晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)

晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)1第一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日二、晶體振動(dòng)的分類(根據(jù)振動(dòng)的劇烈程度分類)1.晶格振動(dòng)原子在平衡位置附近的微振動(dòng)。2.空位或間隙原子少數(shù)原子脫離其格點(diǎn)的振動(dòng)。3.熔解溫度相當(dāng)高，整個(gè)晶體瓦解，即長程序解體。三、晶格振動(dòng)的特點(diǎn)1.當(dāng)原子間相互作用微弱時(shí)，原子的振動(dòng)可近似為相互獨(dú)立的簡諧振動(dòng)。2.由于晶體的周期性，振動(dòng)模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。2第二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.可以用一系列獨(dú)立的簡諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式。簡諧振子的能量用能量量子?(稱為聲子,由愛因斯坦引入,微振動(dòng)模式的角頻率)描述。振子之間不會(huì)發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。4.如果原子間的相互作用稍強(qiáng)時(shí)，就必須考慮非簡諧效應(yīng)—聲子間發(fā)生能量的交換。5.晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等都與晶格振動(dòng)有關(guān)。3第三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日§3.1一維原子鏈的振動(dòng)

一、一維布喇菲晶格的振動(dòng)1.原子的運(yùn)動(dòng)方程(1)振動(dòng)示意圖

m為原子質(zhì)量；xn為位移。

n-2n-1n

n+1n+2第n個(gè)原子和第n+1個(gè)原子間的相對(duì)位移。4第四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)兩原子間的相互作用力U(a)：平衡時(shí)兩原子間的互作用勢能；U(a+)：產(chǎn)生相對(duì)位移后的互作用勢能。把U(a+)在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，可得：簡諧近似—振動(dòng)很微弱，勢能展式中只保留到二階項(xiàng)。5第五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日

>0間距增大

<0間距縮小f

f<0引力(r>a)f>0斥力(r<a)6第六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)只考慮近鄰原子的相互作用時(shí)的受力分析

n-1

n

n+1

7第七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(4)運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)牛頓第二定律，可得第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：共有N個(gè)類似的運(yùn)動(dòng)方程。8第八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.運(yùn)動(dòng)方程的求解及結(jié)果分析(1)方程的解振幅為A，角頻率為的簡諧振動(dòng)。其中qna表示第n個(gè)原子的振動(dòng)的位相因子。9第九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)結(jié)果分析①原子之間的振動(dòng)存在著固定的位相關(guān)系或：10第十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日②格波

描述晶格中原子振動(dòng)的、角頻率為平面波稱為格波。格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式。一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)。格波方程11第十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日不同原子間位相差:相鄰原子的位相差:格波的波長：12第十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動(dòng)頻譜)13第十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日14第十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.q的取值范圍(1)周期性

是q的周期函數(shù)，周期為2/a。15第十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)q的取值范圍

為了保證和q的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，q的取值范圍設(shè)定為：對(duì)于一維布喇菲格子，有：q的取值范圍可寫為：長度為：b。16第十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日二、一維復(fù)式晶格的振動(dòng)1.原子的運(yùn)動(dòng)方程及其解(1)振動(dòng)示意圖

M、m分別為大、小原子質(zhì)量，且M

>m。大、小原子等間距排列，原子間距為a,晶格常數(shù)為2a。大原子M排在偶數(shù)位置，小原子m排在奇數(shù)位置。如圖所示：

2n-1

2n

2n+1

2n+2

2n+3

2n+4M>m17第十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)只考慮近鄰原子的相互作用時(shí)的受力分析①m(2n+1)原子受力分析m(2n+1)原子受合力18第十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力：19第十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)運(yùn)動(dòng)方程(3)位移表達(dá)式(運(yùn)動(dòng)方程的解)①m(2n+1)運(yùn)動(dòng)方程②M(2n+2)運(yùn)動(dòng)方程20第二十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.

