論廣義積分的收斂性

論廣義積分的收斂性摘要廣義積分是定積分概念的推廣至無限區(qū)間和有限區(qū)間上的無界函數(shù)的情形，而定積分的的主要特點(diǎn)是積分區(qū)間有界，并且在此區(qū)間上被積函數(shù)為有界函數(shù)，而這兩個(gè)限制條件不能很好地解決實(shí)際中的有些問題，于是突破這兩條限制的束縛便得到其推廣形式即廣義積分。大部分的廣義積分不可被直接計(jì)算，有的雖然能計(jì)算出它的值，但計(jì)算過程十分麻煩，因此判斷廣義積分的收斂性就成為廣義積分求值的一個(gè)決定性條件。本文就針對斂散性論述廣義積分，針對幾種不同類別的廣義積分形式，討論幾種比較常用的判別方技巧。首先我們可以利用收斂積分的余部可以判定所求積分是否收斂對于j+8f(x)dx和aj「f(x)dx,如果b>a，則!f(x)dx稱為j「f(x)dx的余部。因?yàn)楦淖兿孪薹e分的值(a不是奇點(diǎn))，或?qū)Ρ环e函數(shù)乘以非零常數(shù)，都不改變積分的斂散性，即Vb>a,k豐0,都有卜f(x)dx收斂?！竑(x)dx收斂，j+8f(x)dx收斂。j+8kf(x)dx收斂.另外，如果f(x),g(x)的廣義積分都收斂，那么線性組合af(x)+)Bg(x)的廣義積分也收斂，對于其余類型的廣義積分，也有類似的結(jié)論.對于兩個(gè)端點(diǎn)都是奇點(diǎn)的廣義積分，我們可以任取區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)％，把積分分成兩半，再分別判斷這兩半積分的收斂性.例如定義廣義積分二fxdx，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,+8)上內(nèi)閉有界可積，除端點(diǎn)外再?zèng)]有奇點(diǎn)取一點(diǎn)孔，定義，+f(x)dx=*0fxdx++8/xdx，-8 -8 %如果右端這兩個(gè)廣義積分都收斂，就稱左端的廣義積分收斂(否則稱其發(fā)散).對于內(nèi)閉有界可積，且在積分區(qū)間I內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)的廣義積分，為了方便地得到廣義積分是否收斂，我們可以把積分區(qū)間上的幾點(diǎn)去掉，這樣以奇點(diǎn)為分點(diǎn)，廣義積分的區(qū)間就被分成許多個(gè)小區(qū)間I=I1UI2u-uzn.于是就可以定義jf(x)dx=jf(x)dx+jf(x)dx+...+j f(x)dx1 I1 I2 In如果右端每個(gè)廣義積分都收斂，就稱左端這個(gè)廣義積分收斂(否則就稱發(fā)散).對于廣義積分+8fxdx，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+8上以+8為唯一奇點(diǎn)，且內(nèi)閉有界可積，并且有原函數(shù)F(x),那么+8fxdx=limxfxdx=limFx—F(a).a XT+8a XT+8不論這個(gè)極限如何，都把這個(gè)公式寫為+8fxdx=Fx|+8.如果極限limF(x)存在，那么廣義積分收斂，否則就發(fā)散.XT+8我們知道Cauchy收斂準(zhǔn)則可以用來判定函數(shù)的斂散性，這對于積分也同樣適用.因?yàn)閺V義積分的四種基本類型可以相互轉(zhuǎn)化，故只討論+8fXdx這一種形式即可.+8fXdxaa收斂Vw>0，3X>當(dāng)X1,x2>X時(shí)，|*2^x^.xI^WX10limpt=0，pt=supjqf(x)dxtT+8 —,t<p<qp夾逼收斂原理也可以判斷積分是否收斂.^fx<g(x)<h(x)(x>a)，如果積分+8fxdx，+8hxdx都收斂，那么積分+8gxdx也收斂.另外絕對收斂的廣義積分也一定收斂，由夾逼收斂定理可證明這條結(jié)論對于非負(fù)函數(shù)的廣義積分還有三個(gè)特殊的判別方法.收斂準(zhǔn)則在區(qū)間a,+8上，設(shè)函數(shù)f(x)>0,那么廣義積分+8fxdx收斂0變上限積分；fxdx(t>a)有界控制收斂判定法在區(qū)間a,+8上，對非負(fù)函數(shù)fx,gx，設(shè)g(x)是f(x)的上控制函數(shù)，即存在 、>a，使得0<fx<g(x)，Vx>xQ.如果上控制函數(shù)g(x)的廣義積分收斂，那么被控制函數(shù)f(x)的廣義積分也收斂.比較判定法在區(qū)間a,+8上，設(shè)f(x),g(x)都是非負(fù)函數(shù)并且有極限lim心=1(存在或?yàn)?8).XT+8g(x)當(dāng)IE(0,+8)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的廣義積分有相同的收斂性.當(dāng)1=0時(shí)，由+8gxdx收斂，推出+8fxdx收斂.當(dāng)1=+8時(shí)，由+8gxdx發(fā)散，推出+8fxdx發(fā)散.在Abel條件或Dirichlet條件下，廣義積分+8fxg(x)dx都收斂.Abel條件(1)f(x)單調(diào)有界.(2)g(x)廣義積分收斂.Dirichlet條件(1)f(x)單調(diào)，limf(x)=0.(2)g(x)的變上限積分有界.XT+8總結(jié)以上列舉的眾多判定廣以積分收斂性的方法，有助于我們更好地掌握廣義積分的性質(zhì)，提高運(yùn)算效率。廣義積分是定積分的推廣，也是微積分這門學(xué)科的重要組成部分，因此熟悉廣義積分的概念有助于培養(yǎng)微積分的思維方式，也為將來更好地解決學(xué)習(xí)和生活中的實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。但這只是微積分的一個(gè)小分支，微積分學(xué)如一片廣袤的大海，還有很多的知識(shí)需要學(xué)習(xí)，還有很多的疑難需要探索和解答。所以我們應(yīng)該不斷探索，努力奮