流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)第三章

流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)第三章第一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日§2—1描述流動(dòng)的方法

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體質(zhì)點(diǎn)間的約束強(qiáng)無弱

一.描述流體運(yùn)動(dòng)的困難質(zhì)點(diǎn)數(shù)N個(gè)無窮無窮第二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體第三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日本章的主要內(nèi)容：流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流體運(yùn)動(dòng)的總流理論

——恒定總流連續(xù)性方程、能量方程流體運(yùn)動(dòng)的流場理論

——理想流體的運(yùn)動(dòng)方程、N-S方程和恒定平面勢流任務(wù)：建立描述流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，并理解其物理意義、掌握其實(shí)際應(yīng)用。本章重點(diǎn)：恒定總流的連續(xù)性方程、能量方程及其應(yīng)用第四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法一、拉格朗日法(LagrangeMethod)

拉格朗日法以研究個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過對每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究來獲得整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性。所以這種方法又可叫做質(zhì)點(diǎn)系法。

第五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日法---將液體質(zhì)點(diǎn)作為研究對象跟蹤并研究每一個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，它以流體個(gè)別質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)（即質(zhì)點(diǎn)系）運(yùn)動(dòng)求得整個(gè)流動(dòng)?！|(zhì)點(diǎn)系法xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t第六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日空間坐標(biāo)（a,b,c）為t=t0起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置坐標(biāo)，稱為拉格朗日數(shù)。所以，任何質(zhì)點(diǎn)在空間的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時(shí)間t的函數(shù)(1)(a,b,c)=const，t為變數(shù)，可以得出某個(gè)指定質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所處的位置。(2)(a,b,c)為變數(shù)，t=const，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點(diǎn)在空間的分布情況。第七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

加速度速度

由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡非常復(fù)雜，而實(shí)用上也無須知道個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運(yùn)動(dòng)）外，水力學(xué)中很少采用。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)速度與加速度的定義第八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日二、歐拉法(EulerMethod)

歐拉法是以考察不同流體質(zhì)點(diǎn)通過固定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來了解整個(gè)流動(dòng)空間的流動(dòng)情況，即著眼于研究各種運(yùn)動(dòng)要素的分布場，所以這種方法又叫做流場法。通常在同一時(shí)刻不同空間點(diǎn)上的流速是不同的，同一空間點(diǎn)上不同時(shí)刻的速度也不同，即流速是空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)：速度（x,y,z,t）—?dú)W拉變量第九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

考察不同時(shí)刻液體質(zhì)點(diǎn)通過流場中固定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，綜合足夠多的固定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，得到整個(gè)液流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。——流場法

歐拉法不直接追究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，而是研究各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在流場中的變化規(guī)律。將個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程置之不理，而固守于流場各空間點(diǎn)。通過觀察在流動(dòng)空間中的每一個(gè)空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間的變化，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來而得出的整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況。

第十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

若令上式中x、y、z為常數(shù)，t為變數(shù)，即可求得在某一固定空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻通過該點(diǎn)的流速的變化情況。若令t為常數(shù)，x、y、z為變數(shù),則可求得在同一時(shí)刻，通過不同空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的流速的分布情況(即流速場)。第十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

加速度是速度的全微分。對于流體質(zhì)點(diǎn)，不同時(shí)刻位于不同的空間位置。故質(zhì)點(diǎn)加速度必須按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則求導(dǎo)：分量

類似地有：ay=……;az=……第十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

式中第一項(xiàng)叫時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?LocalAcceleration)，流動(dòng)過程中流體由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度；第二項(xiàng)叫位變速度，流動(dòng)過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度(ConnectiveAcceleration)。第十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日=+時(shí)變導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù)全質(zhì)導(dǎo)點(diǎn)數(shù)導(dǎo)

數(shù)位變導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)對流導(dǎo)數(shù)算子第十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日時(shí)變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋后w由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度

在恒定流中，流場中任意空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化，所以時(shí)變加速度等于零

在均勻流中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不隨空間位置變化，所以位變加速度等于零位變加速度（遷移加速度)——液體由于速度隨位置變化而引起的加速度

