數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用案例研究

數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用案例研究

[Summary]數(shù)學(xué)歸納法是一種非常重要的數(shù)學(xué)證明方法，應(yīng)用十分廣泛。本文主要從數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟及其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行闡述，目的說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。[Keys]數(shù)學(xué)歸納法原理；步驟；應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中最常用的一種證明方法，它雖只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在高中數(shù)學(xué)中的地位是非常高的。數(shù)學(xué)歸納法既是每年高考的一個(gè)考點(diǎn)，又是一個(gè)難點(diǎn)。步驟雖簡(jiǎn)單，但很多學(xué)生不能真正掌握，難以理解其原理，尤其是證明當(dāng)時(shí)，有極少同學(xué)能證得出。很多同學(xué)都停留在生硬的記憶和牽強(qiáng)的套用，沒有真正體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的核心思想。我們應(yīng)該怎樣理解數(shù)學(xué)歸納法，在高中數(shù)學(xué)中又有哪些方面的應(yīng)用?在哪些類型題上可以使用數(shù)學(xué)歸納法?數(shù)學(xué)歸納法又有哪些局限性?在本文中先通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法定義及其基本形式理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步論述了數(shù)學(xué)歸納法在解決有關(guān)證明猜想、證明等式、證明不等式、證明整除、解決幾何問題及數(shù)學(xué)歸納法和其它知識(shí)點(diǎn)的交匯等問題中的應(yīng)用。因此我們要理解其本質(zhì)，真正掌握正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的能力。數(shù)學(xué)歸納法的原理：自然科學(xué)的“經(jīng)驗(yàn)歸納法”，是從某一現(xiàn)象出發(fā)，總結(jié)歸納出所有情況的一般規(guī)律；而數(shù)學(xué)歸納法則完全不同，它用來(lái)證實(shí)無(wú)限序列（第一、第二、第三、……沒有一個(gè)情況例外）的數(shù)學(xué)定理的正確性.數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟是：（1）驗(yàn)證:當(dāng)取第一個(gè)值（）時(shí)，命題成立；（2）在假設(shè)當(dāng)（）時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)時(shí)，命題成立。根據(jù)（1）（2）可以斷定命題對(duì)一切從開始的正整數(shù)都成立。類型一：利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想例1：在數(shù)列{an}中，．（1）求出a2，a3并猜想an的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．解：（1）由得：，，猜想；證明：（2）當(dāng)n＝1時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)，結(jié)論成立，即，那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，，即結(jié)論成立．綜上可知，對(duì)任意n∈N*，都有成立．類型二：利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式：整數(shù)有關(guān)的幾何問題，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。證明過程中只要實(shí)現(xiàn)證明等式左右兩邊相等即可。例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+5+9+13+…+（4n﹣3）＝2n2﹣n（n∈N+）．證明：1、當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2×12﹣1＝1，左邊＝右邊，等式成立；2、假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即1+5+9+13+…+（4k﹣3）＝2k2﹣k，那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊＝1+5+9+13+…+（4k﹣3）+（4k+1）＝2k2﹣k+4k+1＝2k2+3k+1＝2（k+1）2﹣（k+1），等式成立．綜1、2所述，1+5+9+13+…+（4n﹣3）＝2n2﹣n（n∈N+）．類型三：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式問題方面有著廣泛的應(yīng)用，可以優(yōu)化解題過程，提高解題效率。在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，若直接進(jìn)行證明，往往難度較大。此時(shí)，需要借助不等式的可加性和傳遞性，細(xì)心觀察，大膽聯(lián)想，適時(shí)假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式的特征關(guān)系，從而使問題迎刃而解。例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：+++…+＞1（n∈N*且n＞1）．證明：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝，∴n＝2時(shí)成立（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2）時(shí)成立，即那么當(dāng)n＝k+1時(shí)，左邊＝＝＞＞1+＞1∴n＝k+1時(shí)也成立根據(jù)（1）（2）可得不等式對(duì)所有的n＞1都成立（8分）類型四：利用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題在數(shù)學(xué)解題過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題，需要借助由特殊到一般的方法。先進(jìn)行猜想，得出一般性結(jié)論用于假設(shè)條件，然后再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，由特殊值開始論證，以驗(yàn)證特殊性的成立。接著，證明假設(shè)條件n=k時(shí)命題成立，從而分析推導(dǎo)出n=k+1時(shí)的命題也成立。例4：平面內(nèi)n條直線最多可將平面分成個(gè)部分．現(xiàn)探究：空間內(nèi)n個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分，n∈N*．設(shè)空間內(nèi)n個(gè)平面最多可將空間分成f（n）＝an3+bn2+cn+1個(gè)部分．（1）求a，b，c的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論．解：（1）由f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，得，解得．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時(shí)，由（1）的計(jì)算可知結(jié)論顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即，那么當(dāng)n＝k+1時(shí)，在k個(gè)平面的基礎(chǔ)上再添上第k+1個(gè)平面，因?yàn)樗颓発個(gè)平面都相交，所以可得到k條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任何3條直線不共點(diǎn)，這k條交線可以把第k+1個(gè)平面劃分成個(gè)部分．每個(gè)部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域，因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了個(gè)，所以f（k+1）＝f（k）+＝+＝，即n＝k+1時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)①②可知，類型五：利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例5：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．證明：在證明n＝k＋1成立時(shí)，為了利用上歸納假設(shè)，需對(duì)n＝k＋1時(shí)的式子進(jìn)行添加項(xiàng)，配湊成n＝k時(shí)的形式．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3，顯然能被x2＋3x＋3整除，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，命題成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1即n＝k+1時(shí)，結(jié)論成立根據(jù)（1）（2）可知，(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．通過以上例題，本文對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，及在高中數(shù)學(xué)中和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除問題和幾何問題等，一些常見題型中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的舉例，并通過相應(yīng)的例題對(duì)這幾種方法進(jìn)行了剖析，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法有了更進(jìn)一步的了解。縱觀科技迅速發(fā)展的今天，人們對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的研究已經(jīng)取得了巨大的進(jìn)步，對(duì)于如何更好、更廣泛的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法仍需要我們繼續(xù)努力研究。何時(shí)用歸納法何時(shí)不用，高中數(shù)學(xué)歸納法還可以在哪些領(lǐng)域應(yīng)用，還有待我們進(jìn)一步仔細(xì)研究和探索。Reference：[1]邱奉美，劉嶠.數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013(03).[2]吳值飛.數(shù)學(xué)歸納法