點(diǎn)群空間群和晶體結(jié)構(gòu)

點(diǎn)群空間群和晶體結(jié)構(gòu)第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三章點(diǎn)群、空間群和晶體結(jié)構(gòu)第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日引言

群(Group）是某些具有相互聯(lián)系規(guī)律的元素的組合.晶體對(duì)稱(chēng)操作符合一定規(guī)律的組合，這種群即是對(duì)稱(chēng)群（SymmetryGroup）。晶體外形是一個(gè)有限對(duì)稱(chēng)圖象，對(duì)其進(jìn)行對(duì)稱(chēng)操作時(shí)，至少保持一點(diǎn)不動(dòng)，即這些操作是點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作，它們組成點(diǎn)對(duì)稱(chēng)群，稱(chēng)為點(diǎn)群（PointGroup）。討論點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作有哪些可能的組合方式，并對(duì)晶體做進(jìn)一步劃分。3.1群的概念和基本性質(zhì)群是某些具有相互聯(lián)系規(guī)律的一些元素的組合，群的元素可以是字母、數(shù)字、對(duì)稱(chēng)操作、點(diǎn)陣等。任何一個(gè)群都應(yīng)具有以下4個(gè)基本性質(zhì)：

封閉性（Closure）群G的n個(gè)不等效元素中，任兩個(gè)元素組合或一個(gè)同類(lèi)元素自身組合都是群中的一個(gè)元素。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

群中所有元素都遵循組合律，但組合次序不能變。

有唯一的單位元素（E）。它和群中任何一個(gè)元素的組合是元素本身。

群中每一個(gè)元素，必有一個(gè)相應(yīng)的逆元素（InverseElement）使得兩者相乘為其本身。

以一個(gè)4次對(duì)稱(chēng)軸C4的全部操作所構(gòu)成的群G來(lái)說(shuō)明4個(gè)基本性質(zhì)。

兩個(gè)獨(dú)立群的直接積

設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立群GA和GB，其中GA是n階群，GB是m階群。兩個(gè)群中除了恒等元素外，沒(méi)有其它共有元素，兩個(gè)群的元素間相乘有交換律，即兩個(gè)群的直接積G以表示：G是n×m階群。群的直接積是擴(kuò)大群的一種最簡(jiǎn)單的方法。

ai·bj=bj·ai第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日子群、母群及生殖元素

子群：若群GA的全部元素是群G中的元素，并且兩者的結(jié)合律相同，稱(chēng)GA是群G的子群，而G是群GA的母群。如果對(duì)稱(chēng)元素GA和GB能夠得到G的全部對(duì)稱(chēng)元素，則稱(chēng)這兩個(gè)對(duì)稱(chēng)元素為群G中的兩個(gè)生殖元素(GeneratingElement).3.2點(diǎn)群的描述及圖示一組變換矩陣表示極射投影點(diǎn)群

該點(diǎn)群所有元素的極射投影以及一般位置點(diǎn)的正規(guī)點(diǎn)系(RegularPointSystem,RPS)的極射投影。

一般位置點(diǎn)指不處在對(duì)稱(chēng)元素上的點(diǎn)；正規(guī)點(diǎn)系是指某一點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)群所有對(duì)稱(chēng)操作導(dǎo)出的全部點(diǎn)的集合。

一般位置點(diǎn)的正規(guī)點(diǎn)系的總點(diǎn)數(shù)（又稱(chēng)等效位置點(diǎn)數(shù)）和點(diǎn)群的階數(shù)相等。

在極射投影時(shí)，點(diǎn)群中所有對(duì)稱(chēng)操作都經(jīng)過(guò)投影基圓中心。第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.3點(diǎn)群的推導(dǎo)方法