和q的關(guān)系

色散關(guān)系(振動(dòng)頻譜)。把位移表達(dá)式代入相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，通過整理，可以得到

和q的色散關(guān)系。(1)m(2n+1)原子:21第二十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)M(2n+2)原子方程組：22第二十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)

和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動(dòng)頻譜)此方程組中，A、B若有異于零的解，其系數(shù)行列式必須等于零。23第二十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(4)結(jié)果分析由于

和q存在兩種不同的色散關(guān)系，即存在兩種獨(dú)立的格波，所以一維復(fù)式晶格中存在則兩種不同的格波，分別有著各自的色散關(guān)系。24第二十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.2的周期性

由于是q的周期函數(shù)，為了保證和q的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把q的取值范圍定在：即：25第二十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日26第二十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.1和2簡析(1)1極小值與極大值27第二十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)2極小值與極大值28第二十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)結(jié)論光學(xué)波聲學(xué)波29第二十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日①聲學(xué)波

1支格波可以用聲波來激發(fā)，稱為聲頻支格波。簡稱聲學(xué)波。②光學(xué)波

2支格波可以用光波來激發(fā)，稱為光頻支格波。簡稱光學(xué)波。(光學(xué)波也可以用超聲波激發(fā))光學(xué)波聲學(xué)波30第三十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日三、聲學(xué)波和光學(xué)波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲學(xué)波的關(guān)系(1)和q的關(guān)系31第三十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日32第三十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)結(jié)論①一維復(fù)式格子中的聲學(xué)波和一維布喇菲格子中的聲學(xué)波在形式上是相同的。具有相似的波形；②一維布喇菲晶格中只有聲學(xué)波,沒有光學(xué)波。晶格常數(shù):2a晶格常數(shù):a33第三十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.聲學(xué)波的物理意義(1)聲學(xué)波中，相鄰兩原子(M和m)的振動(dòng)情況一般情況下有：34第三十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論

相鄰原子是沿著同一方向振動(dòng)的。當(dāng)波長很長時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上是代表原子質(zhì)心的振動(dòng)。聲學(xué)波描述的是晶體中不同原胞之間的振動(dòng)情況。35第三十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)兩種特殊振動(dòng)36第三十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日37第三十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.光學(xué)波的物理意義(1)光學(xué)波中，相鄰兩原子(M和m)的振動(dòng)情況38第三十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論

相鄰兩種不同的原子振動(dòng)的方向是相反的。當(dāng)波長很長時(shí)，原胞質(zhì)心保持不動(dòng)。光學(xué)波描述的是同一原胞中各原子之間的相對(duì)振動(dòng)情況。39第三十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)兩種特殊振動(dòng)40第四十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日41第四十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日四、周期性邊界條件(波恩-卡門邊界條件)

1.波恩-卡門周期性邊界條件對(duì)于有限的(N個(gè)原子組成)原子鏈，晶體兩端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。123n-1n

n+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即運(yùn)動(dòng)方程①n號(hào)原子：n42第四十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日②1號(hào)原子③N號(hào)原子——同理可得：④結(jié)論由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，1號(hào)原子和N號(hào)原子運(yùn)動(dòng)方程的差異將會(huì)使方程組的求解十分復(fù)雜，為了解決這一問題，波恩-卡門提出了如下的模型——波恩-卡門邊界條件。43第四十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)波恩-卡門邊界條件

假設(shè)對(duì)于給定的有限長為Na(a為晶格常數(shù)，N為原子個(gè)數(shù))的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個(gè)和該晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)狀況是一樣的，即第j(j=1,2,…N)個(gè)原子和第tN+j(t=1,2,…)個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況是一樣的。由于相互作用是短程的，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j44第四十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用1號(hào)原子應(yīng)和N+1號(hào)原子的振動(dòng)完全相同。即：

