據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為________．答案1－eq\f（1，2)＋eq\f（1，3）－eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1，2n－1)－eq\f（1,2n)＝eq\f（1,n＋1）＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f（1,2n)解析觀察已知等式可知，第n個等式左邊共有2n項，其中奇數(shù)項為eq\f(1,2n－1），偶數(shù)項為－eq\f(1，2n），等式右邊共有n項，為等式左邊后n項的絕對值之和，所以第n個等式為1－eq\f(1，2）＋eq\f(1,3)－eq\f（1,4）＋…＋eq\f(1,2n－1）－eq\f(1,2n）＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1，n＋2）＋…＋eq\f(1,2n).題型1類比推理eq\o（典例)已知P（x0，y0）是拋物線y2＝2px(p〉0)上的一點，過點P的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在y2＝2px兩邊同時對x求導,得2yy′＝2p，則y′＝eq\f(p,y）,所以過點P的切線的斜率k＝eq\f（p,y0）.類比上述方法求出雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1在P（eq\r(2)，eq\r（2)）處的切線方程為________．注意題意要求,類比上述方法求切線．答案2x－y－eq\r(2）＝0解析將雙曲線方程化為y2＝2（x2－1），類比上述方法兩邊同時對x求導得2yy′＝4x，則y′＝eq\f（2x，y），即過點P的切線的斜率k＝eq\f(2x0,y0），由于P(eq\r(2)，eq\r（2）)，故切線斜率k＝eq\f(2\r(2)，\r（2)）＝2,因此切線方程為y－eq\r(2)＝2（x－eq\r（2)),整理得2x－y－eq\r（2)＝0。方法技巧1．類比推理的四個角度和四個原則（1)四個角度類比推理是由特殊到特殊的推理，可以從以下幾個方面考慮類比:①類比定義：如等差、等比數(shù)列的定義；②類比性質(zhì):如橢圓、雙曲線的性質(zhì);③類比方法：如基本不等式與柯西不等式;④類比結(jié)構：如三角形內(nèi)切圓與三棱錐內(nèi)切球．（2)四個原則①長度類比面積；②面積類比體積；③平面類比空間；④和類比積,差類比商．見典例．2．類比推理的一般步驟（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性．(2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想)．3．常見類比推理題型的求解策略在進行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比，且要注意以下兩點:(1）找兩類對象的對應元素,如三角形對應三棱錐,圓對應球，面積對應體積等等；（2）找對應元素的對應關系，如兩條邊（直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等．沖關針對訓練(2017·山東日照一模)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為36＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為（1＋3＋32)＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32)＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，參照上述方法，可求得200的所有正約數(shù)之和為________．答案465解析類比求36的所有正約數(shù)之和的方法,200的所有正約數(shù)之和可按如下方法求得，因為200＝23×52,所以200的所有正約數(shù)之和為（1＋2＋22＋23）(1＋5＋52）＝465.題型2歸納推理角度1與數(shù)字有關的歸納推理eq\o(典例）(2018·石家莊模擬）如圖所示的數(shù)陣中，用A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則依此規(guī)律A(15，2)為（)eq\f(1，3）eq\f（1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10）eq\f(1,3）eq\f（1，10）eq\f(1,15）eq\f(13，30)eq\f（13,30）eq\f（1，15)eq\f（1,21)eq\f（1,2）eq\f(13,15）eq\f（1，2）eq\f(1,21）……A。eq\f(29，42)B.eq\f（7,10)C。eq\f（17,24）D.eq\f（73,102)答案C解析觀察題中所給的數(shù)陣，可以看出從第三行開始，每行第二個數(shù)等于它肩上的兩個數(shù)的和，所以A（15，2)＝eq\f(1，6）＋eq\f(1，6)＋eq\f（1,10）＋eq\f（1，15）＋eq\f(1，21）＋…＋eq\f（1，120)＝eq\f(1,6）＋2×eq\b\lc\（\rc\（\a\vs4\al\co1())eq\f（1，12）＋eq\f(1,20)＋eq\f（1，30)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1，240）eq\b\lc\\rc\）(\a\vs4\al\co1（））＝eq\f（1，6)＋2×eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1，3×4）＋\f(1,4×5）＋\f（1，5×6)＋\f(1，6×7)＋…＋\f（1，15×16)）)＝eq\f（1，6)＋2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f（1，4)＋\f(1，4)－\f(1，5）＋\f（1,5)－\f(1，6）＋…＋\f（1，15）－\f（1,16）))＝eq\f（1，6)＋2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）－\f（1，16)）)＝eq\f（17,24）。故選C.