質(zhì)點(diǎn)的加速度（流速對時(shí)間求導(dǎo)）由流速不均勻性引起由流速不恒定性引起第十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

恒定流時(shí)時(shí)變加速度為零，非恒定時(shí)時(shí)變加速度不等于零。但位變加速度是否等于零并不決定于是否是恒定流，而要看流體質(zhì)點(diǎn)自一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)時(shí)流速是否改變。均勻流是遷移加速度為零。

第十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1、在水位恒定的情況下：

(1)A→A’不存在時(shí)變加速度和位變加速度。

(2)B→B’不存在時(shí)變加速度，但存在位變加速度。2、在水位變化的情況下：

(1)A→A’存在時(shí)變加速度，但不存在位變加速度。

(2)B→B’既存在時(shí)變加速度，又存在位變加速度。問題：均勻流是：

A、當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?/p>

C、向心加速度為零

D、合加速度為零B、遷移加速度為零第十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日時(shí)刻tA點(diǎn)流速為ux

Aˊ點(diǎn)的流速為

時(shí)刻t+dt，A點(diǎn)的流速變?yōu)锳ˊ點(diǎn)的流速為

該液體質(zhì)點(diǎn)通過A點(diǎn)時(shí)的加速度為當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣?/p>

遷移加速度遷移加速度第十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日法2.比較表達(dá)式復(fù)雜不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性拉格朗日觀點(diǎn)是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡表達(dá)式簡單同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)不適合描述流體元的運(yùn)動(dòng)變形特性第十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日描述液體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第二十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日方法著眼點(diǎn)：流體質(zhì)點(diǎn)基本思路：跟蹤單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，并且隨時(shí)間連續(xù)記錄其位置坐標(biāo)和其它物理量，從而搞清楚該質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的規(guī)律。若對每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)皆照此辦理，那么全部流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也就可以知道了。流體質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，因此要研究某個(gè)確定的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，首先必須有一個(gè)表征這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的辦法，以便識(shí)別和區(qū)分不同的流體質(zhì)點(diǎn)。通常取初始時(shí)刻t=t0時(shí)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)(a，b，c)作為區(qū)分質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，不同的a，b，c值代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)，不同流體質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻也唯一的對應(yīng)一組a，b，c值。第二十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t若給定a，b，c，即為某一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡線方程。液體質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度。第二十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法第二十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日著眼點(diǎn)：空間點(diǎn)基本思路：在固定的空間點(diǎn)上設(shè)置“觀察哨”，隨時(shí)間連續(xù)變化，將有不同的流體質(zhì)點(diǎn)魚貫通過觀察哨，通過連續(xù)記錄不同流體質(zhì)點(diǎn)在經(jīng)過哨所時(shí)的流動(dòng)要素（如速度、壓強(qiáng)等），就可以掌握這一點(diǎn)（哨位）上的流動(dòng)情況。若將此做法遍及流場中的每一點(diǎn)，就可以了解流場中流體運(yùn)動(dòng)的全部信息。顯然，在歐拉描述中，各空間點(diǎn)上的物理量（實(shí)際上是通過此點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的物理量）是隨時(shí)間變化的。因此，流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)應(yīng)該是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。如流體的速度、壓強(qiáng)和密度可以表示為歐拉方法第二十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日xzyOM（x，y，z）t時(shí)刻若x，y，z為常數(shù)，t為變數(shù)，？若t為常數(shù)，x，y，z為變數(shù)，？質(zhì)點(diǎn)通過流場中任意點(diǎn)的加速度第二十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

在實(shí)際工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空間位置上流體的運(yùn)動(dòng)情況，而并不去追究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如，研究一個(gè)隧洞中的水流，只要知道了液體經(jīng)過隧洞中不同位置時(shí)的速度及動(dòng)壓力，這樣就能滿足工程設(shè)計(jì)的需要。所以，歐拉（Euler）法對工程流體力學(xué)的研究具有重要的意義。第二十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日恒定流(SteadyFlow)：在流場中，任何空間點(diǎn)上所有的運(yùn)動(dòng)要素都不隨時(shí)間而改變。運(yùn)動(dòng)要素僅僅是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。

§3-2研究流體運(yùn)動(dòng)的若干基本概念一、恒定流與非恒定流水位不變第二十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

