2019考研數(shù)學(xué)真題大串講寶

1.洛必達(dá)法則、泰勒、拉格朗日中值定理及導(dǎo)數(shù)定義等）；常用的一些等價(jià)無(wú)窮小及一些基本極限:xxsin 1x3,arcsinx 1x3;xtan 1 arctanx

1x3;xln13

1x2；ex1 1 lim11 e,limxx1,limx11,limxlnx0,limqn0,q x x g

A存在且limgx0,則limfx若

fg

A0,且limfx0,則limgx若limfxgxA存在且limfx,則limgx若limfxgxA0且limgx0,則limfx12cosx : x0x 12005數(shù)二設(shè)fx連續(xù)且f00求

xx0fxt設(shè)fx在x0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且f00f0存在fxfln1則

1 設(shè)lim x3x2bxex x 3確定常數(shù)a,b,c的值,使limab et2dtx0 x5 sin sin sinn1998數(shù)一求極限 n n n

1

n1）設(shè)fx在0,1上連續(xù)證明lim1fxxndxn（2）設(shè)fx在0,1上連續(xù)證明lim1fxsinnxdxnxx（1）當(dāng)n為正整數(shù)且nxn1時(shí)證明2nSx2nS 00（1）證明數(shù)列an收斂；（2）求anan2；（3）求lim設(shè)fx在0,1上可導(dǎo),對(duì)任意的x0,1有0fx1fx證明:方程xfx在0,1上有唯一根記為對(duì)x0,1, 1xfxn ,證明x極限存在,且limx n 解題思路1若a0,k0,且x0時(shí)ff

axkx0時(shí),fx是x的k若k0,使

c（常 若fxaax xk1axk 其中aa 0,但a x0時(shí)fx是x的kg f

g

,則當(dāng)x0時(shí),fx是gx A低階無(wú)窮 B高階無(wú)窮 C等價(jià)無(wú)窮 D同階但不等價(jià)的無(wú)窮當(dāng)x0時(shí),1x2

1,

2x,ln1

A,,

設(shè)fx為連續(xù)函數(shù)

2,Fx tfxtdt,當(dāng)x0x x Fx1x2與bxk是等價(jià)無(wú)窮小其中b0,k為某正整數(shù)求kb值2.1）求yarctanx的7 x（2）設(shè)x0時(shí), xarctanx1bx2是x的7階無(wú)窮小,求a,b的值 有定義,則

fxfx0

fx

0xx0

fx

若函數(shù)fx在閉區(qū)間ab上連續(xù),則fx在ab上有界,并取得最大值與最小值設(shè)fx在ab上可積,證明F2en1x

ftdt在a,b上連續(xù)其中xx

設(shè)fxnenxxnA

,則f BDx2,x1

x

x設(shè)fx

2x12x5,討論fgx的連續(xù)性1x,x若有間斷點(diǎn)請(qǐng)指明類(lèi)型

x x 解題思路:fx在xx0處的導(dǎo)數(shù)fx0表示曲線yfx在x0fx0曲線yfx在x0fx0處切線方程為yfx0fx0xx012016數(shù)一設(shè)fx1

x0, x , nnAx0是fxCfx在x0

Bx0是fxDfx在x02005數(shù)一二設(shè)fxlimn1x3n,則fx在, C

BD設(shè)fx在0,內(nèi)有定義在x1處可導(dǎo)且對(duì)xy0有fxyyfxxfy（1）證明:fxfxf2）求fx22014數(shù)二設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程是r,則L對(duì)應(yīng)處的切線的直角坐標(biāo)方程 2設(shè)fx在0,上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f0f00,fx若對(duì)任意的x0,用ux表示曲線在切點(diǎn)x,fx處的切線在x寫(xiě)出ux的表達(dá)式并求limux和limu

xfu

與

x uxftx

x0uf 0

ft 設(shè)fx在a,b上連續(xù),x,x可導(dǎo),則Fx 2xftdt可導(dǎo)且Fx

11 2xftdtfxxf1 dyd3 d2y 3dx23dx1

f0求x并討論x在x0處的連續(xù)性

fxtdt且

（為常數(shù)設(shè)fxx2ax1,x0在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在,則a,b分別 exbsinx2,x

