工學結(jié)構(gòu)力學課件9

2023/6/51第九章位移法2023/6/52§9-1位移法的基本概念ABCPθAθA荷載效應包括：內(nèi)力效應：M、Q、N；位移效應：θAABCPθAθA附加剛臂附加剛臂限制結(jié)點位移，荷載作用下附加剛臂上產(chǎn)生附加力矩施加力偶使結(jié)點產(chǎn)生的角位移，以實現(xiàn)結(jié)點位移狀態(tài)的一致性。ABC2023/6/53ABCPθAθA實現(xiàn)位移狀態(tài)可分兩步完成：分析：1）疊加兩步作用效應，約束結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的荷載特征及位移特征完全一致，則其內(nèi)力狀態(tài)也完全相等；2）結(jié)點位移計算方法：對比兩結(jié)構(gòu)可發(fā)現(xiàn)，附加約束上的附加內(nèi)力應等于0，按此可列出基本方程。1）在可動結(jié)點上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產(chǎn)生附加約束力；2）在附加約束上施加外力，使結(jié)構(gòu)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)一致的結(jié)點位移。2023/6/54位移法基本作法小結(jié):（1）基本未知量是結(jié)點位移；（2）基本方程的實質(zhì)含義是靜力平衡條件；（3）建立基本方程分兩步——單元分析（拆分）求得單元剛度方程，整體分析（組合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由桿件的剛度方程求出桿件內(nèi)力，畫彎矩圖。ABABCPCPA關于剛架的結(jié)點未知量2023/6/551MABMBA§9-2等截面桿件的剛度方程一、由桿端位移求桿端彎矩（1）由桿端彎矩MABMBAlMABMBA利用單位荷載法可求得設同理可得1

桿端力和桿端位移的正負規(guī)定①桿端轉(zhuǎn)角θA、θB，弦轉(zhuǎn)角

β＝Δ/l都以順時針為正。②桿端彎矩對桿端以順時針為正對結(jié)點或支座以逆時針為正。EI2023/6/56EIMABMBAlMABMBA（2）由于相對線位移引起的A和B以上兩過程的疊加我們的任務是要由桿端位移求桿端力，變換上面的式子可得：2023/6/57ΔθAθB用力法求解單跨超靜定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令2023/6/58可以將上式寫成矩陣形式12342023/6/59AMAB幾種不同遠端支座的剛度方程（1）遠端為固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）遠端為固定鉸支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）遠端為定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI2023/6/510由單位桿端位移引起的桿端力稱為形常數(shù)。單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i02023/6/511二、由荷載求固端反力mABEIqlEIqlmBA

?在已知荷載及桿端位移的共同作用下的桿端力一般公式（轉(zhuǎn)角位移方程）：2023/6/512§9-3位移法的基本體系一、超靜定結(jié)構(gòu)計算的總原則:

欲求超靜定結(jié)構(gòu)先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結(jié)構(gòu)完全一樣。

力法的特點：基本未知量——多余未知力；基本體系——靜定結(jié)構(gòu)；基本方程——位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）

位移法的特點：基本未知量——

基本體系——

基本方程——

獨立結(jié)點位移平衡條件？一組單跨超靜定梁2023/6/513二、基本未知量的選取2、結(jié)構(gòu)獨立線位移：（1）忽略軸向力產(chǎn)生的軸向變形---變形后的曲桿與原直桿等長；（2）變形后的曲桿長度與其弦等長。上面兩個假設導致桿件變形后兩個端點距離保持不變。

CDABCD12每個結(jié)點有兩個線位移，為了減少未知量，引入與實際相符的兩個假設：1、結(jié)點角位移數(shù)：結(jié)構(gòu)上可動剛結(jié)點數(shù)即為位移法計算的結(jié)點角位移數(shù)。2023/6/514線位移數(shù)也可以用幾何方法確定。140

將結(jié)構(gòu)中所有剛結(jié)點和固定支座，代之以鉸結(jié)點和鉸支座，分析新體系的幾何構(gòu)造性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結(jié)構(gòu)位移法計算時的線位移數(shù)。2023/6/5158m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)三、選擇基本體系四、建立基本方程2023/6/5161.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0………………(1a)F21+F22+F2P=0………………(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0………..(1)=0………..(2)k111+k122+F1Pk211+k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21=-1.5ik12=-1.5i2023/6/517F1PABCDF2P4kN`·m4kN·mMPF2P040F1P-6F1P=4kN·mF2P=-6kN位移法方程：六、繪制彎矩圖4.4213.625.691.4M(kN·m)ABCD五、計算結(jié)點位移2023/6/518k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji具有n個獨立結(jié)點位移的超靜定結(jié)構(gòu)：第四節(jié)無側(cè)移剛架的計算