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j45第四十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日46第四十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用設(shè)晶體有N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞中含有兩個(gè)不同的原子。由周期性邊界條件可得：(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即：47第四十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日48第四十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.原胞數(shù)N和波矢q、角頻率的關(guān)系(1)不管是布喇菲格子還是復(fù)式格子，波矢q數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目N。(2)對(duì)于一維布喇菲格子，每個(gè)波矢q對(duì)應(yīng)于一個(gè)角頻率?？偟慕穷l率個(gè)數(shù)為N個(gè)。(3)對(duì)于一維復(fù)式格子，每個(gè)波矢q對(duì)應(yīng)于n(n每個(gè)原胞中包含的原子數(shù))個(gè)角頻率

?？偟慕穷l率個(gè)數(shù)為nN個(gè)。結(jié)論(1)晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)；(2)晶格振動(dòng)頻率的數(shù)目=晶體自由度數(shù)。49第四十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日5.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系晶體有N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞中含有n個(gè)原子。(1)波矢q數(shù)目——N。(晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目——3nN。(3)晶體頻率數(shù)目——3nN。(4)格波數(shù)目——3nN。(5)格波支數(shù)——3n支。每只對(duì)應(yīng)N個(gè)。(6)聲學(xué)波支數(shù)——3支。共有3N個(gè)。(7)光學(xué)波支數(shù)——(3n-3)支，共有(3n-3)N個(gè)

。

50第五十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日例題分別由N個(gè)原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中，聲學(xué)波、光學(xué)波的分布情況。鋁晶體：鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，是布拉菲格子，因此格波中只有3支聲學(xué)波，而沒有光學(xué)波。聲學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。金剛石：金剛石是面心立方結(jié)構(gòu)，但是復(fù)式格子，n=2，格波支數(shù)共有3n支＝6支，其中聲學(xué)波3支，聲學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。光學(xué)波(3n-3)=3支,光學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。51第五十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日6.波恩-卡門邊界條件的其它表述形式

N個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)。N很大，原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)處理問題時(shí)要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性52第五十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日53第五十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)第n個(gè)原子的位移為再增加N個(gè)原子之后，第N+n個(gè)原子的位移為則有：要求：波矢的取值范圍l為整數(shù)l—N個(gè)整數(shù)值，q—N個(gè)分立的值。54第五十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(1)第一布里淵區(qū)包含N個(gè)狀態(tài);(2)每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度(3第一布里淵區(qū)的線度(4)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)7.第一布里淵區(qū)55第五十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日8.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子56第五十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍57第五十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個(gè)狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一維晶體布里淵區(qū)劃分58第五十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？例題一維復(fù)式格子中，如果計(jì)算：(1)光學(xué)波頻率的最大值和最小值，聲學(xué)波頻率的最大值；(2)相應(yīng)聲子的能量,和；59第五十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(1)聲學(xué)波的最大頻率光學(xué)波的最大頻率光學(xué)波的最小頻率60第六十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)相應(yīng)聲子的能量(4)如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？對(duì)應(yīng)電磁波的能量和波長要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段。61第六十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日§3.2晶格振動(dòng)的量子化聲子1.格波

描述晶格振動(dòng)的波。對(duì)于微弱的晶格振動(dòng)，在簡諧近似的情況下，格波可以看成簡諧波。每個(gè)格波都是一個(gè)獨(dú)立的模式?？梢杂锚?dú)立簡諧振子來描述格波的獨(dú)立模式。2.聲子(?)簡諧振子的能量量子。聲子具有能量、動(dòng)量。聲子不是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的“準(zhǔn)粒子”。晶格振動(dòng)的能量是以?為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。聲子可與電子或光子發(fā)生作用。62第六十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日一、一維布喇菲晶格振動(dòng)時(shí)能量的計(jì)算1.位移xn(t)的計(jì)算(1)位移xn(t)是對(duì)所有狀態(tài)的求和

