第一型曲面積分

第一型曲面積分第一頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1第一型曲面積分第二頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一教學(xué)目的：掌握第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式．

教學(xué)內(nèi)容：第一型曲面積分的定義和計(jì)算公式．(1)基本要求：掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分計(jì)算公式．(2)較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計(jì)算公式．第三頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一第一型曲面積分的概念第一型曲面積分的計(jì)算第四頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)曲面形物體S具有連續(xù)的面密度函數(shù)類似第一型曲線積分、二重積分、三重積分的思想,求其質(zhì)量M.采用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法，可得一、第一型曲面積分的概念第五頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義1設(shè)S為可求面積的曲面,為定義在S上的函數(shù).對(duì)曲面S作分割T，將S分成

n個(gè)小曲面塊Si(i=1,2,...,n)，Si的面積記為在Si任取一點(diǎn)若極限存在，則稱此極限為f(x,

y,z)在S上的第一型曲面積分，記作第六頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是,曲面形物體S的質(zhì)量為第一型曲面積分與第一型曲線積分、重積分的性質(zhì)類似，例如第七頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理22.1

設(shè)有光滑曲面

f(x,y,z)在S上連續(xù),則二、第一型曲面積分的計(jì)算第八頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明:由定義知

而第九頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一(光滑)第十頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一說(shuō)明:

則有公式：1)如果曲面方程為如果曲面方程為則有公式：第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2)若曲面為參數(shù)方程,

只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.

第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1.

計(jì)算曲面積分

其中S是球面

被平面截出的頂部.解第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例

計(jì)算曲面積分

其中S為立體的邊界曲面.解設(shè)第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一所以第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例

計(jì)算

其中S為右半球面例

計(jì)算

其中S為

第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例.

求半徑為R

的均勻半球殼的重心.解:設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球坐標(biāo)第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例.計(jì)算

解:取球面坐標(biāo)系,則第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，編輯于2023年，星期一例.計(jì)算

其中

是介于平面

之間的圓柱面

分析:若將曲面分為前后(或左右)則解:取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