恒定流時(shí)，所有的運(yùn)動(dòng)要素對于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于零：

第二十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第三十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日非恒定流(unsteadyflow)

：流場中任何點(diǎn)上有任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素是隨時(shí)間而變化的。在實(shí)際工程中，常把運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化緩慢的流動(dòng)按恒定流處理，以求簡化。

第三十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

三者中至少一個(gè)不等于0第三十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日落地流速方向和大小隨時(shí)間變化t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小隨時(shí)間變化

第三十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日流場和運(yùn)動(dòng)參數(shù)流場指充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間。運(yùn)動(dòng)參數(shù)指表征流體運(yùn)動(dòng)特征的物理量。第三十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日二、一元流、二元流、三元流

凡流體中任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素只與一個(gè)空間自變量有關(guān)，這種流體稱為一元流(One-dimensionalFlow)。流場中任何點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素和兩個(gè)空間自變量有關(guān)，此種流體稱為二元流(Two-dimensionalFlow)

。若流體中任一點(diǎn)的流速，與三個(gè)空間位置變量有關(guān)，這種流體稱為三元流。

第三十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1、一元流流體在一個(gè)方向流動(dòng)最為顯著，其余兩個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即液體的運(yùn)動(dòng)要素是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實(shí)際液體運(yùn)動(dòng)要素的斷面平均值，則運(yùn)動(dòng)要素只是曲線坐標(biāo)s的函數(shù)，這種流動(dòng)屬于一元流動(dòng)。四、一元流、二元流與三元流第三十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、二元流

流體主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向的流動(dòng)，而第三個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)。如實(shí)際液體在圓截面（軸對稱）管道中的流動(dòng)。又如在x方向很長的滾水壩的溢流流動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)要素只與兩個(gè)位置坐標(biāo)(y,z)有關(guān)，只需研究平行平面中任一個(gè)平面上的流動(dòng)情況。第三十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3、三元流（three-dimensionalflow）

流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)。例如水在斷面形狀與大小沿程變化的天然河道中流動(dòng)、水對船的繞流等等

存在的問題之一

一元流分析法回避了水流內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)要素的空間分布。第三十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日三、跡線與流線拉格朗日法研究個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況，引出了跡線的概念；歐拉法考察同一時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)在不同空間位置的運(yùn)動(dòng)情況引出了流線的概念。

1、跡線與流線的概念跡線(pathline)：某一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)連成的線稱為跡線，即流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過的軌跡線。圖示煙火的軌跡。

第三十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日流線(StreamLine)：是某一瞬時(shí)在流場中繪出的一條曲線，在該曲線上所有各點(diǎn)的速度向量都與該曲線相切。第四十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

用歐拉法描述流體運(yùn)動(dòng)時(shí)引入流線的概念。某一時(shí)刻過流場空間一定點(diǎn)畫出一條空間曲線，這條曲線具有這樣的性質(zhì)：該時(shí)刻流線上各點(diǎn)的速度矢量都與這條流線相切，這條空間曲線稱為該時(shí)刻過該定點(diǎn)的流線。流線表示瞬時(shí)流動(dòng)方向。第四十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1、流線------分析流動(dòng)的重要概念流線的定義表示某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動(dòng)趨勢的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。流線是與歐拉法相對應(yīng)的概念,有了流線,流場的空間分布就得到了形象化的描繪切線與速度方向一致的假想曲線第四十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日流線和跡線繪制方法流線和跡線的繪制方法如圖第四十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

繪制方法如下：設(shè)在某時(shí)刻t1流場中有一點(diǎn)A1，該點(diǎn)的流速向量為u1，在這個(gè)向量上取與A1相距為的點(diǎn)A2；在同一時(shí)刻，A2點(diǎn)的流速向量設(shè)為u2，在向量u2上取與A2點(diǎn)相距為的點(diǎn)A3；若該時(shí)刻A3點(diǎn)的流速向量為u3，在向量u3上再取與A3相距為的點(diǎn)A4，如此繼續(xù)，可以得出一條折線A1A2A3A4……，若讓所取各點(diǎn)距離趨近于零，則折線變成一條曲線，這條曲線就是t1時(shí)刻通過空間點(diǎn)A1的一條流線.第四十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日流線和跡線繪制方法跡線的繪制過流場中點(diǎn)A0繪出該點(diǎn)在某一瞬時(shí)t1的流速矢量u1