角度2與式子有關的歸納推理eq\o(典例)（2016·山東高考)觀察下列等式：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π,3))）－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，3))）－2＝eq\f（4，3)×1×2；eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(π,5）))－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，5））)－2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（3π，5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π，5))）－2＝eq\f(4，3)×2×3；eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f(π，7））)－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（2π,7))）－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f（3π,7)））－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（6π，7))）－2＝eq\f（4，3)×3×4;eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f（π,9))）－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)）)－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（8π,9）））－2＝eq\f（4,3)×4×5；……照此規(guī)律，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（π,2n＋1)））－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（3π,2n＋1）))－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f（2nπ，2n＋1））)－2＝________。分析等式右邊的結(jié)構規(guī)律．答案eq\f(4nn＋1，3）解析觀察前4個等式，由歸納推理可知eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1）))－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（2π，2n＋1)）)－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ，2n＋1））)－2＝eq\f(4，3）×n×（n＋1）＝eq\f（4nn＋1，3）。角度3與圖形有關的歸納推理eq\o(典例)如圖所示,是某小朋友在用火柴拼圖時呈現(xiàn)的圖形，其中第1個圖形用了3根火柴，第2個圖形用了9根火柴,第3個圖形用了18個火柴，……，則第2018個圖形用的火柴根數(shù)為（）A．2016×2019 B．2017×2018C．2017×2019 D．3027×2019答案D解析由題意，第1個圖形需要火柴的根數(shù)為3×1；第2個圖形需要火柴的根數(shù)為3×（1＋2)；第3個圖形需要火柴的根數(shù)為3×（1＋2＋3)；……由此,可以推出，第n個圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋n）．所以第2018個圖形所需火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋2018）＝3×eq\f(2018×1＋2018,2)＝3027×2019，故選D。方法技巧歸納推理問題的常見類型及解題策略1．與數(shù)字有關的等式的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解．見角度1典例．2．與式子有關的歸納推理（1)與不等式有關的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解．（2)與數(shù)列有關的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象,采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關系，列出即可．見角度2典例．3．與圖形變化有關的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕娊嵌?典例．沖關針對訓練某種平面分形圖如圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來eq\f(1，3）的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級分形圖,n級分形圖中共有________條線段．答案3×2n－3解析分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段,由題圖知,一級分形圖有3＝（3×2－3）條線段，二級分形圖有9＝（3×22－3)條線段,三級分形圖中有21＝(3×23－3)條線段，按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝3×2n－3.題型3演繹推理eq\o(典例）數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn（n∈N*）．證明:（1）數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f（Sn，n）))是等比數(shù)列;（2）Sn＋1＝4an.證明eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f（Sn，n）)）是等比數(shù)列,將已知an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn中的an＋1用Sn＋1－Sn表示．證明（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2，n）Sn，∴（n＋2）Sn＝n(Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2(n＋1）Sn?！鄀q\f(Sn＋1，n＋1)＝2·eq\f（Sn,n）,又eq\f（S1，1）＝1≠0，(小前提）故eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(Sn，n)）)是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列．（結(jié)論）（大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了)(2）由（1）可知eq\f（Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f（Sn－1，n－1）（n≥2），∴Sn＋1＝4(n＋1）·eq\f(Sn－1，n－1)＝4·eq\f（n－1＋2，n－1）·Sn－1＝4an(n≥2），(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.