14不等式的證明課件

第1章不等關(guān)系與基本不等式北師大版選修4－5不等式選講§1.4不等式的證明一、教學(xué)目標(biāo)：1.通過不等式的性質(zhì)及常用的證明方法比較法使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題．2.通過揭示問題本質(zhì)特征，使得難解性問題轉(zhuǎn)化為可解性問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的分問題、解決問題的能力并提高邏輯推理能力．二、教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)是較靈活運(yùn)用常規(guī)方法證明不等式教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法三、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式四、教學(xué)過程4、不等式的證明（1）

___比較法

根據(jù)前面學(xué)過的知識(shí)，我們知道可以用比較法來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大小。1、ab>0a>b，

ab<0a<b，

ab=0a=b.

理論根據(jù)：2、若a、b>0,則：（比商法）（比差法）

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論。作商—變形—與1比較大小---下結(jié)論。要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形。嘗試2嘗試3例2.已知都是正數(shù)，并且求證證明：∵都是正數(shù)，

并且

即：

1.本題變形的方法—通分法2.本題的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)：若都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2)作商比較法不等式的證明（2)—分析法

證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定所求證的不等式成立。這種證明方法通常叫做分析法。

用分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的格式是：欲證命題B為真，只需證命題B1為真，只需證命題B2為真，

……

只需證命題Bn為真，只需證命題A為真，令已知命題A為真，故命題B為真。用簡(jiǎn)要的形式寫為：B

B1B2……BnA

結(jié)論（尋求不等式成立的充分條件）條件

分析法的思路是：“執(zhí)果索因”，未知已知

即從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知的不等式為止。例2.求證：.所以為了證明只需證明展開得不等式的證明（3)—綜合法

有時(shí)我們也可以利用已經(jīng)證明過的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)等推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫做綜合法.

綜合法是證明不等式的基本方法，用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：（A為證明過的不等式、公式等，B為要證的結(jié)論）由因?qū)Ч衫?可得一個(gè)重要的不等式：由因?qū)Ч醋C法先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到矛盾，說明假設(shè)不正確，從而間接說明原命題成立的方法。例題例1、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，

abc>0，求證：a,b,c>0

證：設(shè)a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,則b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

與題設(shè)矛盾若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0,c>0

在證明不等式過程中，有時(shí)為了證明的需要，可對(duì)有關(guān)式子適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小，實(shí)現(xiàn)證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據(jù)就是傳遞性。放縮法

1、當(dāng)

n>2時(shí)，求證：

證：∵n>2∴

∴n>2時(shí),考點(diǎn)五不等式的證明——放縮法【證明】∵,∴<2().令k=1,2,3,…,n，則有

<2(-0),<2(-1),<2(-),…,<2(-).以上各式相加得1+++…+<2.證明：不等式1+++…+<2(n∈N*).【分析】此種類型的題宜用放縮法.不等式證明方法(6)幾何法

通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)、特點(diǎn)來證明不等式的方法稱為幾何法。

例1、已知：

求證：證明：在如右圖的正方形ABCD中有兩個(gè)邊長分別為a，b的矩形AHOF和矩形ECGO，DACFEGOBabbaH例2、已知，利用幾何法證明不等式：證明：AC切⊙