概率課件第講

第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)下面先通過一個例子來說明什么是假設(shè)檢驗(yàn)以及如何進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

例1

某餐廳每天的營業(yè)額服從正態(tài)分布，按照以往的老菜單營業(yè)，營業(yè)額的均值為8000，標(biāo)準(zhǔn)差為640。目前，該餐廳試用一新菜單。經(jīng)過九天的運(yùn)營，發(fā)現(xiàn)平均每天的營業(yè)額為8300，經(jīng)理想知道這個差別是否是由于新菜單而引起的。（假定按照新菜單營業(yè)，營業(yè)額的標(biāo)準(zhǔn)差依然為640）。假設(shè)按照新菜單營業(yè)，營業(yè)額

X~N(,

2)X1,…,X9為九天的營業(yè)額，即來自總體

X的樣本第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)檢驗(yàn)的做法分以下幾步來敘述（1）建立假設(shè)——即提出一個關(guān)于總體分布的命題如：按照新老菜單運(yùn)營，平均營業(yè)額沒有差別——記該命題為H0當(dāng)我們能確認(rèn)H0為假時，這時我們面臨如下三個命題的選擇第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六按照新菜單運(yùn)營的平均營業(yè)額比按照老菜單運(yùn)營的平均營業(yè)額高按照新菜單運(yùn)營的平均營業(yè)額比按照老菜單運(yùn)營的平均營業(yè)額低按照新老菜單運(yùn)營的平均營業(yè)額有顯著差別我們從中選擇一個命題作為拋棄H0

后可供選擇的命題，記為H1第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六在該例中，我們采用并如下表示兩個命題H0：=0=8000H1：0=8000（2）尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量——假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)是判斷H0是否為真。

我們的做法是：先假定H0為成立，然后用樣本去判斷其真?zhèn)巍?/p>

由于樣本所含信息較分散，因此需要構(gòu)造一個統(tǒng)計(jì)量T(X1,…,X9)來做判斷，稱該統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六檢驗(yàn)法則:當(dāng)

T(x1,…,x9)

C時拒絕H0，否則接受H0令W={(x1,…,x9):T(x1,…,x9)

C}稱其為檢驗(yàn)的拒絕域，它的邊界點(diǎn)稱為檢驗(yàn)的臨界點(diǎn)令A(yù)={(x1,…,x9):T(x1,…,x9)

C}稱其為檢驗(yàn)的接受域第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六（3）顯著水平與臨界值

由于作出決策的依據(jù)是一個樣本，當(dāng)實(shí)際

H0為真時仍有可能作出拒絕H0的判斷，這是一種錯誤。我們無法排除犯這類錯誤的可能性，因此自然希望將犯這類錯誤的概率控制在一定的限度內(nèi)，即給出一個較小的數(shù)（0<<1），使P(拒絕H0|

H0為真

)稱為檢驗(yàn)的顯著水平根據(jù)上式確定檢驗(yàn)的臨界點(diǎn)第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)檢驗(yàn)中的基本概念（1）假設(shè)：關(guān)于總體分布的某個命題（2）原假設(shè)：把需要檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)，記為H0（3）備擇假設(shè)：在拒絕原假設(shè)后，可供選擇的一個命題稱為備擇假設(shè)，它可以是原假設(shè)對立面的全體，或其中的一部分，記為H1第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：用于判斷原假設(shè)成立與否的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。（5）拒絕域：使原假設(shè)H0被拒絕的樣本觀測值所組成的區(qū)域稱為檢驗(yàn)的拒絕域

接受域：保留原假設(shè)H0的樣本觀測值所組成的區(qū)域稱為檢驗(yàn)的接受域（6）顯著水平：控制P(拒絕H0|

H0為真

)

中的

稱為檢驗(yàn)的顯著水平第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六兩類錯誤第一類錯誤：原假設(shè)H0為真，但由于樣本的隨機(jī)性使樣本觀測值落入拒絕域，從而作出拒絕H0的結(jié)論這類錯誤稱第一類錯誤，它發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率，也稱為“拒真概率”。第二類錯誤：原假設(shè)H0為假，但由于樣本的隨機(jī)性使樣本觀測值落入接受域，從而作出保留H0的結(jié)論這類錯誤稱第二類錯誤，它發(fā)生的概率稱為犯第二類錯誤的概率，也稱為“取偽概率”。第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

在一般情形，當(dāng)樣本容量固定時，減小一類錯誤概率會導(dǎo)致另一類錯誤概率的增加.