通過(guò)對(duì)晶體外形的研究，人們發(fā)現(xiàn)共有32種晶態(tài)，每一種晶態(tài)對(duì)應(yīng)著一種點(diǎn)群?？梢杂貌煌椒▽?dǎo)出32種點(diǎn)群。A)從五種循環(huán)群1(C1)、2(C2)、3(C3)、4(C4)、6(C6)開(kāi)始，再在每種循環(huán)群上加進(jìn)各種新的對(duì)稱(chēng)操作，最終導(dǎo)出32種點(diǎn)群。例如：在垂直于循環(huán)群對(duì)稱(chēng)軸的方向加上2次對(duì)稱(chēng)軸；在垂直于循環(huán)軸的方向或包含循環(huán)軸加上鏡面；用非真旋轉(zhuǎn)軸代替真旋轉(zhuǎn)軸等。用這些操作或者這些操作的某一種組合可能會(huì)得出一些新的點(diǎn)群。B)首先找出僅由真旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的所有群，這種純旋轉(zhuǎn)結(jié)晶學(xué)點(diǎn)群共有11種。然后在這11種點(diǎn)群的基礎(chǔ)上，把每一種都加上反演對(duì)稱(chēng)操作，又獲得11種點(diǎn)群。由這11種中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群，又可以找出與11種純旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群不同的10種非中心對(duì)稱(chēng)子群，最后導(dǎo)出了32種點(diǎn)群，是一種最快和最好的方法。

第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日上述的兩種導(dǎo)出方法有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，就是導(dǎo)出點(diǎn)群后，還要再確定每一種點(diǎn)群分屬于哪一種晶系。C)用推導(dǎo)7種晶系的方法也可以推導(dǎo)出32種點(diǎn)群。對(duì)每一種晶系在保證晶系的對(duì)稱(chēng)性不變的前提下，加入可能的對(duì)稱(chēng)操作，這種導(dǎo)出方法的優(yōu)點(diǎn)在于使點(diǎn)群與晶系的關(guān)系十分明確。下面將用這種方法導(dǎo)出32種點(diǎn)群。

在導(dǎo)出點(diǎn)群時(shí)應(yīng)該注意到在每一個(gè)點(diǎn)群中都有主導(dǎo)生殖對(duì)稱(chēng)元素，群內(nèi)其它對(duì)稱(chēng)元素可以由主導(dǎo)生殖對(duì)稱(chēng)元素組合增殖生成。如果由一組矩陣表示點(diǎn)群，則生殖對(duì)稱(chēng)元素的變換矩陣就是點(diǎn)群的生成矩陣。第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

三斜晶系

三斜晶系單胞的棱長(zhǎng)及其夾角不受任何限制。它可能的對(duì)稱(chēng)操作是1(C1)或(i)。這晶系可以有2個(gè)點(diǎn)群。

1)如果物體只有一個(gè)1(C1)恒等操作，它所屬的點(diǎn)群是1階的{C1)或{1}。其熊夫利斯符號(hào)是C1，國(guó)際簡(jiǎn)略符號(hào)是l，即點(diǎn)群符號(hào)是C1-1。這種點(diǎn)群符號(hào)和其對(duì)稱(chēng)操作符號(hào)相同。因?yàn)镃1-1點(diǎn)群只有一種單一對(duì)稱(chēng)操作，所以，盡管點(diǎn)群符號(hào)和對(duì)稱(chēng)操作符號(hào)相同也不會(huì)引起混亂。這種點(diǎn)群的生殖對(duì)稱(chēng)元素就是C1(E)，生殖矩陣就是恒等操作的變換矩陣。這種點(diǎn)群的極射投影圖如附圖1(a)所示。第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

在圖中沒(méi)有標(biāo)出對(duì)稱(chēng)元素的投影，因?yàn)槿魏畏较蚨伎梢允?次軸，故不能標(biāo)出它的位置。投影圖中的一般位置點(diǎn)的等效點(diǎn)只有一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)榻?jīng)對(duì)稱(chēng)操作后這個(gè)點(diǎn)仍在原來(lái)位置。