，在該矢量上取與A0點(diǎn)相鄰的點(diǎn)A1,過A1繪出過時(shí)段t2時(shí)刻的速度矢量v2，又在這一流速矢量上取與A1點(diǎn)相鄰的B2點(diǎn)，再過A2點(diǎn)繪出t3時(shí)刻的矢量u3再找B3點(diǎn)，再繪出矢量再找點(diǎn)……依此類推，得到折線A0A1B2B3,當(dāng)趨于無窮小時(shí)，折線近視為一條光滑曲線，這條光滑曲線就是時(shí)刻t1從點(diǎn)A0出發(fā)的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線，如果繪制整個(gè)流場中所有質(zhì)點(diǎn)的跡線，就可以清楚地描述整個(gè)流場的流動(dòng)圖景

第四十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1、非恒定流中：不同瞬時(shí)的流線是不同的，流線與跡線一般不重合。2、恒定流中：流線也是恒定的不隨時(shí)間改變，而且流線與跡線是重合的。第四十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

假定A1A2A3A4……近似代表一條流線（當(dāng)趨近于零時(shí)即為流線），在t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)從A1點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過后達(dá)到A2；到達(dá)A2后雖然時(shí)刻變成。但因恒定流流線形狀和位置不變，此時(shí)A2點(diǎn)的流速仍與t1相同，仍然為u2方向，于是質(zhì)點(diǎn)從A2點(diǎn)沿u2方向運(yùn)動(dòng)，再經(jīng)過又到達(dá)A3，如此繼續(xù)下去質(zhì)點(diǎn)所走的軌跡完全與流線重合。第四十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日流線及流線圖的性質(zhì)

a.同一時(shí)刻的不同流線，不能相交

即一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可能同時(shí)有兩個(gè)速度向量

b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線因?yàn)榱黧w是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素是空間的連續(xù)函數(shù)。

c.流線簇的疏密反映了速度的大?。骶€密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。┮?yàn)閷Σ豢蓧嚎s流體，元流的流速與其過水?dāng)嗝婷娣e成反比。第四十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、流線的特性

1)恒定流時(shí)，流線的形狀和位置不隨時(shí)間而改變。

2)恒定流時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的跡線與流線相重合。

3)流線不能相交。(因?yàn)楦鶕?jù)流線定義，在交點(diǎn)的液體質(zhì)點(diǎn)的流速向量應(yīng)同時(shí)與這兩條流線相切，即一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可能同時(shí)有兩個(gè)速度向量。)4)流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。(因?yàn)榱黧w是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素是空間的連續(xù)函數(shù)。)5)流線簇的疏密反映了速度的大小(流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。(因?yàn)閷Σ豢蓧嚎s流體，元流的流速與其過水?dāng)嗝婷娣e成反比。)第四十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3、流線方程設(shè)m為流線上的一點(diǎn)，該點(diǎn)的流速為u,從該點(diǎn)沿流線方向取一微元段dr，u和dr在x、y、z軸上的分量分別為ux、

uy、

uz和dx、dy、dz，根據(jù)流線定義u與dr（即該點(diǎn)的切線方向)方向一致，即

流線的微分方程yuxuyudydxdr流線x第五十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日跡線方程

由運(yùn)動(dòng)微分方程即可推出跡線的微分方程式中，時(shí)間t是自變量，而x,y,z是t的因變量。第五十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日思考題

實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？

不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的運(yùn)動(dòng)，確定流體流動(dòng)趨勢。第五十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日解

(1)流線微分方程：積分得：流線方程

不同時(shí)刻(t=0,1,2)的流線是三組不同斜率的直線族。例

已知速度場ux=a，uy=bt，uz=0。試求：

(1)流線方程及t=0，t=1，t=2時(shí)的流線圖；

(2)跡線方程及t=0時(shí)過(0，0)點(diǎn)的跡線。第五十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日(2)跡線方程