要同時降低兩類錯誤的概率，或者要在第一類的錯誤概率不變的條件下降低第二類的錯誤概率，需要增加樣本容量.第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

一般來說，我們總是控制犯第一類錯誤的概率，使它不大于。再在這一限制下使第二類的錯誤發(fā)生的概率盡可能地小

——控制第一類錯誤的原則第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)檢驗(yàn)問題的類型參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn)總體均值、均值差的檢驗(yàn)總體方差、方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)符號檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

一、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本1.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2已知第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六拒絕域?yàn)?/p>

控制第一類錯誤，即此時需要尋找的一個與未知參數(shù)無關(guān)的一個單調(diào)函數(shù)，其分布是已知的。又因?yàn)楫?dāng)H0成立時,X1,…,Xn~N(0，2)，因此第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六按照控制第一類錯誤的原則，有~N(0,1)由此第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六拒絕域?yàn)椴楸韚/2,計(jì)算若其大于u/2，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)。第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

例2生產(chǎn)流水線上的袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布N(,0.0152).按規(guī)定袋裝糖果的重量的均值應(yīng)為0.5（克）。一批袋裝糖果出廠前進(jìn)行抽樣檢查，抽查了9袋，重量分別為：0.4970.5060.5180.4980.5110.5200.5150.512問這一批袋裝糖果是否合格？(顯著水平=0.05）第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六H0成立時檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為~N(0,1)H0：

=0=0.5

H1：≠0=0.5拒絕域?yàn)椴楸淼胾0.025=1.96,計(jì)算得解：拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批袋裝糖果不合格第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：（1）、根據(jù)問題要求提出假設(shè)，原假設(shè)H0、備擇假設(shè)H1(2)、寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)、寫出拒絕域(4)、由樣本值算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，看其是否在拒絕域中(5)、做出判斷，是否接受原假設(shè)第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六2.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2未知2未知因此不能用來確定拒絕域但是S2是

2的無偏估計(jì)，且~t(n-1)第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六按照控制第一類錯誤的原則，有~t(n-1)由此第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六拒絕域?yàn)椴楸韙/2(n-1),計(jì)算若其大于t/2(n-1)

，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)。第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

例3

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布N(,2)

，2未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?解：提出假設(shè)第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)H0成立時,X1,…,X6~N(0，2)，因此拒絕域?yàn)榈诙?，共五十一頁，編輯?023年，星期六對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值將樣本值代入算出=2.997<4.0322沒有落入拒絕域故不能拒絕H0.第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

前面一例的檢驗(yàn)，拒絕域取在兩側(cè)，稱為雙側(cè)檢驗(yàn).下面看關(guān)于均值的單側(cè)檢驗(yàn).3.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2已知第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六的一個點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，根據(jù)備擇假設(shè)確定拒絕域的形式控制第一類錯誤，即當(dāng)H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)。又因?yàn)榈诙彭摚参迨豁?，編輯?023年，星期六且第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六查表得u,

計(jì)算若其大于u，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)。所以拒絕域?yàn)榈谌豁?，共五十一頁，編輯?023年，星期六例4

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值

=21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得

=21.55公斤.假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布N(,2)

，且已知

=1.2公斤，問在顯著性水平

=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力是否有提高?解:

當(dāng)H0成立時，X1,…,X30~N(，2)。又因?yàn)榈谌?，共五十一頁，編輯?023年，星期六拒絕域?yàn)椴楸淼茫瑄=2.33,由樣本值計(jì)算故拒絕原假設(shè)H0.落入拒絕域第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六4.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2未知5.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2已知第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六的一個點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，根據(jù)備擇假設(shè)確定拒絕域的形式控制第一類錯誤，即當(dāng)H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)。又因?yàn)榈谌屙?，共五十一頁，編輯?023年，星期六所以拒絕域?yàn)榍业谌?，共五十一頁，編輯?023年，星期六查表得u,

計(jì)算若其小于-u，拒絕原假設(shè)。否則，接受原假設(shè)。第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六6.關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)，2未知7.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六2

的一個點(diǎn)估計(jì)出發(fā)，根據(jù)備擇假設(shè)確定拒絕域的形式控制第一類錯誤，即第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)H0成立時，X1,…,Xn~N(，2)，因此此時需要尋找的一個與未知參數(shù)無關(guān)的一個單調(diào)函數(shù)，其分布是已知的。又因?yàn)榘凑湛刂频谝活愬e誤的原則，有第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六為了計(jì)算方便，習(xí)慣上取第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六因此有拒絕域?yàn)榈谒氖?，共五十一頁，編輯?023年，星期六9.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，已知10.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六11.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，已知12.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，未知13.關(guān)于方差的假設(shè)檢驗(yàn)，已知第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

二、兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X~，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，樣本均值為，樣本方差為X與Y獨(dú)立。，Y1,Y2,…,Ym為來自總

設(shè)總體Y~體Y的樣本，樣本均值為，樣本方差為第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六1.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，，已知2.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，=未知3.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，，已知第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六4.關(guān)于均值差的假設(shè)檢驗(yàn)，