由于周期性邊界條件使波矢q只能取分離的不同值。而一個(gè)q對(duì)應(yīng)于一個(gè)獨(dú)立的模式，所以，每一個(gè)原子的振動(dòng)是這些獨(dú)立模式的疊加。振幅A和q有關(guān)，xn(t)可表示為:63第六十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日其中：q可以取N個(gè)值由于周期性，對(duì)于

l從(-N/2)+1到N/2求和，相當(dāng)于對(duì)l從0到N-1求和。64第六十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日該式為一等比數(shù)列。65第六十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日③結(jié)論66第六十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日④同理可證如果按狀態(tài)(波矢q)求和，只要看一個(gè)格點(diǎn)即可。每個(gè)格點(diǎn)的狀態(tài)數(shù)為N。即原胞數(shù)。67第六十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日如果按格點(diǎn)求和，只要看一個(gè)狀態(tài)即可。格點(diǎn)數(shù)為N。即原胞數(shù)。2.xn(t)的正則坐標(biāo)表示方法68第六十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(1)本征矢(2)本征矢組成的新坐標(biāo)系中位移表示式xn(t)在狀態(tài)空間的傅里葉展開式wq(t)位移分量69第六十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日70第七十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日71第七十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(5)xn(t)的正則坐標(biāo)表示方法Qq(t)—正則坐標(biāo)或稱為簡正坐標(biāo)。72第七十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.能量計(jì)算(1)勢能xn可以看成是N個(gè)獨(dú)立振動(dòng)的疊加。73第七十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日先對(duì)n求和，再對(duì)q,q’求和。74第七十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)椋?5第七十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)動(dòng)能76第七十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)總能量其中，每個(gè)單項(xiàng)代表一個(gè)諧振子的能量。共包括N項(xiàng)，總的能量是N個(gè)獨(dú)立的諧振子能量之和。77第七十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日二、晶格振動(dòng)的總能量1.三維晶格振動(dòng)的總能量1.聲子(1)聲子

?i(q):

晶格振動(dòng)能量量子，稱為聲子。聲子不是真實(shí)的粒子,只是一種準(zhǔn)粒子。具有能量?i(q),動(dòng)量78第七十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)聲子和晶體的相互作用格波在晶體中傳播受到散射可以看成聲子和晶體中的原子、電子發(fā)生碰撞。(4)聲子和其它粒子的相互作用電子、中子、光子與晶格的相互作用都可用這些粒子與晶體中聲子的相互作用來描述。它們吸收或產(chǎn)生聲子改變粒子本身的能量和動(dòng)量。(2)聲子的分布聲子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計(jì)分布。在溫度T處于熱平衡晶格中，聲子?i(q)的平均數(shù)目為：79第七十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系晶體有N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞中含有n個(gè)原子。(1)波矢q數(shù)目——N。(晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目——3nN。(3)晶體頻率數(shù)目——3nN。(4)格波數(shù)目——3nN。(5)格波支數(shù)——3n支。每只對(duì)應(yīng)N個(gè)。(6)聲學(xué)波支數(shù)——3支。共有3N個(gè)。(7)光學(xué)波支數(shù)——(3n-3)支，共有(3n-3)N個(gè)

。

80第八十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日例題分別由N個(gè)原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中，聲學(xué)波、光學(xué)波的分布情況。鋁晶體：鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，是布拉菲格子，因此格波中只有3支聲學(xué)波，而沒有光學(xué)波。聲學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。金剛石：金剛石是面心立方結(jié)構(gòu)，但是復(fù)式格子，n=2，格波支數(shù)共有3n支＝6支，其中聲學(xué)波3支，聲學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。光學(xué)波(3n-3)=3支,光學(xué)波的個(gè)數(shù)為3N個(gè)。81第八十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子82第八十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍83第八十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個(gè)狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一維晶體布里淵區(qū)劃分84第八十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日§3.3長波近似

一、長聲學(xué)波85第八十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日86第八十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.長聲學(xué)波波速vp的計(jì)算