（結(jié)論）（第（2）問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件）方法技巧三段論的應用1．三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.2．應用三段論的注意點：解決問題時，首先應該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論．提醒：合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．沖關針對訓練(2017·廈門模擬）設f（x)＝3ax2＋2bx＋c,若a＋b＋c＝0，f（0)>0，f（1)〉0，證明：(1)a〉0且－2<eq\f（b，a)<－1；（2）方程f(x）＝0在（0,1）內(nèi)有兩個實根．證明(1）因為f（0)>0，f（1）〉0,所以c>0，3a＋2b＋c由a＋b＋c＝0，消去b得a〉c〉0；再由條件a＋b＋c＝0，消去c得a＋b<0且2a＋b>0，所以－2〈eq\f（b,a)〈－1。(2)因為拋物線f(x）＝3ax2＋2bx＋c的頂點坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（b,3a)，\f（3ac－b2,3a)))，又因為－2<eq\f(b,a)<－1,所以eq\f（1,3)〈－eq\f(b,3a)<eq\f（2，3).因為f（0）〉0，f(1）>0，而feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3a）))＝eq\f(3ac－b2，3a)＝－eq\f(a2＋c2－ac，3a)＝－eq\f（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f（c，2)))2＋\f(3c2，4），3a）〈0，所以方程f(x）＝0在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b，3a）))與eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(b,3a),1）)內(nèi)分別有一個實根，故方程f（x)＝0在(0，1）內(nèi)有兩個實根．1．（2017·全國卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績,給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（)A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績答案D解析由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好"．乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D.2．（2016·北京高考)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中,則（)A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多答案B解析解法一：假設袋中只有一紅一黑兩個球，第一次取出后,若將紅球放入了甲盒，則乙盒中有一個黑球，丙盒中無球,A錯誤;若將黑球放入了甲盒，則乙盒中無球,丙盒中有一個紅球，D錯誤；同樣，假設袋中有兩個紅球和兩個黑球，第一次取出兩個紅球，則乙盒中有一個紅球，第二次必然拿出兩個黑球，則丙盒中有一個黑球，此時乙盒中紅球多于丙盒中的紅球,C錯誤．故選B。解法二：設袋中共有2n個球,最終放入甲盒中k個紅球,放入乙盒中s個紅球．依題意知，甲盒中有(n－k）個黑球,乙盒中共有k個球,其中紅球有s個，黑球有（k－s）個，丙盒中共有(n－k）個球，其中紅球有(n－k－s)個，黑球有(n－k）－（n－k－s)＝s個．所以乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多．故選B。3．（2017·石家莊模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一，所得開立方除之,即立圓徑．“開立圓術"相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式d≈eq\r(3，\f(16,3）V）,人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)π＝3。14159…判斷，下列近似公式中最精確的一個是（)A．d≈eq\r（3,\f(60，31)V） B．d≈eq\r(3，2V)C．d≈eq\r（3，\f（15,8）V) D．d≈eq\r(3，\f(21,11)V）答案D解析由V＝eq\f(4π，3)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(d,2））)3，解得d＝eq\r（3，\f(6V，π）),選項A代入得π＝eq\f(31×6，60)＝3.1;選項B代入得π＝eq\f（6,2）＝3；選項C代入得π＝eq\f（6×8,15)＝3.2；選項D代入得π＝eq\f（11×6,21)＝3。142857。由于D的值最接近π的真實值．故選D.4．（2017·湖北七市聯(lián)考）觀察下列等式1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1，2)n（n＋1)；1＋3＋6＋…＋eq\f（1，2)n(n＋1）＝eq\f(1,6)n(n＋1)（n＋2)；1＋4＋10＋…＋eq\f(1，6)n(n＋1)（n＋2）＝eq\f（1，24)n(n＋1）(n＋2)(n＋3)．可以推測，1＋5＋15＋…＋eq\f(1，24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3）＝________________________。答案eq\f(1，120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3）（n＋4)解析觀察所給等式的左側(cè)和右側(cè)并歸納推理,等式右邊的因式應為n(n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4），系數(shù)為eq\f(1,5×24）＝eq\f(1,120）?？梢缘玫酱鸢福刍A送分提速狂刷練］一、選擇題1．(2018·湖北華師一附中等八校聯(lián)考）有6名選手參加演講比賽,觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名;觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1,2,6號選手中的一位獲得第一名;觀眾丁猜測:4,5，6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是（)A．甲B．乙C．丙D．丁答案D解析若甲猜測正確,則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤,即4號和5號均不是第一名．