2023年等差數(shù)列前n項(xiàng)和課堂實(shí)錄

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦等差數(shù)列前n項(xiàng)和課堂實(shí)錄23、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是《一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教A版）中其次章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）．本節(jié)課主要討論如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實(shí)際生活中常常碰到的一類問題．同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列討論的基本問題，通過對公式推導(dǎo)，可以讓同學(xué)進(jìn)一步把握從特別到普通的討論問題辦法．

二、同學(xué)學(xué)習(xí)狀況分析

在本節(jié)課之前同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，也對高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；同時(shí)同學(xué)已有了函數(shù)學(xué)問，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想．高斯的算法與普通的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對法引出倒序相加法，這是同學(xué)學(xué)習(xí)的障礙．

三、設(shè)計(jì)思想

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是同學(xué)樂觀主動(dòng)地建構(gòu)學(xué)問的過程，因此，應(yīng)當(dāng)讓同學(xué)在詳細(xì)的問題情境中經(jīng)受學(xué)問的形成和進(jìn)展，讓同學(xué)利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的學(xué)問與閱歷，自主地在老師的引導(dǎo)下促進(jìn)對新學(xué)問的建構(gòu)．在教學(xué)過程中，按照教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開頭，探索這種辦法如何推廣到普通等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．通過設(shè)計(jì)一些從容易到復(fù)雜，從特別到普通的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)同學(xué)獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)同學(xué)綻開自主、合作、探索學(xué)習(xí)，通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓同學(xué)在問題解決中學(xué)會(huì)思量、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．同時(shí)按照我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成果優(yōu)秀同學(xué)的進(jìn)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探究題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的．

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；把握并能嫻熟運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通過公式的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)從特別到普通的討論辦法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培養(yǎng)同學(xué)觀看、歸納、反思的能力；通過小組研究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)同學(xué)合作溝通、自立思量等良好的共性品質(zhì)．

五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探究并把握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題；難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得．

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起同學(xué)學(xué)問閱歷的感悟和體驗(yàn)

世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳奇陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多

少寶石嗎？

體展示三角形圖案）

[設(shè)計(jì)意圖]

更普通的應(yīng)用，為新課的講解作鋪

墊．

[學(xué)問鏈接]高斯，德國聞名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。200多年前，高1＋2＋3＋…+100＝？

據(jù)說，當(dāng)其他學(xué)生忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的辦法快速算出了正確答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.

[學(xué)情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和普通的邏輯性．教學(xué)時(shí)，

應(yīng)給同學(xué)提供充裕的時(shí)光和空間，讓同學(xué)自己去觀看、探究發(fā)覺這種數(shù)列的內(nèi)在邏輯．同學(xué)對高斯的算法是認(rèn)識(shí)的，知道采納首尾配對的辦法來求和，但估量他們對這種辦法的熟悉可能處于記憶階段，為了促進(jìn)同學(xué)對這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問題．

（二）由易到難，在自主探索與合作中學(xué)習(xí)

問題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？

該題組織同學(xué)分組研究，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)覺的辦法一一展現(xiàn)．

[學(xué)情預(yù)設(shè)]同學(xué)可能浮現(xiàn)以下求法

辦法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51

辦法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51

辦法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26

以上辦法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，老師應(yīng)舉行充分絕對與表揚(yáng)．

[設(shè)計(jì)意圖]這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問題，若容易地摹仿高斯算法，將浮現(xiàn)不

能所有配對的問題，借此滲透化歸思想．

問題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？

[學(xué)情預(yù)設(shè)]同學(xué)通過激烈的研究后，發(fā)覺n為奇數(shù)時(shí)不能配對，可能會(huì)分n

為奇數(shù)、偶數(shù)的狀況分離求解，老師如何引導(dǎo)同學(xué)避開研究成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵．

[設(shè)計(jì)意圖]從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求普通項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，讓同學(xué)領(lǐng)悟從特別到普通的討論辦法，旨在讓同學(xué)對“首尾配對求和”這一算法的改進(jìn)．

啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形．

[設(shè)計(jì)意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒同學(xué)記憶深處的東西，并為倒序相加法的浮現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型．

通過以上啟發(fā)同學(xué)再自主探索，信任簡單得出解法：

∵1+2+3+…（n－1）+n

n+（n－1）+（n－2）+…+2+1

____________________________________________________________________

(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)

∴1+2+3+…+n=n（n+1）2

問題3：在公差為d的等差

數(shù)列{an}中，定義前n項(xiàng)和

Sn=a1+a2+…+an，如何求

Sn？

由前面的大量鋪墊，同學(xué)應(yīng)

簡單得出如下過程：

∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]

Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]

∴1112()()()n

nnnnSaaaaaa=++++???++個(gè)

1()2

nnnaaS+∴=

(公式1)組織同學(xué)研究：

在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?

即：1(1)2

nnnSnad-=+（公式2）（三）設(shè)置典例，促進(jìn)同學(xué)對公式的應(yīng)用

對于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的同學(xué)在解決一些問題時(shí)，往往不知道該如何選?。蠋煈?yīng)通過適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)同學(xué)對這兩個(gè)公式舉行分析，按照公式各自的特點(diǎn)，協(xié)助同學(xué)恰當(dāng)?shù)靥暨x合適的公式．

例1為了參與冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的5000m長跑競賽，某學(xué)生給自己制定了7天

[設(shè)計(jì)意圖]該例題是將課本P53習(xí)題2.3A組第3題改編成表格形式，可以熬煉同學(xué)處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。同學(xué)可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)動(dòng)身，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)動(dòng)身，選用公式2，通過兩種辦法的比較，引導(dǎo)同學(xué)在解題時(shí)注重挑選適當(dāng)?shù)墓剑员阌谟?jì)算．

例2已知等差數(shù)列5，427，347

，…求(1)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為1257

？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。

[設(shè)計(jì)意圖]通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)基本元素，假如已知其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)，主要是訓(xùn)練同學(xué)的方程（組）思想。第（3）小題是讓同學(xué)初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)．

[學(xué)問鏈接]（1）由211(1)(),222

nnnddSnadnan-=+=+-若令,2dA=1,2

daB-=2,AnBn=+n則S可知當(dāng)0d≠時(shí)，點(diǎn)(,)nnS是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的學(xué)問解決nS的最值問題；

（2）若數(shù)列{}na的前n項(xiàng)和2AnBn=+nS（BA∈R、），則數(shù)列{}na一定是等差數(shù)列；

（3）由2AnBn=+nS，可知SnAnBn=+，點(diǎn),n

Snn?????

在直線上；（4）在等差數(shù)列{}na中，當(dāng)10,0kkaa+>時(shí)，kS最小。

（四）反饋調(diào)控，實(shí)現(xiàn)同學(xué)對學(xué)問的把握

練習(xí)1已知等差數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.

練習(xí)2等差數(shù)列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.

選做題已知函數(shù)f（x）=

，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為

[設(shè)計(jì)意圖]分層練習(xí)使同學(xué)在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主進(jìn)展的空間，讓每一個(gè)同學(xué)都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的同學(xué)都可以

獲得勝利的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教導(dǎo)理念．（五）回顧反思，深入學(xué)問

組織同學(xué)分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想辦法，小組之間相互補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深入．

1.從特別到普通的討論辦法；

2.體味倒序相加的算法，把握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)悟方程（組）思想；

3.前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義

4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

[學(xué)問鏈接]

（六）布置作業(yè)

1.課本P52習(xí)題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題

2.探究題

（1）數(shù)列{

1

n(n+1)

}的前n項(xiàng)和nS=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1