電動力學(xué) 第三章 靜磁場

電動力學(xué)第三章靜磁場第一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一§1矢勢及其微分方程§1.1

矢勢靜磁場：靜磁場是有旋度，無散度場，不能引入標(biāo)勢描寫，但能引入另一矢量描述：矢勢。一、矢勢（矢量磁位）定義比較和得：矢量恒等式

第二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一定義：

磁感應(yīng)強(qiáng)度

是矢勢

的旋度，矢勢是輔助量?。?）二、矢勢的物理意義通過面S的磁通量：（2）第三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一式(2)表明：通過面S的磁通量等于矢勢沿閉合線C的線積分！可用矢勢的線積分求磁通量。三、矢勢的散度規(guī)定第四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一因?yàn)?/p>

僅僅規(guī)定了磁矢位的旋度！由亥姆霍茲定理知：要唯一確定矢量場，還必須規(guī)定矢量場的散度值，否則

不唯一確定！例如：任意矢勢

對靜磁場，規(guī)定矢勢的散度為：（3）

式(3)是庫侖規(guī)定(規(guī)范)?。╝）

現(xiàn)在由式(1)和式(3)唯一確定矢勢！第五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一要唯一確定矢勢

，也即唯一確定標(biāo)量函數(shù)

，還必須規(guī)定

散度值（庫侖規(guī)范!）：

是給定矢勢！是任意標(biāo)量函數(shù)！由確定磁感應(yīng)強(qiáng)度：（b）式(b)表示：給定矢勢

和任意矢勢

確定同一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度

！第六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由式(d)確定一個(gè)標(biāo)量函數(shù)

后，將代入

唯一確定矢勢

！將式(a)代入式(c)得（d）（c）第七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一使用矢量恒等式:因?yàn)椋╝）（c）將式(d)代入式(c)得（d）（b）將式(a)代入式(b)得（e）§1.2矢勢的微分方程第八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一討論：1）無電流分布的區(qū)域()，矢勢滿足拉普拉斯方程：（4）式為矢勢滿足的泊松方程?。?）由散度的規(guī)定：

（5）（f）將式(f)代入式(e)得第九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一2）在直角坐標(biāo)系中,矢勢和電流密度為式(h)的直角坐標(biāo)x,y,z分量方程為：（6）（g）將式(g)代入式(4)，得（h）x分量方程：y分量方程：z分量方程：第十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一將式(6)與靜電場的電位方程比較，可得矢勢的積分表達(dá)式：（7）（I）將式(I)代入式(g)，得矢勢的矢量形式：第十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一討論：由式（7）得面分布電流

產(chǎn)生的矢勢為

由式（7）得線分布電流產(chǎn)生的矢勢為

（8）（9）第十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一上式是畢—薩定律

矢勢方程的解為：

磁感應(yīng)強(qiáng)度為

第十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一總結(jié)：靜磁場的求解方法第一步：求解矢勢的泊松方程或拉普拉斯方程

邊值問題；或求

，得到矢勢！第二步：求得矢勢分布

后，再由

，求磁感應(yīng)強(qiáng)度

。第十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一先求矢勢分布，后求磁感應(yīng)強(qiáng)度，上面方法簡單!!！

下面用二個(gè)例子來說明靜磁場的求解方法！可知求矢勢分布比求磁感應(yīng)強(qiáng)度簡單!!！

比較與第十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一例1.教材P.79求長度為l

的載流直導(dǎo)線的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：用矢勢的疊加計(jì)算任意電流元，在場點(diǎn)的矢勢為（a）第十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)l>>z時(shí)，作近似,式(b)變?yōu)?/p>

當(dāng)l>>r時(shí)，用公式：

（c）對式(a)積分，得載流直導(dǎo)線的矢勢：（b）第十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一得：（d）將式（d）代入式（c）得長度為l的載流直導(dǎo)線的矢勢：（e）第十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一對無限長載流直導(dǎo)線，不能規(guī)定無窮遠(yuǎn)處為矢勢的零點(diǎn)，而要規(guī)定有限位置處

r0處為矢勢的零點(diǎn)！由式（e）得：（1）無限長載流直導(dǎo)線的矢勢：第十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由無限長載流直導(dǎo)線的矢勢求無限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度：將式（1）代入式（f）得：（f）第二十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一載流為I、半徑為a的圓電流位于xy平面，將圓電流稱為磁偶極子，其磁矩：求載流圓環(huán)產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)磁場。例2.教材P.80求載流圓環(huán)的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度。第二十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一利用矢勢的積分公式求解利用矢量公式：P點(diǎn)的矢勢：(c)(a)(b)將式(b)代入式(a)得:第二十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一因?yàn)橛?e)遠(yuǎn)區(qū)：(d)將式(d)代入式(c)得:(f)第二十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一(g)因?yàn)槭?g)積分是對圓面積進(jìn)行的，積分與r無關(guān)!式(g)變?yōu)椋簩⑹?f)代入式(e)得:(h)因?yàn)榈诙捻?，共一百一十三頁，編輯?023年，星期一因?yàn)槭竸萜叫衳y平面，所以在球坐標(biāo)系中，矢勢僅有