若丙猜測正確，那么乙猜測也正確,與題意不符,故丙猜測錯誤,即1,2，6號均不是第1名，故3號是第1名，則乙猜測錯誤，丁猜測正確．故選D.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an,則a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6答案B解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴｛an}是以6為周期的周期數(shù)列．又2016＝6×335＋6，∴a2016＝a6＝－3。故選B。3．已知x∈(0,＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f（1,x)≥2，x＋eq\f(4，x2）＝eq\f(x，2）＋eq\f(x,2)＋eq\f（4,x2)≥3，x＋eq\f（27，x3)＝eq\f(x，3)＋eq\f(x，3)＋eq\f(x,3)＋eq\f（27，x3)≥4，…，類比有x＋eq\f（a，xn）≥n＋1(n∈N＊)，則a＝()A．nB．2nC．n2D．nn答案D解析第一個式子是n＝1的情況，此時a＝1，第二個式子是n＝2的情況,此時a＝4，第三個式子是n＝3的情況,此時a＝33，歸納可以知道a＝nn.故選D。4．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3))）n,把數(shù)列｛an}的各項排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11，12)＝()A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）))67 B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）））68C.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3))）111 D.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)））112答案D解析該三角形所對應元素的個數(shù)為1，3，5，…，那么第10行的最后一個數(shù)為a100,第11行的第12個數(shù)為a112,即A（11,12）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)))112.故選D。5．（2017·陽山一模)下面使用類比推理恰當?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b"類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“若（a＋b）c＝ac＋bc"類推出“（a·b）c＝ac·bc”C．“(a＋b）c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c）＝eq\f(a，c）＋eq\f(b,c）(c≠0)”D．“（ab）n＝anbn”類推出“（a＋b)n＝an＋bn”答案C解析對于A,“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”是錯誤的，因為0乘任何數(shù)都等于0;對于B,“若(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“（a·b）c＝ac·bc”，類推的結(jié)果不符合乘法的運算性質(zhì)，故錯誤；對于C，將乘法類推除法，即由“(a＋b）c＝ac＋bc”類推出“eq\f（a＋b，c）＝eq\f(a，c）＋eq\f(b,c)"是正確的;對于D，“（ab）n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”是錯誤的，如（1＋1）2＝12＋12.故選C.6．（2017·河北冀州中學期末)如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點:1，2,3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列{an｝（n∈N＊)的前12項，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2017＝（)A．502B．503C．504D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7,…組成的數(shù)列恰好對應數(shù)列｛xn}，即xn＝a2n－1，當n為奇數(shù)時，xn＝eq\f(n＋1，2）.所以a2017＝x1009＝505。故選D.7．（2018·安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數(shù)學名著《九章算術》中割圓術有:“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r（2＋\r(2＋\r（2＋…)））中“…"即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1，1＋\f（1，1＋…）)＝(）A。eq\f(－\r（5）－1，2)B.eq\f（\r（5）－1，2）C。eq\f（1＋\r(5），2)D.eq\f（1－\r（5),2）答案C解析1＋eq\f（1，1＋\f（1，1＋…））＝x，即1＋eq\f(1，x)＝x，即x2－x－1＝0,解得x＝eq\f(1＋\r(5），2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1－\r(5），2）舍）），故1＋eq\f(1,1＋\f（1,1＋…）)＝eq\f(1＋\r（5),2)，故選C。8．(2017·陜西一模)設△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f（2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知，四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于(）A.eq\f(V，S1＋S2＋S3＋S4）B。eq\f(2V，S1＋S2＋S3＋S4）C.eq\f（3V,S1＋S2＋S3＋S4）D。eq\f（4V，S1＋S2＋S3＋S4）答案C解析設四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和,則四面體的體積為V＝V四面體S－ABC＝eq\f(1,3)（S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f（3V，S1＋S2＋S3＋S4）.故選C。9．