B1,2

C1, D 設(shè)ysin6xcos6x,則yn 設(shè)yyx由xtln1t確定,yyx在t1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的曲率半徑y(tǒng)t2ln1t AR1,在切線的上 BR1,在切線的下 CR2,在切線的上 DR2,在切線的下專(zhuān)題 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)及求最1.若函數(shù)fx在I上連續(xù)在I00,若函數(shù)fx在xx0處取極值,則fx00或fx0設(shè)f(x)在xx0處滿足fx00,fx00,則xx0;若f(x)在I上單調(diào)增加或在I上fx0,則曲線yfx在I若f(x)在I上單調(diào)減少或在I上fx0,則曲線y

fx在I設(shè)f(x)在xx0處滿足fx00,fx00,則x0fx0,及這些點(diǎn)的函數(shù)值f(x1),f(x2),…f(xn求出f(x)在端點(diǎn)ab處的函數(shù)值f(a),f

fx

x22

數(shù)一二

t x1t3t 2011數(shù)二設(shè)yy(x)由參數(shù)方 y

1t3t 求函數(shù)yy(x)的單調(diào)區(qū)間及極值、曲線yy(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)x x C 00

tx求fx及fx1.利用單調(diào)性:若fx0,且fa0,則fx0,xa 日中值定理:fbfafba,結(jié)合條件對(duì)f放fbf f f柯西中值定理gbgag,g利用曲線的凹凸性:若曲線fx在ab上是凸弧,則有fx1x2fx1fx2 若曲線fx在ab上是凸弧,則xx0ab但xx0有fxfx0fx0xx0；若曲線fx在ab上是凸弧,則axb有fxbxfaxafb. 證明:當(dāng)x0時(shí),lne2xx3x522002數(shù)二設(shè)0ab,證明不等式

lnblna a2 b1

,1x2設(shè)fx二階可導(dǎo),且fx0,fxfxfx2（x xx（1）證明:fx1fx2f 2（x1,x2 解題思路:

1t2dt1

1tdt求fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)試確定方程xet2dtx3x的實(shí)根個(gè)數(shù)0設(shè)x0時(shí)方程kx

fxdx0fxcosxdx證明在0,內(nèi)方程fx0至少有兩個(gè)實(shí)根

fxx證明:1）方程fx0在區(qū)間0,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根 1.證明存在ab，使得fn一般不需構(gòu)造輔助函數(shù),只需對(duì)fn1x在ab或ab的某一子區(qū)間上使用羅爾定理或說(shuō)明fn1x在a,b的某最值在ab內(nèi)某點(diǎn)取到. 一般需構(gòu)造輔助函數(shù)Fx對(duì)Fx在ab或a

xeg若要求,一般是找一個(gè)分點(diǎn)ca,b,分別在a,c和c,b上使用 若不要求,一般是在a,b上使用兩次 證明存在ab,使得某個(gè)高階導(dǎo)不等式fnk成立若n2,一般可考慮多次日或,但若n3,一般就是使用fafbgagb: f設(shè)fx在ab上連續(xù),在ab內(nèi)可導(dǎo),且faabfxdx1b2a2 :（2）a,b,使f=f

bfbafa

f0xfxaa3（2）若x具有二階導(dǎo)數(shù),且21,22 解題思路:1.原函數(shù)存在定理:（1）若fx在區(qū)間I上連續(xù),則fx在區(qū)間I若fx在區(qū)間I上有第一類(lèi)間斷點(diǎn),則fx在區(qū)間I上沒(méi)有原函數(shù)微積分基本定理若fx在ab上連續(xù),則Fx

ftdt在a,b上可導(dǎo),且Fx=fx不可導(dǎo),若xc是fx的跳躍間斷點(diǎn)

xx0若fx在aa上連續(xù)的奇（偶）函數(shù),則xftdt為偶（奇）0 若fx在上連續(xù)且以T為周期,則aftdt以T為周期0ftdt設(shè)fx

x,x

x x

Afx在1,1上有原函 Bgx在x0處可xCgx在1,1sinx0x

x x 2,x CFx在x處連續(xù)但不可導(dǎo)