分量！由式(j)得:(I)將式(I)代入式(h)得:矢勢的直角坐標(biāo)x,y分量方程為：x分量：y分量：(j)第二十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由式(k)得矢勢：(k)(l)載流線圈磁矩第二十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由式(l)矢勢求載流圓環(huán)的遠(yuǎn)區(qū)磁場：(m)第二十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一電偶極子產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)電場：上面式(1)和式(n)表示：電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場和載流圓環(huán)(磁偶極子)的遠(yuǎn)區(qū)磁場形式相同！將式(l)代入式(m)，得載流圓環(huán)的區(qū)遠(yuǎn)磁場：（1）(n)第二十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

磁場的邊界條件：§1.3矢勢邊值關(guān)系將代入上面邊值關(guān)系(1)，得均勻非鐵磁質(zhì)的矢勢邊值關(guān)系：

將代入上面邊值關(guān)系(1)，得均勻鐵磁質(zhì)的矢勢邊值關(guān)系：

（1）（2）第二十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

（3）類似第一章§5的推導(dǎo)方法，用和庫侖規(guī)定(規(guī)范)，可得在

分界面上矢勢相等：（4）在分界面上矢勢相等、連續(xù)。邊值關(guān)系(4)可代替邊值關(guān)系

。第三十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一對非鐵磁質(zhì)，其邊值關(guān)系（2）可寫為

（6）（5）對鐵磁質(zhì)，其邊值關(guān)系（3）可寫為

第三十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一例1、

用矢勢重新計(jì)算半徑為a、載流為I的長直圓柱導(dǎo)線的磁場。解：圓柱內(nèi)外的電流密度為

r≤ar>a矢勢僅有

z分量，它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即

設(shè)導(dǎo)線內(nèi)矢勢是,導(dǎo)線外矢勢是，滿足方程：第三十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一因?yàn)?，A1必須有限！有C1=0，A1為（

r≤a

）

r≤a

r≤ar>ar>a兩次積分上面二式得：第三十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一可求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(a)由第三十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度：將式(a)代入(b)得:由磁場強(qiáng)度切向分量邊界條件知：圓柱面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等：導(dǎo)體內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度：(b)(c)將式(c)代入(a)得：第三十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一電流以分布在以S′面包圍的體積V′內(nèi)，磁場的能量:

無電流有電流：整個(gè)磁場分布體積！

(1)§1.4靜磁場的能量第三十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一再利用矢量等式磁場的能量表為將代入式(1)得：

(a)第三十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一式中,是整個(gè)磁場所在的體積，應(yīng)為無窮大，故磁場的邊界面S在無窮遠(yuǎn)處，對分布在有限區(qū)域內(nèi)的電流（當(dāng)成電流元），有因此,當(dāng)時(shí)，有

(b)將式（b）代入式(a)得：第三十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一式(2)和(3)為靜磁場能量表達(dá)式！積分在電流分布體積。

(2)將體分布電流的矢勢

代入式(2)得：

(3)第三十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一現(xiàn)在計(jì)算系統(tǒng)體分布電流

在外磁場中的相互作用能量。外磁場矢勢是，是產(chǎn)生在外磁場的體分布電流?？偟捏w分布電流是，總磁場矢勢是，總磁場能量是：其中：第一項(xiàng)是分布電流單獨(dú)存在時(shí)磁場能量，第二項(xiàng)是外磁場的體分布電流單獨(dú)存在時(shí)外磁場能量，第三項(xiàng)是系統(tǒng)與外磁場的相互作用能量。第四十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一系統(tǒng)與外磁場的相互作用能量：因?yàn)樗?/p>

(a)第四十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

(4)式(a)中兩項(xiàng)相等：

(b)將式(b)代入式(a)得是系統(tǒng)與外磁場的相互作用能量為第四十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由磁場強(qiáng)度是無旋的！類似電場，磁場強(qiáng)度可表為標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度：一、磁標(biāo)勢（標(biāo)量磁位）的定義，在無傳導(dǎo)電流(J傳導(dǎo)=0)的區(qū)域有（1）§2磁標(biāo)勢第四十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一無傳導(dǎo)電流(J傳導(dǎo)=0)的區(qū)域是：除去電流回路L為邊界的面積S的區(qū)域！第四十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一1、磁標(biāo)勢滿足的微分方程二、均勻非鐵磁介質(zhì)（μ=常數(shù)）（2）