當(dāng)波長很長時(shí)，q很小。87第八十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日88第八十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.物理意義相鄰原胞中原子振動(dòng)的位相差趨于零，而且振幅也趨于相等。4.原因這是由于長聲學(xué)波的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原胞的線度，在半個(gè)波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同一方向運(yùn)動(dòng)。因此整個(gè)晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學(xué)波也就可以近似地被認(rèn)為是彈性波。89第八十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計(jì)算1.受力分析90第九十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動(dòng)方程為：91第九十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.運(yùn)動(dòng)方程的解及結(jié)果分析(1)運(yùn)動(dòng)方程的解

(2)彈性波波速(相速度)把運(yùn)動(dòng)方程的解代入運(yùn)動(dòng)方程可得：92第九十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.一維復(fù)式格子波速的計(jì)算由m+1原子的位移而引起的對(duì)第m各原子的恢復(fù)力還可以表示為：93第九十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日三、長光學(xué)波1.長光學(xué)波振動(dòng)的特點(diǎn)光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對(duì)地作振動(dòng)。波長>>a(原胞的線度)時(shí)，聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動(dòng);光學(xué)波表示原胞中原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)，相鄰原子做反位相振動(dòng)。對(duì)于正負(fù)離子組成的晶體，長光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化。94第九十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日95第九十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.長光學(xué)波(1)兩種正負(fù)離子組成的復(fù)式格子—立方晶體。(2)半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組成的布喇菲原胞反向位移。(3)晶體中出現(xiàn)宏觀的極化。(4)長光學(xué)波又稱為極化波。96第九十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.長光學(xué)波的宏觀方程(1)物理參量97第九十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)黃昆方程離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。準(zhǔn)彈性恢復(fù)力電場E附加的恢復(fù)力正負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生的極化電場E產(chǎn)生的附加極化98第九十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(3)黃昆方程的物理意義黃昆方程的解具有如下形式：其中q為波矢。99第九十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(4)電介質(zhì)中無自由電荷時(shí)的極化電場E只討論無旋電場WL可得：極化電場E是縱向場，它趨于減少縱向位移，增加了縱向振動(dòng)的恢復(fù)力，提高了光學(xué)波的縱向頻率L0。100第一百頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(5)電介質(zhì)中無自由電荷時(shí)的振動(dòng)方程把和代入可得：101第一百零一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(6)靜電場下晶體的介電極化

靜電場下由可得：代入可得：102第一百零二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日電場的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率(7)光頻電場(高頻)下晶體的介電極化

代入LST關(guān)系103第一百零三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.結(jié)論(2)晶體中存在長光學(xué)縱波(LO)和長光學(xué)橫波(TO)。(3)長光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學(xué)縱波伴隨有宏觀的極化電場，極化聲子→縱光學(xué)聲子。(4)長光學(xué)橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，長光學(xué)橫波聲子稱為電磁聲子(TO)，長光學(xué)橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合。104第一百零四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日§3.4固體比熱

一、經(jīng)典理論對(duì)定容比熱的描述1.比熱表達(dá)式當(dāng)溫度不太低時(shí)，電子運(yùn)動(dòng)能量的變化對(duì)比熱的貢獻(xiàn)較小(約占1%左右)，可以忽略。2.杜隆-珀替定律105第一百零五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.杜隆-珀替定律的局限性(1)杜隆-珀替定律只是在溫度比較高(300K以上)時(shí)和實(shí)驗(yàn)相符。(2)當(dāng)溫度較低時(shí)，杜隆-珀替定律和實(shí)驗(yàn)不符。定容比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。絕緣體的比熱按T3趨于零；導(dǎo)體的比熱按T趨于零。4.原因低溫時(shí)，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用晶格振動(dòng)的量子理論重新計(jì)算晶體的平均內(nèi)能。106第一百零六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日二、量子理論對(duì)定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計(jì)算(1)振子能量(量子化)