DFx在x1

1

2dx,N

dx,K

2 cosxdx,

1

AMN BMK CKM DKN 1997數(shù)三若fx 1

1x21fxdx,則1fxdx dx

dx4 dtan 301sin2

0cos2x2sin2 012tan2 20 tanx4 20設(shè)fxx

sinxx0,

fxdx dx

B

x

C

1D 解題思路:1.求

:fxdxF

FbFa.Fxfx,xa

a （1）fx在a,a上連續(xù),則afxdx0fxfxdx

T fxdx0f n1n 2sinxdx2cosxdx

1

22fsinxdxfcosxdx；xfsinxdxfsinx2 2 fxdxfab ex1xex

dx 1x2

x的一個(gè)原函數(shù)F ln x

x

x

x

x 1995數(shù)三（第二問(wèn)）2sinxarctanexdx 2

5.x5.x2xdx 31f xln1tx6 dx,其中fxx6

t設(shè)fxarcsinx12f00,1f0 設(shè)fx是0,1上的連續(xù)函數(shù)且fxx1fyfyxdy1fx 解題思路:1.換元法（適用于被積函數(shù)或其主要部分僅告知連續(xù)利用定積分值與何字母表示無(wú)關(guān),改寫(xiě)等式一端的積分變量為若等式一端的被積函數(shù)或其主要部分為fx而另一端為fu則作代換xu若等式一端為fx,而另一端為fu,2.分部積分法（適用于被積函數(shù)含導(dǎo)數(shù)或變限積分3.法（適用于被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)a 11設(shè)fx連續(xù)證明

xfxdx20xf12x證明:1 dx11d.x12xx1 11

2a2 a2設(shè)fx連續(xù),a0,證明:f x2xfx 1xx 1xx x設(shè)fx在a,b上連續(xù),且fafb0.證明bfxdx1bxaxbfxdx.x

x0,令fx xxtn1ft 0 n n1! ab設(shè)fxab證明:a,b, fxdx

ba

fba3a 2 a 解題思路:1.對(duì)僅告知被積函數(shù)fx連 ,對(duì)已告知被積函數(shù)fx一階可導(dǎo),又至少告知一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值為0 日中值定理:fxfxfafxa（fa0）;a :fxfxfaxft （faa（較適合所證明的式子中,定積分的被積函數(shù)含有fx的情形）已知被積函數(shù)fx二階或二階以上可 直接寫(xiě)出fx b agt ）: gtdtxa,xa,b；（2a fxdxfxgx） 設(shè)fx在0,a上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f00.證明:afxdx1Ma2 其中M0

fx

ba2設(shè)fx在ab上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且fa0.證明

f2xdx

f2設(shè)fx在0,2上連續(xù)且f10證明:2fxdx1M其中M

fx 0 設(shè)fx,gx在ab上連續(xù)且xftdtxgtdtxa,bbftdtbg 證明axfxdxaxg 解題思路:1.設(shè)fx在a上連續(xù)Fx是fx在a上的一個(gè)原函數(shù) 則 fxdx收斂limFx存在,且

fxdx=limFxFa對(duì)其他類(lèi)型的無(wú)窮區(qū)間的反常積分有類(lèi)似的定義及計(jì)算設(shè)fx在a,b上連續(xù),且fx在xa的右鄰 bFx是fx在a,b上的一個(gè)原函數(shù)則且bfxdxFblimFx

fxdx收斂limFx 對(duì)其他類(lèi)型的函數(shù)的反常積分有類(lèi)似的定義及計(jì)算設(shè)yx滿足微分方程y2yky0,0k

2016數(shù)一若反常積

dx收斂, xa1

已知0,則對(duì)于反常積分0

B當(dāng)1時(shí),收C與無(wú)關(guān),必收 設(shè)fxxt3tdt,則曲線fx與x軸所圍成的封閉圖形的面積 2.2.設(shè)曲線y 2003數(shù)一過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線該切線與曲線ylnx及x軸圍成的平面圖形為D求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 1 01

0ttt

22 為某函數(shù)的全微分,則a A C Dfx,y

xyfx,yx2

存在,則fxy在0,0存在,則fxy在0,0fx,yC若fxy在0,0處可微,則極限D(zhuǎn)若fxy在00處可微,則極限

xyfx,yx2設(shè)fxyxyxy其中xy在0,0點(diǎn)連續(xù),討論fxy在00 2015數(shù)二設(shè)fxy2y1exfx0x1ex,f0,yy22y求fxy

d3

x1 2010數(shù)二設(shè)ufxy具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足4x212xy5確定ab的值,使在變換xay,xby下簡(jiǎn)化為