稱為磁場的磁標(biāo)勢（標(biāo)量磁勢）！與電場中電勢對應(yīng)！負(fù)號是為了與靜電勢對應(yīng)，人為加的。因?yàn)閷⑹?b)代入式(a)得：（a）（b）第四十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一2、磁標(biāo)勢的邊界條件可用磁標(biāo)勢表示。（3）式(2)是均勻非鐵磁介質(zhì)內(nèi)無傳導(dǎo)電流分布時(shí)，磁標(biāo)勢滿足拉普拉斯方程。

磁場的邊界條件：

因?yàn)閷⑹?b)代入式(a)得：（a）（b）類似電勢第四十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一３、均勻非鐵磁質(zhì)內(nèi)無傳導(dǎo)電流時(shí)，磁場的求

解方法:第一步：求解磁標(biāo)勢拉普拉斯方程

邊值問題；第二步：求得磁標(biāo)勢分布后，再由，求磁場強(qiáng)度。求解磁場的磁標(biāo)勢和靜電場的電勢的拉普拉斯方程的邊值問題相同！?。〉谒氖唔?，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

均勻鐵磁質(zhì)內(nèi)無傳導(dǎo)電流時(shí)(J傳導(dǎo)=0)三、均勻鐵磁質(zhì)（μ≠常數(shù)）

因?yàn)椋╟）（a）（b）將式(b)代入式(a)得：1、磁標(biāo)勢滿足的微分方程第四十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一式（5）表示：均勻鐵磁質(zhì)內(nèi)無傳導(dǎo)電流時(shí)，磁標(biāo)勢滿足泊松方程。類似電場束縛電荷密度,在均勻鐵磁質(zhì)內(nèi),定義假想體磁荷密度：（4）（5）將式(4)代入式(c)得：在均勻兩種鐵磁質(zhì)分界面上，邊界條件：2、磁標(biāo)勢的邊界條件第四十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一類似電場,在分界面上,定義面磁荷密度：因?yàn)榭捎么艠?biāo)勢表示。（e）將式(e)代入式(d)得：（6）類似電勢（d）第五十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一（7）第五十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一四、靜磁場與靜電場比較

在

的區(qū)域，引入磁標(biāo)勢

，將靜電問題的求解方法應(yīng)用到靜磁場問題中！靜電場靜磁場第五十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一第五十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一例1、證明的磁性物質(zhì)表面為等磁勢面。

解：

以角標(biāo)1代表磁性物質(zhì)，2代表真空。磁場邊界條件：注意，故上式趨于0到，即，故在該磁性物質(zhì)外面，磁力線與表面垂直，因此表面為等磁勢面。

第五十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一空氣鐵磁材料θ2?

θ1H2

?H1第五十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一例2、求磁化矢量為常矢量的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場。解：在鐵球內(nèi)由于均勻磁化

,在鐵球內(nèi)沒有磁荷：因此磁荷只分布在鐵球表面上。球外、內(nèi)磁標(biāo)勢為都滿足拉普拉斯方程：

完全類似第二章靜電場球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的求解方法。第五十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一球外磁標(biāo)勢必隨距離增大而減小，因此它的展開式只含R負(fù)冪次項(xiàng)，

（1）（2）（3）球內(nèi)磁標(biāo)勢在R=0處有限，故只含R正冪次項(xiàng)：

鐵球表面磁標(biāo)勢的邊界條件為：第五十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一（4）（5）將式(1)和(2)代入上式(3)得

比較式(4)、(5)的兩邊

的系數(shù)，得

（6）第五十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一由式(6)得（7）比較式(4)、(5)的兩邊

的系數(shù)，得

（8）（9）第五十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

將式(7)、(9)代入式(1)和(2)得：由式（10）得球內(nèi)、外的磁場為

（10）磁化鐵球的磁矩為第六十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一第六十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一已知體分布電流密度，場點(diǎn)P的矢勢為

電流分布在小區(qū)域內(nèi)，場點(diǎn)P距電流區(qū)域比較遠(yuǎn)。這時(shí)將矢勢作多極展開。在區(qū)域V內(nèi)取坐標(biāo)原點(diǎn)，有（1）§3磁多極矩一、矢勢的多極展開第六十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

在點(diǎn)的泰勒展開式為：

將式（a）代入式（1）得（a）完全類似第二章靜電多極矩的方法。（2）第六十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一二、磁多極矩1、磁單極(點(diǎn)磁荷)的矢勢式(2)的第1項(xiàng)：對體分布電流（看成許多電流線圈組成）也有：由于體分布電流看成許多電流線圈組成，對每個(gè)電流線圈都有：體分布電流第六十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一上式表示：電流系統(tǒng)在遠(yuǎn)場的展開式中無磁單極(自由點(diǎn)磁荷)場，沒有與點(diǎn)電荷對應(yīng)的自由點(diǎn)磁荷項(xiàng)。2、磁偶極的矢勢