2)如果物體有1(E)和1(i)對(duì)稱(chēng)操作，這個(gè)點(diǎn)群是2階的：{E，i}或{1，1}。點(diǎn)群的熊夫利斯符號(hào)是Ci，國(guó)際簡(jiǎn)略符號(hào)是1，即點(diǎn)群的符號(hào)是Ci-1。這個(gè)點(diǎn)群的生殖對(duì)稱(chēng)元素是1，生殖矩陣就是反演操作的變換矩陣。這種點(diǎn)群的極射投影圖如附圖l(b)所示：在圖中心標(biāo)出對(duì)稱(chēng)中心。一般位置點(diǎn)的等效點(diǎn)系是一個(gè)在上半球(用●表示)，另一個(gè)在下半球(用○表示)的2個(gè)等效點(diǎn)。附圖1第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

除了上述兩種點(diǎn)群，我們不可能再增加任何對(duì)稱(chēng)操作而使物體仍屬于三斜晶系，所以，屬于三斜晶系的晶類(lèi)只有兩種。Ci-1點(diǎn)群的對(duì)稱(chēng)操作最多(不嚴(yán)格地說(shuō)它具有最高的對(duì)稱(chēng)性)，稱(chēng)這種點(diǎn)群為該晶系的全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群。

附圖1第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

從上述兩種點(diǎn)群的極射投影再一次說(shuō)明在投影圖上一般位置的正規(guī)點(diǎn)系的數(shù)目和點(diǎn)群具有對(duì)稱(chēng)操作的數(shù)目相同，即與點(diǎn)群的階數(shù)相同。第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

在(e)所示：在投影面上{111)位置4個(gè)3軸，單胞3個(gè)軸為4次軸，過(guò)單胞3個(gè)軸兩兩構(gòu)成3個(gè)鏡面及6個(gè){110}的鏡面。一般位置點(diǎn)的等效點(diǎn)系共有48個(gè)點(diǎn)。立方系各晶類(lèi)的投影圖

5種點(diǎn)群中(e)是該晶系的全對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群。從這5種點(diǎn)群可以看到立方晶系不一定有4次軸，例如點(diǎn)群(a)和(b)就沒(méi)有4次軸。另外，立方晶系并不一定總是具有最高的對(duì)稱(chēng)性，例如四方晶系的點(diǎn)群D4h-4／mmm(16階)和六方晶系的點(diǎn)群D6h-6／mmm(24階)就比立方晶系的點(diǎn)群T-23(12階)的對(duì)稱(chēng)性高。第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

把32種點(diǎn)群的符號(hào)、對(duì)稱(chēng)組合、主導(dǎo)生殖元素的方向、階數(shù)以及點(diǎn)群導(dǎo)出方法綜合列于附表1中，把它們的極射投影圖綜合列于附表2中，其中四方晶系采用第二定向的。在附表2中的每一方格，中間的圓是極射投影圖，左上角是國(guó)際符號(hào)，右上角的i表示該點(diǎn)群具有中心對(duì)稱(chēng)，左下角給出這個(gè)點(diǎn)群的基本對(duì)稱(chēng)元素，右下角是國(guó)際完全符號(hào)。第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日附表132種點(diǎn)群第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日極射投影圖附表232種點(diǎn)群投影第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日極射投影圖續(xù)附表232種點(diǎn)群投影第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4空間群概念及其描述

能使三維周期物體(無(wú)限大晶體)自身重復(fù)的幾何對(duì)稱(chēng)操作的集合就是空間群。用途：描述晶體(假設(shè)是無(wú)限大的)結(jié)構(gòu)的空間對(duì)稱(chēng)性。

一個(gè)周期性物體的對(duì)稱(chēng)操作必然包含平移操作。用平移矢量來(lái)描述點(diǎn)陣的周期性，所有平移矢量的集合構(gòu)成1個(gè)平移群，是無(wú)限群。

空間群的全部對(duì)稱(chēng)操作是由點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作和平移操作組成。

