高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新人教A)9.6空間向量及其運(yùn)算（B）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9.6空間向量及其運(yùn)算（B）●知識梳理空間兩個(gè)向量的加法、減法法則類同于平面向量，即平行四邊形法則及三角形法則.a·b=｜a||b|cos〈a，b〉。a2=｜a|2.a與b不共線,那么向量p與a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x、y，使p=xa+yb.a、b、c不共面，空間的任一向量p，存在實(shí)數(shù)x、y、z，使p=xa+yb+zc?！顸c(diǎn)擊雙基1.在以下四個(gè)式子中正確的有a+b·c,a·（b·c）,a（b·c)，｜a·b|=|a|｜b|A。1個(gè) B。2個(gè) C。3個(gè) D.0個(gè)解析：根據(jù)數(shù)量積的定義,b·c是一個(gè)實(shí)數(shù),a+b·c無意義。實(shí)數(shù)與向量無數(shù)量積，故a·（b·c）錯(cuò)，|a·b｜=|a｜|b｜｜c(diǎn)os<a，b〉｜，只有a(b·c）正確.答案：A2.設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是A.{a+b，b－a，a｝ B。{a+b,b－a，b｝C。{a+b，b－a，c｝ D。{a+b+c,a+b,c}解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a,c不共面,故可作為空間的一個(gè)基底，故選C。答案：C3.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，向量、、是A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長的向量C。共面向量 D。不共面向量解析:∵－==，∴、、共面。答案：C4.已知a=(1，0），b=（m，m）(m＞0)，則〈a,b>=_____________。答案：45°5.已知四邊形ABCD中,=a－2c，=5a+6b－8c，對角線AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則=_____________.解析：∵=++，又=++，兩式相加，得2=（+)+（+）+（+）?！逧是AC的中點(diǎn),故+=0。同理，+=0?！?=+=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴=3a+3b－答案:3a+3b－●典例剖析【例1】證明空間任意無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)A、B、C、D共面的充分必要條件是:對于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z。剖析：要尋求四點(diǎn)A、B、C、D共面的充要條件,自然想到共面向量定理.解:依題意知，B、C、D三點(diǎn)不共線，則由共面向量定理的推論知：四點(diǎn)A、B、C、D共面對空間任一點(diǎn)O,存在實(shí)數(shù)x1、y1，使得=+x1+y1=+x1（－）+y1(－）=(1－x1－y1）+x1+y1,取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1,則有=x+y+z，且x+y+z=1.特別提示向量基本定理揭示了向量間的線性關(guān)系，即任一向量都可由基向量唯一的線性表示，為向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ).共（線）面向量基本定理給出了向量共（線）面的充要條件，可用以證明點(diǎn)共（線）面.本題的結(jié)論，可作為證明空間四點(diǎn)共面的定理使用?！纠?】在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離.解：如下圖，因?yàn)椤螦CD=90°，所以·=0.同理，·=0.因?yàn)锳B與CD成60°角，所以〈,〉=60°或120°。因?yàn)?＋＋,所以2=2＋2＋2＋2·＋2·＋2·=2＋2＋2＋2·=3＋2×1×1×cos<，〉=4(〈，>=60°）,2（<，>=120°)。所以|｜=2或,即B、D間的距離為2或?！纠?】在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點(diǎn)E求證:(1）BD1⊥平面ACB1；(2）BE=ED1.證明：(1)我們先證明BD1⊥AC?！?++，=+,∴·=(++）·（+)=·+·=·－·=｜|2－｜｜2=1－1=0.∴BD1⊥AC。同理可證BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1。（2）設(shè)底面正方形的對角線AC、BD交于點(diǎn)M，則==，即2=.對于空間任意一點(diǎn)O，設(shè)=b，=m，=b1，=d1，則上述等式可改寫成2（m－b）=d1－b1或b1+2m=d1+2b。記==e.此即表明，由e向量所對應(yīng)的點(diǎn)E分線段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，所以點(diǎn)E既在線段B1M(B1M面ACB1）上又在線段D1B上，所以點(diǎn)E是D1B與平面ACB1之交點(diǎn),此交點(diǎn)E將D1B分成2與1之比,即D1E∶EB=2∶1.∴BE=ED1。思考討論利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點(diǎn)共面、求長度、求夾角等問題?！耜J關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)c，則下列式子中與相等的是A.－a+b+c B.a+b+cC.a－b+c D。－a－b+c解析:=+=+(+）=－+=c－a+b,故選A.答案：A2。O、A、B、C為空間四個(gè)點(diǎn)，又、、為空間的一個(gè)基底，則A。O、A、B、C四點(diǎn)不共線 B.O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線C.O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線 D.O、A、B、C四點(diǎn)不共面解析：由基底意義，、、三個(gè)向量不共面，但A、B、C三種情形都有可能使、、共面.只有D才能使這三個(gè)向量不共面，故應(yīng)選D.答案：D3.已知a+3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，解析：由條件知（a+3b)·（7a－5b）=7｜a｜2－15｜b｜2+16a·b=0，及(a－4b）·（7a7|a｜2+8｜b｜2－30a·b=0。