式(2)的第2項(xiàng)：由于體分布電流看成許多電流線圈組成，對每個(gè)電流線圈都有：第六十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一第六十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一對體分布電流（看成許多電流線圈組成）也有：對體分布電流的磁矩：其中，稱為磁偶極矢勢，

稱為電流系統(tǒng)的磁矩。對于線圈電流的磁矩（如圖所示）為：第六十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一3、磁偶極矩的磁場和磁標(biāo)勢

磁感強(qiáng)度：所以磁標(biāo)勢：因?yàn)榈诹隧摚惨话僖皇?，編輯?023年，星期一三、小區(qū)域內(nèi)電流分布在外磁場中的能量外磁場的矢勢為，則電流系統(tǒng)

在外磁場中能量為電流系統(tǒng)在小區(qū)域分布，坐標(biāo)原點(diǎn)取在區(qū)域內(nèi)，對對載電流線圈，則電流線圈在外磁場中能量為原點(diǎn)展開：第六十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一其中，第一項(xiàng)為

是電流體系的磁偶極子位于原點(diǎn)時(shí)，在外磁場中的能量。由此可求出磁偶極子在外磁場中所受的力和力矩第七十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一第5次作業(yè):P.729

11、三個(gè)鏡像電荷一個(gè)鏡像電荷第七十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一12、見§5.1平面鏡像法例2。三個(gè)鏡像電荷P.106

2、第七十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一3、4、6、兩個(gè)電流圓環(huán)線圈的磁場疊加求總磁場。第七十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

第0、1、2、3章習(xí)題課1、第1章習(xí)題1P.33（1）解：利用矢量等式得：（1）（2）第七十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一將式（2）代入式（1）得：在式（3）中令得：（3）（2）解：得證。得證。第七十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一2、第1章習(xí)題3（2）P.34（1）解：（2）解：第七十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一（3）解：（4）解：第七十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一解：3、第1章習(xí)題9P.35得證。4、第1章習(xí)題8P.35解：得證。第七十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一（1）解：4、第2章習(xí)題1P.70極化電荷體密度：球面上極化電荷面密度：（2）解：因?yàn)樗缘谄呤彭?，共一百一十三頁，編輯?023年，星期一（3）解：球內(nèi)電場強(qiáng)度：因?yàn)榍騼?nèi)自由電荷為：由高斯定理得球外電場強(qiáng)度：第八十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一球內(nèi)電勢：球外電勢：5、第2章習(xí)題2P.70第八十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一導(dǎo)體球置于均勻外電場中。求導(dǎo)體球內(nèi)、外的電勢。解：

電勢有軸對稱性，電勢與無關(guān)，得球外的電勢為1）導(dǎo)體球與地的電勢為第八十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一1、邊界條件1：很大時(shí)，球外電場是均勻外電

場，即。由第2章§2.1例1得

（1）（a）（2）P1(cosθ)=cosθ比較式(a)兩邊的勒德多項(xiàng)式

系數(shù)，得第八十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

（b）2、邊界條件2：導(dǎo)體球球面上

，有：（2）（c）將式（2）代入式(b)得：將式（2）代入式(1)得：比較式(c)兩邊的勒德多項(xiàng)式

系數(shù)，得第八十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

（3）將式（3）代入式(2)最后得球外電勢：第八十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一解：

電勢有軸對稱性，電勢與無關(guān)，得球外的電勢為2）導(dǎo)體球上帶電荷為q第八十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一1、邊界條件1：很大時(shí)，球外電場是均勻外電

場，即。由第2章§2.1例1得

（1）（a）（2）P1(cosθ)=cosθ比較式(a)兩邊的勒德多項(xiàng)式

系數(shù)，得第八十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

（b）2、邊界條件2：導(dǎo)體球球面上

，有：（2）（3）式（b）中

待定!因?yàn)檫吔鐥l件2式（b）與1）題相同，所以球外電勢與1）題相同：將式（2）代入式(1)得：第八十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一

（c）2、邊界條件3：導(dǎo)體球面上帶電荷為q

，有：（d）將式（3）代入式(c)得：將式(d)的代入式(3)最后得球外電勢：第八十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一一個(gè)鏡像電荷解：球內(nèi)電勢：6、第2章習(xí)題9P.72第九十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一一個(gè)鏡像電荷導(dǎo)體球內(nèi)表面的感應(yīng)電荷為：電力線第九十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一7、第2章習(xí)題11P.72三個(gè)鏡像電荷解：電勢：第九十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期一8、第