1 1設(shè)zfxyxgyz

z

dz

y fxut,yut,zut

設(shè)fxy2yx221x7y2求fxy7 設(shè)有極坐標(biāo)下的累次積分Id

frcos,rsin 1 x1 dy dx

x2D計(jì)算xdxdy其中D是由直線x2,y0y2及xD

2yy2計(jì)算1dxdy其中D1cosr1cos1sinr1sinD , 計(jì)算Ix2y2zdv其中是曲線y22z繞z與兩平面z2,z8

x計(jì)算Ix2y2z2dv其中x2y2z24,x2y2z2計(jì)算Imx2ny2lz2dv其中x2y2z2 x將I0 解題思路:1（、以.設(shè)a0為常數(shù),fx在,連續(xù) 一階方程yay

fx,x設(shè)a0,

fxbyx為上述方程的任一解

yx設(shè)a0,limfxb又+eaxfxdx收斂limyx AAe2xe2xBcos2xCsin BAxe2xe2xBcos2xCsinCAe2xxe2xBcos2xCsin DAxe2xxe2xBcos2xCsin2x2d2 （x 2017數(shù)三僅數(shù)三差分方程 2y2t的通解為y 專(zhuān)題二十一線性微分方程解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)ypxyqxyfx 若CyCy是2的通解,y是1的特解,則CyCyy是1的通解1 2 1 2若1中的非齊次項(xiàng)fxf1xf2xy是ypxyqxyfx的特解,y是ypxyqxy 則yy是ypxyqxyfx 1997數(shù)二已知yxexe2xyxexexyxexe2xex 以yCxC2為通解的微分方程 2016數(shù)三設(shè)fx連續(xù)且滿足xfxtdtxxtftdtex1,求fxx x

若f00,f00,求f

fecosy滿足2

y24zecosye ,求連接點(diǎn)A0,1與B1,0的一條可微曲線,它位于弦AB上方且對(duì)此弧上任一條弦AP,該曲線弦AP的上方,且與該弦AP之間的面積為x4,其中x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo).2002數(shù)一設(shè)u0n1,2, limn n1 1

n

則級(jí)數(shù) n1A發(fā) D收斂性根據(jù)所給條件不能判 若u2n1u2n收斂則un收斂；（2）若un收斂 u 若limn11,則un發(fā)散；（4）若unnvn,且un,vnu n 則以上正確題 1 1已知函數(shù)yyx滿足yxy且y01討論級(jí)數(shù)yn1n的斂散性n1 1997數(shù)一設(shè)a2, 1a1n1,

2 a n : n1 nn n12016數(shù)一設(shè)fx可導(dǎo)且f01,0fx

,設(shè)數(shù)列x滿足 fxn1,

R 數(shù)一冪級(jí)數(shù)n12n 設(shè)冪級(jí)數(shù)anx的收斂域?yàn)镽,R,則冪級(jí) 的收斂域?yàn)镽,

設(shè)冪級(jí)數(shù)axn和bxn的收斂半徑分別為R和R,則冪級(jí)數(shù)abxn

x

C

1 在x2處條件收斂,則冪級(jí)數(shù)n2xan在xln A條件收 B絕對(duì)收 C發(fā) D是否收斂與a值有 2003數(shù)一將函數(shù)fxarctan12x展開(kāi)為x 11

1n2018數(shù)三已知cos2x

a

1x1 a 求冪級(jí)數(shù)4n2

1 n

2

x的和函數(shù)為Sx2017數(shù)三設(shè)a0,a1,

na 設(shè)fx 0x,則其以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)Sx x2,x2013設(shè)fxx1,b Sxbsinn

9

A B C D 2008將fx1x20x展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)并求

6x286x28求函數(shù)u

z 2012gradxyy2,1,1 Adz0,03dxB曲面zfxy在點(diǎn)0,0f0,0的法向量為C曲線z

y0y0

D

y 有l(wèi)PdxQdy

L 2018設(shè)L是x2y2z21和xyzL 2012計(jì)算IL3xydxxx2ydy其中L是第一象限中從點(diǎn)O0,0 x2y22x到點(diǎn)2,0再沿圓周x2y24到點(diǎn)0,2的曲線段L為從點(diǎn)A2a,0沿曲線y 2axx2到點(diǎn)O0,0的弧2000計(jì)算I L4x2y 2o積分 6o BB

ydx

x2

x2

L Lydx曲線積分 2x2 證明對(duì)右半平面x0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C有

ydx2x2都有yexfxydxlnfxl

0,求fx 則PdydzQdzdxRdxdy PQ 設(shè)PQR在上除點(diǎn)x0y0z0PQR0,xyzxyz,則對(duì)內(nèi)任意兩張同側(cè)繞xyz的閉曲面和, 有PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdx 轉(zhuǎn) :設(shè)有向曲面:zzx,y,在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xyPdydzQdzdxRdxdy Pz z Rdxdy y Px,y,zx,yzQx,y,zx,yzRx,y,zx,y y