積分得yt0t1t2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流線=012345yt=2流線012345跡線xyt0123450t=1流線C=1C=2第五十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日由t=0,x=0,y=0,確定積分常數(shù)，c1=0,c2=0。得再消去t，且過(0,0)點(diǎn)的跡線方程是一拋物線方程。第五十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日四、流管、流束、元流、總流、過流斷面

1、流管(streamtube)

在流體中任意一微分面積dA(如圖)，通過該面積的周界上的每一個(gè)點(diǎn)，均可作一根流線，這樣就構(gòu)成一個(gè)封閉的管狀曲面，稱為流管。第五十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、元流

流束：流管內(nèi)所有流線的集合。充滿以流管為邊界的一束流體，稱為微元流束,即就是過流斷面無限小的流束。注：(1)流束表面沒有流體穿過；

(2)在元流斷面上，運(yùn)動(dòng)參數(shù)各點(diǎn)相同；

(3)元流的極限是流線。流束第五十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3、總流

任何一個(gè)實(shí)際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實(shí)際水流稱為總流(totalflow

)?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o限多個(gè)微小流束所組成。第五十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日4、過流斷面(crosssection)

與微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過流斷面。該面積dA或A稱為過流面積，單位m2。注意：過流斷面可為平面也可為曲面。

判斷：均勻流過流斷面是一平面，漸變流過流斷面近似平面。(對)第五十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日五、流量與斷面平均流速

1、流量(discharge)

單位時(shí)間內(nèi)通過某一過流斷面的流體體積(質(zhì)量)稱為流量。流量常用的單位為米３／秒（m3/s）、千克／秒（kg/s）

，符號Ｑ表示。通常所說的流量一般指體積流量，用qv表示。質(zhì)量流量用qm表示。對于均質(zhì)不可壓縮流體，密度ρ為常數(shù)，則質(zhì)量流量為：第六十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日斷面平均流速由于總流過流斷面的流速分布很難確定，為了使問題的研究簡化，根據(jù)積分中值定理引入一個(gè)假想的物理量稱為斷面平均流速

v第六十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、斷面平均流速

過流斷面各點(diǎn)速度的斷面平均值ν，是一個(gè)想象的流速，如果過流斷面上各點(diǎn)的流速都相等并等于ν，此時(shí)所通過的流量與實(shí)際上流速為不均勻分布時(shí)所通過的流量相等，則流速ν就稱為斷面平均流速。

由此可見，通過過流斷面的流量等于斷面平均流速與過流斷面面積的乘積，也即過流斷面上各點(diǎn)均以同一平均流速運(yùn)動(dòng)。引入斷面平均流速的概念，可以使流體運(yùn)動(dòng)的分析得到簡化。第六十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日六、均勻流與非均勻流、漸變流1、均勻流

均勻流：當(dāng)流體的流線為相互平行的直線時(shí)，該流體稱為均勻流。

均勻流具有以下特性：

1)均勻流的過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變。

2)均勻流中，同一流線上不同點(diǎn)的流速應(yīng)相等，從而各過流斷面上的流速分布相同，斷面平均流速相等。

3)均勻流過流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過流斷面上各點(diǎn)測壓管水頭為一常數(shù)。

第六十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、非均勻流

若流體的流線不是相互平行的直線該流體稱為非均勻流按照流線不平行和彎曲的程度，分為漸變流、急變流兩種類型：

1)漸變流

當(dāng)流體的流線雖然不是相互平行直線，但幾乎近于平行直線時(shí)稱為漸變流(緩變流)(graduallyvariedflow)。漸變流的極限情況就是均勻流。

2)急變流

若流體的流線之間夾角很大或者流線的曲率半徑很小，這種流體稱為急變流。注意：漸變流動(dòng)壓強(qiáng)服從靜壓強(qiáng)分布；而急變流動(dòng)壓強(qiáng)分布特性復(fù)雜。第六十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日通常邊界近于平行直線時(shí)，流體往往是漸變流。管道轉(zhuǎn)彎、斷面突擴(kuò)或收縮，為急變流。第六十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日思考題1.“只有當(dāng)過流斷面上各點(diǎn)的實(shí)際流速均相等時(shí)，水流才是均勻流”，該說法是否正確？為什么？2.恒定流、均勻流等各有什么特點(diǎn)？