以{D/t)表示空間操作算符，則空間操作對(duì)一般位矢作用可表示為:D是點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作的變換算符t是平移操作第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日點(diǎn)陣的空間對(duì)稱(chēng)操作中除了使單胞平移到每一個(gè)其它單胞的操作(對(duì)于有限群操作數(shù)為一數(shù)值N，對(duì)于無(wú)限群操作數(shù)則為無(wú)窮大)之外，還有使初基單胞所含的實(shí)體(晶體結(jié)構(gòu)中的結(jié)構(gòu)基元)變換到本身的h個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，所以，空間群共有Nh個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。其中一組特殊操作是h個(gè)對(duì)稱(chēng)操作與平移群恒等操作(即零平移)的組合，即這個(gè)組合只有h個(gè)對(duì)稱(chēng)操，這h

個(gè)對(duì)稱(chēng)操作稱(chēng)為空間群的基本操作。而h個(gè)對(duì)稱(chēng)操作和初基點(diǎn)群平移(非零平移)的組合稱(chēng)為空間群的非基本操作。第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

在某些空間群的對(duì)稱(chēng)操作中，其中有可能比初基點(diǎn)群平移小的平移t，它與旋轉(zhuǎn)或鏡面結(jié)合稱(chēng)之為螺旋操作或滑移操作。

空間群可分為點(diǎn)式空間群(symmorphicspaceGroup)非點(diǎn)式空間群(NonsymmorphicspaceGroup)

對(duì)稱(chēng)操作全部作用于同一個(gè)公共點(diǎn)上的，不包含任何一個(gè)比初基平移還要小的平移τ。

對(duì)稱(chēng)操作全部作用于同一個(gè)公共點(diǎn)上的，至少包含一個(gè)比初基平移還要小的平移τ。73種157種230種第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4.1點(diǎn)式空間群

通常獲得點(diǎn)式空間群的辦法就是把32種點(diǎn)群和14種布喇菲點(diǎn)陣直接組合，即每一種點(diǎn)群都可以同所屬晶系中可能有的布喇菲點(diǎn)陣P、I、F或C相結(jié)合。強(qiáng)調(diào)組合是由同屬一種晶系的點(diǎn)群和布喇菲點(diǎn)陣組合，因?yàn)椴粚儆谕环N晶系的點(diǎn)群和布喇菲點(diǎn)陣組合是不相容的。正交晶系包含有全部可能的布喇菲P、I、F和C點(diǎn)陣，所以以正交晶系為例來(lái)討論如何以上述的方式組合來(lái)導(dǎo)出空間群。正交點(diǎn)群有D2-222、C2v-mm2和D2h-mmm三種。若取1個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性為C2v-mm2的物體(結(jié)構(gòu)基元)，以合適的取向放到1個(gè)陣點(diǎn)上，由于平移對(duì)稱(chēng)性，也即每一個(gè)陣點(diǎn)也放上這樣的物體。第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果這個(gè)物體是由原子(或分子)按C2v-mm2對(duì)稱(chēng)性排列起來(lái)的原子(或分子)集團(tuán)組成，那就構(gòu)成了一種晶體結(jié)構(gòu)。以合適的取向放到陣點(diǎn)上的含義如果希望每個(gè)陣點(diǎn)都具有正交對(duì)稱(chēng)性，那么放置物體時(shí)就必須使它的鏡面和2次軸沿單胞某一軸方向放置。這樣導(dǎo)出的晶體結(jié)構(gòu)，才會(huì)既有平移對(duì)稱(chēng)性又能使任何一個(gè)陣點(diǎn)都有C2v-mm2的對(duì)稱(chēng)性。第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日這兩種類(lèi)型的對(duì)稱(chēng)操作正是描述整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性的基本操作。(a)正交晶系的Pmm2空間群

圖(a)是正交點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上放上對(duì)稱(chēng)性為C2v-mm2的物體的空間群的俯視圖。