" y z1的上半部分,點(diǎn)Px,y,z

x,y,z

y11y3繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成,它的法向量與y軸正向夾 于2

2009計(jì)算I

xdydzydzdxzdxdy其中是曲面2x22y2z243x2y2z23設(shè)是平面xyz1介于三個(gè)坐標(biāo)平面間的有限部分,法向量與z 斯托克斯:設(shè)為空間某區(qū)域,為的分片光滑有向曲面塊,l為逐段光滑的的邊界一階偏導(dǎo)數(shù),則PdxQdyRdz,一階偏導(dǎo)數(shù),則PdxQdyRdz

則Lzdxydz 2.

2x22x2

計(jì)算曲線積分ILyzdxz2x2ydyx2y 平面域D的面積:A 空間體的體積:V 曲線段L的長(zhǎng)度:L 曲面塊的面積:S 曲線段L的質(zhì)量:mLx,y,z 平面域D的質(zhì)心:x 空間體的質(zhì)心:xx,yD

曲線段L的質(zhì)心x

；

曲面塊的質(zhì)心x

平面域D對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

y2x,y

y2z2x,y,z曲線段L對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix曲面塊對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix

注:上述xy或xyz變力FPx,yiQx,yjP,Q沿著曲線L從A到B所做的功WLPdx設(shè)半徑為R的球面的球心在定球面x2y2z2

x2y2被柱面z22x割下的有限部分 x2y2z2.記圓錐面與柱面的交線為 z1表示,求對(duì)直線xyz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 若A是n階矩陣,kAknA若AB都是nABAB若A是nA1A1若1,2 ,n是n階矩陣A的特征值,則A 若n階矩陣A與BAB 設(shè)A 5,則2A1E 0 已知1,2,3,4是3維列向量矩陣A1,2,2234B3,2,1C122,2234,314.若B5,C40,則A 設(shè)A是3階矩陣,且AE0,A2E0,A3E0,則A4E A223,A313,則A 0,則AE 3 解題要點(diǎn):設(shè)A、B是n階矩陣,E是n階單位陣若ABBAE,則稱(chēng)A可逆且B是A的逆矩陣記為A1求逆的方法主要有:1）定義法:設(shè)AB都是n階矩陣若ABE則A1伴隨矩陣法:A1

A,

1

A.A初等變換法:AE

證明可逆的方法主要有:n階矩陣AArAA的列（行）Ax00不是A的特征值； 則EB1

AET不可逆BET不可逆CE2T不可逆DE2T

kmm xmm0有非零解 （ 3c11c22c33,則1,2,3線性無(wú)關(guān)

c2設(shè)向量組1,2,3線性無(wú)關(guān),且1t2,22t3,34t1線性相關(guān),則t

2 3 2 3 4

0,

1,

1,

其中cccc是任意常數(shù) A1,2 B1,2 C1,3 D2,3 ,

r1,2 ,mr ,m, 若 ,s可由1, ,t線性表出,則r ,sr1, ,t1,2 ,s可由1, ,t線性表出r1, ,tr1, ,t ,s若 ,s和1, ,t等價(jià),則r ,s1, ,t1,2 ,s和1,2 ,t等價(jià)r ,sr1,2 ,s;1, ,t1, ,t

3a

TTT2011數(shù)一二三設(shè)向量組10,1,0,1,1,135不能由向量組1,1,1TTT

, 1212

31 31 ,若 B,則rArB6.rArAT；rkArAk0；r minm,rABminrA,rB；rABrArBrArATArAATrAT rArA1,rAn 7 B

C D設(shè)矩陣B A

B5 C Ar ABr Br BArCr BmaxrA,rB Dr Br BT2000數(shù)二已知向量組0,1,1Ta2,1Tb,1,0T

3,0,1T,=9,6,7T有相同的秩,且可由, 稱(chēng)1,2s是Amnx0的基礎(chǔ)解系,當(dāng)且僅當(dāng):1.1,2,,s是Ax0的解；1,2,,s1,2s可以表示Ax0的任一解或nrx1x3