不對。均勻流是指運(yùn)動(dòng)要素沿程不發(fā)生改變，而不是針對一過流斷面。

恒定流是指各運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化而變化，

恒定流時(shí)流線跡線重合，且時(shí)變加速度等于0。

均勻流是指各運(yùn)動(dòng)要素不隨空間變化而變化，均勻流時(shí)位變加速度等于0。第六十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日§3-3流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程一、連續(xù)性微分方程在流場中取一空間微分平行六面體如圖所示。經(jīng)一微小時(shí)段dt自x流入的流體質(zhì)量為：

自x流出的流體質(zhì)量為dt時(shí)段內(nèi)在x方向流進(jìn)與流出六面體的流體質(zhì)量之差：同理CdxOxzADEFGHdyMNOdzyB第六十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

即在dt時(shí)間內(nèi)流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的變化為故經(jīng)過dt時(shí)段內(nèi)六面體內(nèi)質(zhì)量總變化為

在同一時(shí)段內(nèi)，流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的差值應(yīng)與六面體內(nèi)因密度變化所引起的總的質(zhì)量變化相等。第六十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。對不可壓縮流體，常數(shù)，因此得連續(xù)性方程式為算一算:不可壓縮流體對下面的運(yùn)動(dòng)是否滿足連續(xù)性條件？

(1)(2)(3)不連續(xù)連續(xù)連續(xù)第六十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例1

有二種的二元液流，其流速可表示為：(1)ux=-2y,uy=3x；(2)ux=0,uy=3xy。試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？解：（1）

符合不可壓縮流的連續(xù)性方程，所以是不可壓縮流。（2）不符合不可壓縮流的連續(xù)性方程，所以不是不可壓縮流。第七十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例2

已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度u在x、y兩個(gè)軸方向的分量為ux=2x2+y，uy=2y2+z且z=0處，有uz=0。試求z軸方向的速度分量uz。解對不可壓縮流體連續(xù)性方程為將已知條件代入上式，有4x+4y+=0

即

積分可得uz=-4(x+y)z+f(x,y)

又由已知條件對任何x、y，當(dāng)z=0時(shí)，uz=0。故有

f(x,y)=0

因此uz=-4(x+y)z第七十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的一種特殊方式。取恒定流中微小流束，因流體為不可壓縮的連續(xù)介質(zhì),有根據(jù)質(zhì)量守恒定律在dt時(shí)段內(nèi)流入的質(zhì)量應(yīng)與流出的質(zhì)量相等。二、恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程

第七十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

不可壓縮流體恒定元流的連續(xù)性方程對總流過流斷面積分得上式即為恒定總流的連續(xù)性方程。上式表明在不可壓縮流體恒定總流中，任意兩個(gè)過流斷面平均流速的大小與過流斷面面積成反比，斷面大的地方流速小，斷面小的地方流速大。

連續(xù)性方程總結(jié)和反映了總流的過流斷面面積與斷面平均流速沿程變化的規(guī)律。

適用范圍：固定邊界內(nèi)的不可壓縮流體第七十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日分叉流的總流連續(xù)性方程或：qv1=qv2+qv3

問題：變直徑管的直徑d1=320mm，d2=160mm，流速v1=1.5m/s，v2為：

A.3m/s

B.4m/s

D.9m/s

C.6m/s第七十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日§3-4理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程及其積分理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的特性

第一，理想流體的動(dòng)壓總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。第二，在理想流體中，任何點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)在各方向上的大小均相等。第七十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日一、理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程－歐拉方程

流體平衡微分方程式是表征流體處于平衡狀態(tài)時(shí)作用于流體上各種力之間的關(guān)系式。在運(yùn)動(dòng)著的理想流體中任取一微分平行六面體，作用于六面體的力有表面力與質(zhì)量力。左表面動(dòng)壓強(qiáng)右表面動(dòng)壓強(qiáng)第七十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

假設(shè)單位質(zhì)量的質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的投影為，故所有作用于六面體上的力在x軸上的投影的代數(shù)和應(yīng)等于六面體的質(zhì)量與加速度在x方向的投影之積。有：化簡之得