圖中畫(huà)出單胞的輪廓，原點(diǎn)選在左上角，a軸指向頁(yè)底，b軸指向右，c軸從頁(yè)面指出來(lái)。以圓圈排列來(lái)表示它的對(duì)稱(chēng)性，在左邊的圖中每個(gè)陣點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性用一般位置點(diǎn)的等效點(diǎn)系表示。其中每一個(gè)圓圈既可以代表晶體中單個(gè)原子，也可以代表原子集團(tuán)。在右邊的圖上給出對(duì)稱(chēng)元素的配置。在原點(diǎn)有一個(gè)沿c方向的2次軸和2個(gè)鏡面(用粗線表示)。P-初基點(diǎn)陣，mm2-基本操作。非基本操作（附加的2次軸和鏡面）未表示。第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日

上述的推導(dǎo)過(guò)程完全可以推廣到其它晶系的空間群。把上述辦法依次用于7種晶系，共導(dǎo)出66種空間群。如果再考慮點(diǎn)群元素與布喇菲點(diǎn)陣之間的取向關(guān)系，又能得到另一些空間群，結(jié)果總共得出73種點(diǎn)式空間群。第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日附表373種點(diǎn)式空間群第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4.2非點(diǎn)式空間群

非點(diǎn)式空間群必包含1個(gè)非初基平移T的非點(diǎn)式操作，引入了這種非點(diǎn)式操作，又可以導(dǎo)出157種非點(diǎn)式空間群。螺旋軸

螺旋軸螺旋軸的國(guó)際符號(hào)為ns，其中n是旋轉(zhuǎn)階次，s是小于n的整數(shù)，平移量是s/n單位平移矢量。當(dāng)對(duì)稱(chēng)圖像繞螺旋軸ns旋轉(zhuǎn)2π/ns角度，繼而沿軸的平行方向平移s/n單位平移矢量的距離后使對(duì)稱(chēng)圖像的等同部分重合，它就是一種對(duì)稱(chēng)操作。這種復(fù)合操作的兩種操作先后次序是不影響最后結(jié)果的。和旋轉(zhuǎn)軸一樣，螺旋軸次只可能有1、2、3、4和6五種，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角為360°、180°、120°、90°和60°。旋轉(zhuǎn)后的平移矢量t=ts，t為與平移矢量t相平行的基矢。

螺旋軸ns的基本對(duì)稱(chēng)操作可表示為{(2π/n)·T(s/n)t)}p,其中P=0，±1，±2……。S<(n/2)－右螺旋(n/2)<S<n－左螺旋S=(n/2)－中性螺旋軸第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日二次螺旋軸第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日所有可能的晶體學(xué)螺旋軸操作第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日石英結(jié)構(gòu)中的六次螺旋軸

石英的基本結(jié)構(gòu)可以看成是硅氧四面體在三和六次螺旋軸附近的螺旋鏈。左邊為其中一個(gè)三次螺旋，右方顯示的是螺旋連接構(gòu)成晶體框架。第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日滑移面

由鏡面和平移組合產(chǎn)生的對(duì)稱(chēng)元素稱(chēng)為滑移反映面，簡(jiǎn)稱(chēng)滑移面。滑移面的基本操作可表示為{m·t}，其對(duì)稱(chēng)群為{m·t}p，P=0，±1，±2……。

晶體中有3種不同的滑移面，即軸向滑移、對(duì)角線滑移（又稱(chēng)n滑移）和金剛石滑移。

所有滑移中，都是經(jīng)鏡面操作后再平移單胞周期的某一分?jǐn)?shù)的距離。和螺旋軸的操作相同，鏡面和平移兩步操作的先后次序是不重要的。圖(a)鏡面垂直于a軸，平移矢量t＝b/2，這種軸向滑移稱(chēng)為b滑移圖(b)表示鏡面垂直于c軸，平移矢量是(a+b)/2的n滑移。第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4.3空間群的推導(dǎo)方法