107第一百零七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)溫度為T時(shí)，頻率為的振子的平均能量根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論,第n個(gè)量子態(tài)(En=n?)在溫度T出現(xiàn)的概率為：108第一百零八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日平均能量為：(3)晶體的平均能量109第一百零九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(4)晶體平均能量的積分表示110第一百一十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.定容比熱CV的計(jì)算如果要求晶體的定容比熱，必須知道角頻率分布函數(shù)()。

()的計(jì)算有兩種用得比較廣泛的計(jì)算模型：(1)愛因斯坦模型;(2)德拜模型。111第一百一十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日三、愛因斯坦模型1.愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率E

振動(dòng)。2.晶體平均能量3.定容比熱112第一百一十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日4.用愛因斯坦溫度E表示定容比熱5.愛因斯坦溫度E的選取

采用試探法，選取合適的E，使得理論曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較好地吻合。大多數(shù)固體的E在100～300K之間。113第一百一十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0CV(J/K·mol)金剛石比熱的實(shí)驗(yàn)值和愛因斯坦模型計(jì)算值的比較E=1320K114第一百一十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日6.溫度較高時(shí)的比熱變化115第一百一十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日7.溫度較低時(shí)的比熱變化在低溫區(qū)域,隨著溫度的降低,CV比實(shí)驗(yàn)結(jié)果(T3)更快地趨于零。主要原因是愛因斯坦模型的基本假設(shè)存在不足：(1)原子之間的振動(dòng)不是獨(dú)立的，是有聯(lián)系的。(2)振動(dòng)不是一個(gè)定值。格波的頻率是不一樣的。(3)低溫時(shí)仍有聲子的激發(fā)。116第一百一十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日117第一百一十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日四、德拜模型1.德拜模型假設(shè)(1)晶體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；格波看作彈性波。(2)縱波(一個(gè))和橫波(兩個(gè)，獨(dú)立)波速相等，用vp表示；(3)波矢q連續(xù)變化。2.波矢q的分布波矢空間(q空間)是狀態(tài)空間，在波矢空間中，每一點(diǎn)(qxqyqz)所代表的是一個(gè)狀態(tài)。118第一百一十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日119第一百一十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.角頻率的分布4.比熱的計(jì)算—把上式代入比熱公式可得：120第一百二十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日121第一百二十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日把②式和③式代入①式可得：122第一百二十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日5.當(dāng)T>>D時(shí)123第一百二十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日和杜隆-珀替定律一致。124第一百二十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日6.當(dāng)T<<D時(shí)125第一百二十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日7.德拜定律和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性德拜定律和實(shí)驗(yàn)符合得非常好，主要因?yàn)椋?1)在低溫時(shí)，長波的激發(fā)時(shí)主要的。而對(duì)于長波晶格可以當(dāng)成連續(xù)的介質(zhì)。即溫度越低，德拜模型越接近實(shí)際情況。(2)德拜模型假設(shè)條件和實(shí)際相符合。主要適用于絕對(duì)溫度幾度以下的極低溫度范圍。126第一百二十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日0100200300CV/CV∞鋁比熱的實(shí)驗(yàn)值和德拜模型計(jì)算值的比較

D=396K1.00.80.60.40.2127第一百二十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日8.D的計(jì)算(1)利用vp求D；一維復(fù)式格子波速的計(jì)算128第一百二十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日129第一百二十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)利用比熱實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求D。晶體T(K)D(由比熱求得)D(由彈性系數(shù)求得)NaCl10308320KCl3230246Ag4225216Zn4308305幾種晶體的D的計(jì)算值130第一百三十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日9.D和溫度T的關(guān)系(NaCl晶體)020406080100

T(K)320300280260D(T)實(shí)線—實(shí)驗(yàn)值點(diǎn)子—計(jì)算值131第一百三十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值存在差別的原因—德拜模型中的連續(xù)近似和實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)有差別。132第一百三十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日00.40.81.21.618161284簡立方晶格的頻譜(KCl)()d×103133第一百三十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日簡立方(KCl)晶格的D～T曲線020406080100

