《一元二次方程的根與系數(shù)的關系》-教學設計

《一元二次方程的根與系數(shù)關系》教學設計教材分析:本課是在學生已經學習了一元二次方程求根公式的基礎上，對一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系進行再探究，通過本課的學習，使學生進一步了解一元二次方程兩根之和、兩根之積與一元二次方程中系數(shù)之間的關系．教學目標：【知識與能力目標】1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系；2.能運用根與系數(shù)的關系解決具體問題.【過程與方法】經歷探索一元二次方程根與系數(shù)的關系的過程，體驗觀察→發(fā)現(xiàn)→猜想→驗證的思維轉化過程，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.【情感態(tài)度與價值觀】通過觀察、歸納獲得數(shù)學猜想，體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，理解事物間相互聯(lián)系、相互制約的辯證唯物主義觀點，掌握由“特殊——一般——特殊”的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生勇于探索的精神.教學重難點：【教學重點】一元二次方程根與系數(shù)的關系及其應用.【教學難點】探索一元二次方程根與系數(shù)的關系.課前準備：多媒體教學過程：問題1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？（3）當Δ>0，Δ＝0，Δ<0時，一元二次方程根的情況如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[師生活動]教師指導學生回憶知識，學生進行口答，教師指出重點．[答]（1）一元二次方程一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)；當△≥0時，一元二次方程有兩個實數(shù)根；當△＞0時，一元二次方程有兩個不等實根；當△=0時，一元二次方程有兩個相等實根；當△＜0時，一元二次方程沒有實根；方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為（△≥0）.【設計意圖】通過對一元二次方程相關知識的復習鞏固舊知識，并為新知識的學習做鋪墊。問題2：請完成下面的表格觀察、思考表格中方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關系，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你有什么發(fā)現(xiàn)？【設計意圖】學生通過計算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關系，發(fā)展學生的感性認識，體會由特殊到一般的認識過程。問題3：（1）填寫上表后思考：①運用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能解答下列問題嗎？已知方程x2-4x-7=0的根為x1，x2，則x1+x2=，x1·x2=；已知方程x2+3x-5=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=，x1·x2=.已知方程2x2－3x－2＝0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=，x1·x2=.[答案]4，-7；-3，-5；，-1.②如果方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，你知道x1+x2和x1·x2與方程系數(shù)之間的關系嗎？[回答]若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根分別為x1和x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).③如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？[論證結論]教師與學生共同整理證明過程：證明：當Δ>0時，由求根公式得x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，所以x1＋x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq\f(2b,2a)＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(（－b）2－（b2－4ac）,4a2)＝eq\f(c,a)；當Δ＝0時，x1＝x2＝－eq\f(b,2a).所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[歸納并板書]根與系數(shù)關系：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根分別為x1和x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[文字表達]一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.【設計意圖】①進一步分析、驗證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關系，為從感性到理性打好基礎．②通過設置問題2使學生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行計算需要滿足Δ≥0.③探究根與系數(shù)關系的結論，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。問題4：例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求下列方程的兩個根x1，x2的和與積．(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.[師生活動]學生自主進行解答，教師做好評價和總結．[注意]把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，比較b2－4ac與0的大小，然后利用根與系數(shù)的關系代入求值．[解]（1）x1+x2=6，x1·x2=-15；x1+x2=，x1·x2=；方程化為4x2-5x+1=0，∴x1+x2=，x1·x2=.變式練習1已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2等于(C)－4B．－1C．1D．4變式練習2若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩個實數(shù)根，求x1＋x2－x1x2的值．[解]由根與系數(shù)關系得，x1+x2=2，x1·x2=-1，∴x1＋x2－x1x2=2-（-1）=3.【設計意圖】問題的設置是針對本課時的重點所學進行及時鞏固，也是培養(yǎng)學生計算能力和熟記公式的關鍵。問題5：例2已知方程x2-x+c=0的一根為3，求方程的另一根及c的值.[分析]設方程的另一根為x1，可通過求兩根之和求出x1的值；再用兩根之積求c，也可將x=3代入方程求出c值.再利用根與系數(shù)關系求x1值.[解]設方程另一根為x1，由x1+3=1，∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c，∴c=-6.例3已知方程x2-5x-7=0的兩根分別為x1，x2，求下列式子的值：（1）x12+x22；（2）.[分析]將所求代數(shù)式分別化為只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根與系數(shù)的關系，可求其值.[解]∵方程x2-5x-7=0的兩根為x1，x2，∴x1+x2=5，x1·x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39；(2)=【設計意圖】例2側重于逆用根與系數(shù)關系，應注意引導學生進行正確思考；而例3側重于利用根與系數(shù)的關系，進行代數(shù)式求值，這里將代數(shù)式轉化為只含有x1+x2及x1·x2的式子是解決問題的關鍵，應引導學生關注這類變形方法.教學過程中仍應讓學生先自主探究，獨立完成，最后教師再予以評講，讓學生理解并掌握根與系數(shù)的關系；對于學生在探索過程中的成績和問題也給予評析，進行反思。問題6：例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的兩個實數(shù)根，且x12·x22-x1-x2=115，（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.[分析]將x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此時需用Δ=b2-4ac來判斷k的取值，這是本例的關鍵.[解]（1）由題意有x1+x2=6，x1·x2=k.∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115，∴k=11或k=-11.又∵方程x2-6x+k=0有實數(shù)解，∴Δ=(-6)2-4k≥0，∴k≤9.∴k=11不合題意應舍去，故k的值為-11；(2)由(1)知，x1+x2=6，x1·x2=-11，∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【設計意圖】設置本例的目的在于引導學生正確認識根與系數(shù)的關系和根的判別式之間的不可分割的特征.教學時應予以強調。問題6.1課堂總結：(1)本節(jié)課主要學習了哪些知識？學習了哪些數(shù)學思想和方法？(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！2．布置作業(yè)：教材第17頁習題21.2第7題．3.知識結構圖：教學反思：1.從熟知的解法解一元二次方程的過程中探索根與系數(shù)的關系，并發(fā)現(xiàn)可用系數(shù)表示的求根公式來證明這個關系，再通過問題探討幫助學生運用這個關系解決問題，注重了知識產生、發(fā)展和出現(xiàn)的過程