關(guān)于230種空間群的推導(dǎo)工作，早在1890年由俄國(guó)晶體學(xué)家費(fèi)多羅夫完成，其后又由德國(guó)科學(xué)家熊夫利斯和英國(guó)學(xué)者巴羅分別在1891年和1894年利用不同的推導(dǎo)方法，獨(dú)立地得出了相同的結(jié)果。在文獻(xiàn)上用得最多的是熊夫利斯方案，這套方案的基本概念簡(jiǎn)單，處理直截了當(dāng)。這種方案是從73個(gè)點(diǎn)式空間群出發(fā)，然后試探替換各種可能的滑移面和螺旋軸，看是否得出新的空間群。在這個(gè)過(guò)程中，既不能漏掉任何可能的空間群，又不能出現(xiàn)重復(fù)的空間群，結(jié)果可以導(dǎo)出全部230種空間群。推導(dǎo)全部空間群的工作量很大，這里不作具體說(shuō)明。第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.4.4空間群國(guó)際符號(hào)空間群符號(hào)也有國(guó)際符號(hào)和熊夫利斯符號(hào)兩種。空間群的國(guó)際符號(hào)由兩部分組成：最前面的大寫(xiě)英文字母(P，A，B，C，I，F(xiàn))表示空間群的平移群，在空間群中一定含有作為子群的平移群，它是用以描述晶體結(jié)構(gòu)周期性的；符號(hào)的第二部分是與其同形點(diǎn)群相應(yīng)的同形對(duì)稱(chēng)元素。它們一般是由3個(gè)位序組成，分別表示空間群中主導(dǎo)方向上的對(duì)稱(chēng)元素，所規(guī)定的方向與點(diǎn)群國(guó)際符號(hào)3個(gè)位序相應(yīng)的方向相同。對(duì)于簡(jiǎn)單點(diǎn)群的同形空間群，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)元素少，用一個(gè)位序也不至引起混亂，這些空間群符號(hào)的第二部分只用一個(gè)位序。例如空間群P21/m，P代表平移群，它屬于單斜初基點(diǎn)群，21/m表示在點(diǎn)陣平行c軸有2次螺旋軸(21)和垂直于b軸的鏡面，相應(yīng)空間群的點(diǎn)群為2/m。P21/m是點(diǎn)群2/m的同形空間群。第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日在同形點(diǎn)群符號(hào)上添加一個(gè)數(shù)字(1，2，3，……)指標(biāo)后，就變成該點(diǎn)群的同形空間群了。例如前面討論C2-2點(diǎn)群的同形空間群(即國(guó)際符號(hào)P2)，(即國(guó)際符號(hào)P21)和(即國(guó)際符號(hào)B2)等。符號(hào)的數(shù)字指標(biāo)表示出這個(gè)空間群在某一定同形點(diǎn)群中的順序號(hào)碼，最終號(hào)碼表明屬于同一點(diǎn)群有多少個(gè)同形空間群。空間群的熊夫利斯符號(hào)3.4.5國(guó)際表簡(jiǎn)介(InternationalTableforCrystallography，VolumeA，Space－GroupSymmetry；edbyHahn，1983)全面了解某種晶體的對(duì)稱(chēng)性和相應(yīng)空間的各種性質(zhì)的簡(jiǎn)捷的方法。以國(guó)際表中介紹第83號(hào)空間群P4/m()為例了解國(guó)際表的一般結(jié)構(gòu)。第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日國(guó)際符號(hào)熊夫利斯符號(hào)序號(hào)空間群的完全符號(hào)晶系點(diǎn)群符號(hào)對(duì)稱(chēng)元素系一般等效點(diǎn)系的位置第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D中第一行最右邊是空間群的國(guó)際符號(hào)，它下面是空間群的熊夫利斯符號(hào)；往左是空間群序號(hào)(這個(gè)序號(hào)是從三斜晶系空間群PI開(kāi)始一直