兩式相減得46a·b=23｜b｜2,∴a·b=|b｜2.代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，即可得到|a|=|b|?！郼os<a，b〉===.∴〈a，b〉=60°。答案：60°4。試用向量證明三垂線定理及其逆定理。已知：如下圖，PO、PA分別是平面α的垂線和斜線，OA是PA在α內(nèi)的射影，aα，求證：a⊥PAa⊥OA。證明：設(shè)直線a上非零向量a，要證a⊥PAa⊥OA，即證a·=0a·=0.∵aα，a·=0，∴a·=a·（+）=a·+a·=a·.∴a·=0a·=0，即a⊥PAa⊥OA.評述：向量的數(shù)量積為零是證明空間直線垂直的重要工具.在應(yīng)用過程中，常需要通過加、減法對向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，當(dāng)然，轉(zhuǎn)換的方向是有利于計(jì)算向量的數(shù)量積.5。直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1,BC1⊥A1C,求證:AB1=A證明：∵==·∴AB=AC.又A1A=B1B，∴A1C=AB評述:本題在利用空間向量來解決位置關(guān)系問題時(shí)，要用到空間多邊形法則、向量的運(yùn)算、數(shù)量積以及平行、相等和垂直的條件.培養(yǎng)能力6。沿著正四面體OABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2、3的三個(gè)力f1、f2、f3。試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.解：用a、b、c分別代表棱、、上的三個(gè)單位向量，則f1=a，f2=2b，f3=3c，則f=f1+f2+f3=a+2b+3c,+6｜a|｜c(diǎn)｜c(diǎn)os<a，c〉+12|b｜｜c(diǎn)|cos〈b，c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25?！啵黤|=5，即所求合力的大小為5，且cos<f，a〉====.同理，可得cos〈f,b〉=，cos〈f，c〉=.7.在空間四邊形ABCD中，求證：·+·+·=0.證法一:把拆成+后重組,·+·+·=（+）·+·+·=·+·+·+·=·（+）+·(+）=·+·=·（+）=·0=0.證法二：如下圖，設(shè)a=,b=，c=，則·+·+·=(b－a）·（－c）+（c－a)·b+（－a）·（c－b）=－b·c+a·c+c·b－a·b－a·c+a·b=0。評述：把平面向量的運(yùn)算推廣到空間后，許多基本的運(yùn)算規(guī)則沒有變。證法一中體現(xiàn)了向量的拆分重組技巧,要求較高；證法二設(shè)定三個(gè)向量為基底,而原式中所有向量化歸為關(guān)于a、b、c的式子,化簡時(shí)的思路方向較清楚。探究創(chuàng)新8.如下圖，已知四棱錐P—ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；(2)求面APB與面CPB所成二面角的大小。（1）解:如下圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點(diǎn)O。連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PE?！逜D⊥PB，∴AD⊥OB?！逷A=PD，∴OA=OD.于是OB平分AD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴PE⊥AD。由此知∠PEB為面PAD與面ABCD（2)解法一：如下圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA.P（0，0,），B（0，，0）,PB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，，)，連結(jié)AG。又知A(1，，0）,C（－2，，0)。由此得到=（1，－，－)，=（0，,－），=（－2，0，0）.于是有·=0，·=0，∴⊥，⊥。，的夾角θ等于所求二面角的平面角。于是cosθ==－,∴所求二面角的大小為π－arccos。BC，F(xiàn)G=BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，F(xiàn)G⊥PB?！唷螦GF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°。在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，在Rt△GAE中，AE=AD=1,于是tan∠GAE==.又∠AGF=π－∠GAE，∴所求二面角的大小為π－arctan?！袼嘉蛐〗Y(jié)1.若表示向量a1，a2，…，an的有向線段終點(diǎn)和始點(diǎn)連結(jié)起來構(gòu)成一個(gè)封閉折圖形,則a1＋a2＋a3＋…＋an=0.2.應(yīng)用向量知識解決幾何問題時(shí)，一方面要選擇恰當(dāng)?shù)幕蛄?，另一方面要熟練地進(jìn)行向量運(yùn)算。●教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1。要使學(xué)生正確理解空間向量的加法法則、減法法則以及空間向量的數(shù)量積，掌握空間向量平行、垂直的條件及三個(gè)向量共面及四點(diǎn)共面的條件。2?？臻g中的任何一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量線性表示，這三個(gè)向量也稱為一個(gè)基底.在證明兩個(gè)向量平行、垂直或求其夾角時(shí),往往把它們用同一個(gè)基底來表示,從而實(shí)現(xiàn)解題的目的.拓展題例【例1】下列命題中不正確的命題個(gè)數(shù)是①若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有+++=0②|a|－|b｜=｜a+b｜是a、b共線的充要條件③若a、b共線,則a與b所在直線平行④對空間任意點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R）,則P、A、B、C四點(diǎn)共面A.1 B。2 C.3 D.4解析：易知只有①是正確的，對于④,若O平面ABC，則、、不共面，由空間向量基本定理知，P可為空間任一點(diǎn),所以P、A、B、C四點(diǎn)不一定共面.答案：C【例2】A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，試求MN的長.解：連結(jié)AM并延長與BC相交于E，連結(jié)AN并延長與CD相交于E，則E