T(K)150140130120110D(T)實(shí)線—實(shí)驗(yàn)值點(diǎn)子—計(jì)算值134第一百三十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日§3.5非簡諧效應(yīng)

一、非簡諧效應(yīng)1.簡諧效應(yīng)當(dāng)原子間相互作用微弱時(shí)，原子的振動(dòng)可近似為相互獨(dú)立的簡諧振動(dòng)。即原子所受的恢復(fù)力和其位移成正比，忽略了勢能表示式中3以上的高次項(xiàng)。可以用一系列獨(dú)立的簡諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式。振子之間不會(huì)發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。135第一百三十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日2.非簡諧效應(yīng)如果考慮勢能表示式中3以上的高次項(xiàng)，晶格的原子的振動(dòng)就不能用一系列獨(dú)立的線性諧振子描述，此時(shí)的線性諧振子之間有相互作用，即聲子與聲子之間將相互交換能量，某種頻率的聲子可以轉(zhuǎn)換為另一頻率的聲子，即聲子可以產(chǎn)生，也可以湮滅。通過聲子之間的相互作用，當(dāng)聲子的分布達(dá)到熱平衡后，晶格振動(dòng)也就達(dá)到了熱平衡。136第一百三十六頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.聲子碰撞兩個(gè)聲子通過非簡諧項(xiàng)的作用，而產(chǎn)生第三個(gè)聲子的過程稱為聲子碰撞。4.聲子碰撞遵守的定律聲子間的碰撞遵守能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律。設(shè)兩個(gè)聲子的頻率和波矢分別為1、q1和2、q2;第三個(gè)聲子的頻率和波矢為3、q3。則有：137第一百三十七頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日5.聲子碰撞的類型(1)正常過程(Normalprocesses)滿足下式的碰撞過程稱為正常過程，簡稱N過程。聲子吸收聲子發(fā)射第一布里淵區(qū)138第一百三十八頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于正常過程：正常過程(N過程)碰撞前后聲子的總能量和總動(dòng)量沒有發(fā)生改變，只是把兩個(gè)聲子的能量和動(dòng)量傳遞給第三個(gè)聲子，凈的熱能流并不因碰撞而減少，熱能流的方向也不因碰撞而偏轉(zhuǎn)。如果聲子的碰撞都是N過程，晶體的熱導(dǎo)率將會(huì)是無窮大。139第一百三十九頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)倒逆過程(Umklappprocesses)滿足下式的碰撞過程稱為倒逆過程，簡稱U過程。聲子吸收聲子發(fā)射第一布里淵區(qū)140第一百四十頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于倒逆過程：倒逆過程(U過程)碰撞前后聲子的準(zhǔn)確動(dòng)量不守恒。它表一種大角度散射，聲子運(yùn)動(dòng)的方向有了很大的改變，從而改變了熱流的方向。U過程對(duì)熱阻由貢獻(xiàn)。141第一百四十一頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日固體中存在溫度梯度時(shí)，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，溫度較高的區(qū)域?qū)⒂挟a(chǎn)生較多的振動(dòng)模式和具有較大的振動(dòng)幅度，即有較多的聲子被激發(fā)，“聲子”密度高，這些聲子通過和晶體中其它聲子發(fā)生碰撞，總使得溫度較低的區(qū)域具有同樣的“聲子”密度，因而“聲子”在無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)—聲子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的熱量從晶體較高溫度區(qū)域傳到溫度較低區(qū)域。二、熱傳導(dǎo)142第一百四十二頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日1.能流密度單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量。2.溫度差和溫度梯度的關(guān)系143第一百四十三頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日3.單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的熱量144第一百四十四頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日145第一百四十五頁，共一百五十五頁，編輯于2023年，星期日T=273KT=77KT=20K熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)硅1504.3×10-815002.7×10-642004.1×10-4鍺703