(2018·鷹潭模擬)[x］表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[π］＝3.S1＝［eq\r（1)]＋［eq\r（2)］＋[eq\r(3)]＝3S2＝［eq\r(4)]＋［eq\r(5）］＋[eq\r(6）］＋[eq\r（7）]＋［eq\r(8)］＝10S3＝[eq\r(9）]＋［eq\r(10）］＋［eq\r（11)］＋[eq\r(12）]＋[eq\r（13）］＋[eq\r（14）]＋[eq\r（15)]＝21，…，依此規(guī)律，那么S10等于（）A．210B．230C．220D．240答案A解析∵［x］表示不超過x的最大整數(shù)，∴S1＝[eq\r（1)］＋［eq\r(2)］＋［eq\r(3）］＝1×3＝3，S2＝［eq\r（4)]＋［eq\r(5）]＋［eq\r（6）］＋［eq\r(7)]＋[eq\r(8）］＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋［eq\r（10)]＋［eq\r(11）］＋［eq\r(12）]＋[eq\r(13）］＋［eq\r（14）］＋［eq\r（15）]＝3×7＝21,……，Sn＝[eq\r（n2）］＋［eq\r(n2＋1)］＋[eq\r（n2＋2)］＋…＋［eq\r（n2＋2n－1）]＋［eq\r（n2＋2n）]＝n×(2n＋1），∴S10＝10×21＝210。故選A。10．(2017·龍泉驛區(qū)模擬）對于問題：“已知兩個正數(shù)x，y滿足x＋y＝2，求eq\f（1，x）＋eq\f(4，y)的最小值”，給出如下一種解法：∵x＋y＝2，∴eq\f(1,x）＋eq\f(4，y）＝eq\f(1，2)(x＋y）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，x）＋\f(4,y)））＝eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（5＋\f(y,x)＋\f（4x,y））)，∵x〉0,y>0，∴eq\f（y，x)＋eq\f（4x,y)≥2eq\r(\f（y，x)·\f（4x，y））＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f（4，y)≥eq\f(1，2）(5＋4）＝eq\f(9,2），當且僅當eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（y,x)＝\f（4x,y),，x＋y＝2，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，，y＝\f(4，3））)時，eq\f(1，x）＋eq\f（4，y)取最小值eq\f(9,2）。參考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，則eq\f（1,A）＋eq\f(9，B＋C）的最小值為()A。eq\f(16,π）B。eq\f(8，π)C。eq\f（4，π)D。eq\f(2，π)答案A解析A＋B＋C＝π，設A＝α，B＋C＝β,則α＋β＝π，eq\f（α＋β,π)＝1,參考題干中解法，則eq\f(1，A)＋eq\f(9,B＋C）＝eq\f(1,α）＋eq\f(9,β)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，α）＋\f(9，β)））·（α＋β）eq\f（1,π)＝eq\f（1，π）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（10＋\f（β，α)＋\f(9α,β)))≥eq\f（1,π）（10＋6）＝eq\f(16，π)，當且僅當eq\f（β,α)＝eq\f（9α,β)，即3α＝β時等號成立．故選A。二、填空題11．（2017·北京高考)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i＝1，2,3.(1)記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2,Q3中最大的是________；(2）記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是________．答案(1）Q1（2）p2解析設A1（xA1,yA1)，B1（xB1,yB1)，線段A1B1的中點為E1(x1，y1），則Q1＝y(tǒng)A1＋yB1＝2y1.因此，要比較Q1，Q2，Q3的大小，只需比較線段A1B1，A2B2,A3B3中點縱坐標的大小，作圖比較知Q1最大．又p1＝eq\f(yA1＋yB1,xA1＋xB1）＝eq\f(2y1，2x1）＝eq\f（y1,x1)＝eq\f(y1－0，x1－0），其幾何意義為線段A1B1的中點E1與坐標原點連線的斜率,因此，要比較p1，p2，p3的大小，只需比較線段A1B1,A2B2，A3B3中點與坐標原點連線的斜率,作圖比較知p2最大．12．(2018·湖北八校聯(lián)考)二維空間中,圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度（面積)S＝πr2;三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2,三維測度(體積）V＝eq\f（4,3）πr3。應用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝________.答案2πr4解析在二維空間中，圓的二維測度（面積）S＝πr2,則其導數(shù)S′＝2πr，即為圓的一維測度（周長）l＝2πr；在三維空間中，球的三維測度（體積)V＝eq\f（4，3)πr3，則其導數(shù)V′＝4πr2，即為球的二維測度（表面積）S＝4πr2；應用合情推理，在四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3,則其四維測度W＝2πr4.13．（2017·江西贛州十四縣聯(lián)考）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一，次關四而稅一,次關五而稅一，次關六而稅一．并五關所稅,適重一斤．問本持金幾何？"其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金eq\f（1,2）,第2關收稅金為剩余的eq\f（1,3)，第3關收稅金為剩余的eq\f（1,4），第4關收稅金為剩余的eq\f(1,5),第5關收稅金為剩余的eq\f（1,6)，5關所收稅金之和，恰好重1斤,問原本持金多少?”若將“5關所收稅金之和，恰好重1斤,問原本持金多少?”改成“假設這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關”,則第8關所收稅金為________x.答案eq\f(1，72)解析第1關收稅金：eq\f(1,2）x；第2關收稅金：eq\f(1，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,2)))x＝eq\f（x,6)＝eq\f（x,2×3）;第3關收稅金：eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2）－\f(1，6）))x