方程組2xx0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 T A0,1,0, B0,1,0,2,0,2,

已知矩陣A 12 已知矩陣A

1

,B是3階非零矩陣,滿足BA0,則矩陣B a1,2nx2n1998數(shù)一設(shè)齊次方程組 axax

記為Ax0

T

n1 n2TT

n,2nb,b ,

b,b ,

b,b ,

11 1,2n 2,2n n,2nb11y1b12y2 b1,2ny2n是齊次方程組 記為Bx0的基礎(chǔ)解系）byby n1 n2 n,2n knrnr 設(shè)3,2

,1,0,

2xx 則方程組的通解

T T

T ,0,0,0,8.AT,BT,其中T是的轉(zhuǎn)置 求解方程2B2A2xA4xB4x a 0可經(jīng)過(guò)初等列變換化為B 2求;2）求滿足APB的所有可逆矩陣

1 設(shè),,,是4元非齊次方程組Axb的4個(gè)解且 3,5,7,9T,22, 若rA2,則Axb

Bk

1212121 1212121 設(shè)A1,2,3,4是4階矩陣,方程組Ax的通解是1,22,1Tk1,24,0T若B3,2,14求方程組By12的通解 方程組的公共解、同解問(wèn)解題要點(diǎn):若Ax0的解都是Bx0的解且Bx0的解也都是Ax0的解則稱(chēng)方程組Ax0和Bx0BB x21994數(shù)一設(shè)4元齊次線性方程組為:xx0又已知某齊次線性方程組 方程組與x12x23x3 xbxcx2005數(shù)三已知方程組

2x3x

0和

xxax

2xb2x(c1)x ,

n 設(shè)n階矩陣A的各行元和均為2,且滿足A2kA6E0,則k A0 B1 C2 D3 2,P 1,BP1AP,求B 2 0 A A n2.若rA1,則 n

若A2AE0,且,則

3的特征值有一個(gè)二重根,求a的值,并討論A能否對(duì)角化 5設(shè)n階矩陣A滿足A2AE0,且證明A 已知P1AP 特征值是2的線性無(wú)關(guān)的特征向量,如果（1）P3221;（2）P31,3,2（3）P2,23,1;（4）P3,12,1其中正確的矩陣P

B 數(shù)一二三設(shè)矩陣 3相似于矩 0 a 解題要點(diǎn):若

,則APP1,于是要求A需要知道A的全部特征值（即）A的全部特征向量（即, ,則APP1,進(jìn)而An11 1 0 1 11 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣主要有以下性質(zhì)必可相似對(duì)角化,且總存在正交矩陣,Q使得Q1AQQTAQ 和均為3,=1,2,1T 20,1,1T都是方程組Ax0的解2

E 解題要點(diǎn):任一個(gè)二次型fx,x x,x xTAxyTyx2x2 1 2 n 2015數(shù)一二三設(shè)二次型fxxx在正交變換xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2y2 A2y2y2 B2y2y2 C2y2y2 D2y2y21 21222 數(shù)一二三設(shè)二次型f1 21222

x

8xx2xx 1 1 2在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為y2y2求a的值及一個(gè)正交矩陣1 2 設(shè)fx1,x2,x3xTAx的矩陣A主對(duì)角線 和為2,且AB0,其中B 1 1 0求正交變換xQy化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;（2）

二次型fxTAxx0有xTAx

A2000數(shù)三設(shè)二次型fx,x ,xxax2xax2 2 1 2 n1 充要條件是rBn. 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B,若存在可逆矩陣C,使CTACB,稱(chēng)A與B合同,記作判定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B二次型xTAx和xTBx實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與B有相同的正、負(fù)特征值個(gè)數(shù)兩個(gè)同型矩陣,若A經(jīng)過(guò)有限次初等變換可變成B,稱(chēng)A與B等價(jià),記作A判定同型矩陣矩陣A與B存在可逆矩陣P和Q,使PAQrArB.兩個(gè)方陣A與B,若存在可逆矩陣P,使P1APB,稱(chēng)A與B相似,記作 判定若A與B的跡或秩或行列式或特征值不相等,則A與B不相似；若A,但B不能對(duì)角化,則A與B不相似；若 ,且 ,則A與B相似2007數(shù)一二三設(shè)矩陣

