2024屆高考數(shù)學(xué)專題30 高爾頓板問題（解析版）

專題30高爾頓板問題例1．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃∏驈纳戏降耐ǖ揽诼湎潞螅瑢⑴c層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi)，若小球下落過程中向左、向右落下的機會均等，則小球最終落入④號球槽的概率為A． B． C． D．【解析】解：設(shè)小球最終落入④號球槽為事件，小球落下要經(jīng)過5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，并且相互獨立，最終落入④號球槽是兩次向左，三次向右，小球最終落入④號球槽的概率為：（A）．故選：．例2．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi)．若小球下落過程中向左、向右落下的機會均等，則小球最終落入⑥號球檔的概率為A． B． C． D．【解析】解：小球落下要經(jīng)過5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，并且相對獨立，小球最終落入⑥號球檔是五次均向右，設(shè)這個小球最終落入⑥號球檔為事件，則小球最終落入⑥號球檔的概率：（A）．故選：．例3．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi)．若小球下落過程中向左、向右落下的機會均等，則小球最終落③號球槽的概率為A． B． C． D．【解析】解：由題可知：小球落入③號球槽有種情況，小球落入下方球槽共有，小球最終落③號球槽的概率為．故選：．例4．如圖是高爾頓板的改造裝置，當(dāng)小球從自由下落時，進入槽口處的概率為A． B． C． D．【解析】解：小球從自由下落時，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，到達點的概率為，故選：．例5．如圖，高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計的用來研究隨機現(xiàn)象的模型，它是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行，水平間隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄瑥娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘，如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球，那么，小球落入1號容器的概率是，若取4個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是．【解析】解：①小球落入1號容器的概率．②小球落入4號容器的概率．取4個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為，則則的數(shù)學(xué)期望．故答案為：，1．例6．高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左向右滾下，最后掉入編號為1，2，，7的球槽內(nèi)．某高三同學(xué)試驗1000次，掉入各球槽的個數(shù)統(tǒng)計如下：球槽1234567頻率0.0150.0950.2340.2340.0920.017規(guī)定小球掉入2，4，6號球槽中的任何一個即為中獎，其余不中獎．（1）分別求，，的值．（2）假設(shè)中獎的概率為，現(xiàn)有5位同學(xué)依次參加這個高爾頓板游戲，每人玩一次，求中獎不連續(xù)發(fā)生的概率．【解析】解（1），，．（2）中獎的概率為，中獎與不中獎等可能，中獎用1表示，不中獎用0表示．畫樹狀圖．（總的基本事件為，沒有畫的表示中獎不連續(xù)發(fā)生）記中獎不連續(xù)發(fā)生為事件，其基本事件有13個．故．例7．高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過7次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號球槽，則在前6次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下．（Ⅰ）若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；（Ⅱ）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元．其中求的分布列：高爾頓板游戲火爆進行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？【解析】解：（1）記小球落入記小球落入第7層第6個空隙處的事件為，小球落入第7層第6個空隙處，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，這個小球落入第7層第6個空隙處的概率．（2）由已知得的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，，，，，的分布列為：1234567，的可能取值為0，5，10，15，，，，．，小明同學(xué)能盈利．例8．高爾頓（釘板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒耄畯娜肟谔幏湃胍粋€直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘．如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．（1）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？（2）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個小球進行試驗，設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】解：（1）記“小球落入4號容器”為事件，若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左．理論上，小球落入4號容器的概率是．（3分）（2）落入4號容器的小球個數(shù)的可能取值為0，1，2，3．，，，，的分布列為：0123（7分）．（9分）故落入4號容器的小球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．（10分）例9．高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下．（1）若進行一次高爾頓板試驗，這個小球掉入2號球槽的概率；（2）某高三同學(xué)在研究了高爾頓板后，制作了一個如圖所示的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元，其中．高爾頓板游戲火爆進