則A與

1,

0 1 2 0 A合同且相 B合同,但不相 C不合同,但相 D既不合同,也不相1 1 2014數(shù)一二三證明n階矩陣 與 1 1相似的 11 1 101 1

D

1與矩陣 1 a

SA

n n

a a 則兩點(diǎn)間距離小于的概率為3設(shè)D是一正方形區(qū)域:0x1,0y1,向D內(nèi)隨機(jī)投10個(gè)點(diǎn),則這10個(gè)點(diǎn)中至少有2個(gè)點(diǎn)落在由曲線yx2和直線yx所圍成的區(qū)域D1概率為 若PABPAPB，PBCPBPC，PACPAPC若PA0,則AB獨(dú)立PBAPB 量,且PX0,Y03,PX0PY04 記AmaxX,Y0；BmaxX,Y0minX,YCmaxX,Y0,minX,Y0，則1995數(shù)一PA ;PB ;PC 2 A與B相互獨(dú)立,A與C相互獨(dú)立,BC.若PAPB12

C1,則PC 44 A,B,滿足PABPAB1,且PABPAB1,則PAB B 42017數(shù)三設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)

設(shè)有兩批數(shù)量相同的零件,已知有一產(chǎn)品全合格,另一批產(chǎn)品有25%從兩批產(chǎn)品中任取1只,經(jīng)檢驗(yàn)是正品,放回原處,并在原所在批次再取1只,則這只產(chǎn)品是次品的概率為 .設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且 E,PY13,PY11,則PXY2 B13 C1 D11 PXaFa；PXaFaPXaFaFaf1x和f2x;分布函數(shù)分別為F1x和F2x, Bf1xf2x必為某一 量的概率密CF1xF2x必為某一 量的分布函DF1xF2x必為某一 量的分布函 x ,0x1,則P0X1 B D1

1,PX11,PX11, 1X1的條件下 X在1,1內(nèi)任一區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比,求X的分布函數(shù)F2 fx滿足f1xf1x,且0fxdx0.6,則PX0 C 若 E,則PXstXs與s無(wú)1,x若 fx

則當(dāng)t1時(shí),PX

Xt與t若 Gp,則PXmnXm與m無(wú)若 PXk ,k1,2,,則PX2nXn與n無(wú) B C D2013數(shù)一三設(shè)X,X,X是隨量,且 ,3,

N0,22,X

N5,32Ap1p2 Bp2p1 Cp3p1 Dp1p3 解題要點(diǎn):1.設(shè) fXx,YgX,求FYy,fYy第一步:畫(huà)出ygx第二步:根據(jù)ygx圖形,把Yy等價(jià)的轉(zhuǎn)化為X；第三步:用X的概率密度f(wàn)Xx計(jì)算PX或者用X的分布函數(shù)FXx計(jì)算PX,得Y的分布函數(shù)FYy第四步若FYy沒(méi)有間斷點(diǎn),則求導(dǎo)得fYy2.設(shè) f

x,YgX是X的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),則

1,1x fx

0x2，令YX2求:Y的概率密度

y 1x2,0x X fx ，令Y X,1X XX,0X

y1 ,X 解題要點(diǎn):1.（二維離散型）聯(lián)合分布表中有0X,Y2.（二維連續(xù)型）聯(lián)合概率密度f(wàn)x,y的非0區(qū)域不是矩形X,Y若fx,y的非0區(qū)域是矩形,但二元函數(shù)fx,y對(duì)x和y不具有乘法分離性X,Y設(shè)X,Y N,,2,2;.其中EX,EY,2DX,2DY;1,1. N,2 N, （2）X,Y（3）aX N,2 （4）

0,則aXbYcXdY（5）X,Y獨(dú)立X,Y不相關(guān),即XY1 1i1,2,且PX1X201,則PX1X2 4 B C 1 2, 3

.1）求X,Y的聯(lián)合分布;（2）PXY212120.12120.（5）求PX0,Y0PX

Y，

Y1

43x2,0x4 ,在給定Xx0x

yxx3,0yx.1）求X,Y的聯(lián)合概率密度f(wàn)x,yY 設(shè)X,Y fx,yAeax2bxycy2,x,y,其中A0,a0,c 解題要點(diǎn):設(shè)XY相互獨(dú)立分布函數(shù)分別是FXx,FYyZ1maxX,YZ2minX,Y則FZFXzFY