1、無側(cè)移剛架基本未知量的判定：

結(jié)構(gòu)上剛結(jié)點的獨立角位移數(shù)=結(jié)構(gòu)上的自由剛結(jié)點數(shù)

其位移法基本未知量等于：(a)(b)(c)(d)返回說明：1）強調(diào)：位移法基本未知量是結(jié)構(gòu)中自由結(jié)點上的獨立結(jié)點位移。對于無側(cè)移剛架來說，結(jié)點上的獨立角位移是自由剛結(jié)點上的角位移。

3）直桿的突變截面處視為剛結(jié)點。

2)結(jié)構(gòu)的自由剛結(jié)點，指連接了兩個及兩個以上桿件的剛結(jié)點。注意剛結(jié)點處也會有支座鏈桿，見圖（c）。2、位移法解無側(cè)移剛架

例9-4-1

試用位移法計算圖(a)所示連續(xù)梁，并作梁的彎矩圖。

(a)解1)確定位移法基本未知量圖(b)

(b)2)由結(jié)點B的平衡條件建立位移法典型方程

3)繪出剛臂發(fā)生單位位移的彎矩圖和荷載作用下的彎矩圖

4)利用靜力平衡條件計算各系數(shù)和自由項

5)求解典型方程，得到基本未知量6）疊加作梁的彎矩圖，見圖(f)

(f)7）利用隔離體平衡條件，做剪力和軸力圖例9-4-2

用位移法計算圖(a)所示剛架，繪M圖。

(a)解1)剛架有兩個角位移未知量z1、z2，見圖(b)所示。

(b)2)建立位移法方程

3)計算系數(shù)；求解方程；繪制彎矩圖見圖(c)。

4)校核(c)有側(cè)移剛架第五節(jié)有側(cè)移剛架的計算

有結(jié)點獨立線位移未知量的剛架。

側(cè)移結(jié)點線位移使某些桿件兩端沿其桿軸線垂直方向發(fā)生相對線位移。1、結(jié)構(gòu)線位移未知量的判斷

(a)(b)(c)(d)

由兩個已知不動點引出軸線不在一條線上的兩根受彎直桿（或剛性鏈桿）相交的一點也是不動點。這里所說得不動點，指無線位移的結(jié)點。

附加鏈桿法

(a)(b)(a)(a1)(b)(b1)(b2)用附加鏈桿法判斷結(jié)構(gòu)的線位移未知量，一般先考慮桿端交于（剛接或鉸接）一點的兩根桿件，兩桿的另一端應至少有一端是不動點（固定端或固定鉸）。

說明：例9-5-1

判定圖示結(jié)構(gòu)的位移法基本未知量。

(a)(a1)(a2)(b)(b1)(b2)說明：1)軸向剛度條件對于曲桿不適用。

(d)(d1)(c)2、位移法解有側(cè)移剛架例9-5-2

用位移法計算圖(a)所示剛架，并作剛架的剪力圖、彎矩圖。

已知，L=6m，q=4kNm。

(a)解：1)確定位移法基本未知量

(b)2)由平衡條件建立位移法典型方程

3)繪出剛臂發(fā)生單位位移的彎矩圖和荷載作用下的彎矩圖

4)利用靜力平衡條件計算各系數(shù)和自由項

5)求解典型方程，得到基本未知量6)計算桿端彎矩和剪力，繪內(nèi)力圖

(c)(d)FQ圖(kN)

M圖(kNm)

例9-5-3

用位移法計算圖(a)所示剛架，并作彎矩圖。

(a)解：1)確定位移法基本未知量(b)2)由平衡條件建立位移法典型方程

3)繪出剛臂發(fā)生單位位移的彎矩圖和荷載作用下的彎矩圖

4)利用靜力平衡條件計算各系數(shù)和自由項

5)求解典型方程，得到基本未知量6)計算桿端彎矩和剪力，繪內(nèi)力圖

第六節(jié)

位移法的對稱性利用

例9-6-1

利用對稱性，計算圖示剛架，并作彎矩圖。

(d)(e)(f)(g)由圖(f)、(g)計算：

代入位移法方程求解：

計算桿端彎矩：

（上側(cè)受拉）

（上側(cè)受拉）

（下側(cè)受拉）

（左側(cè)受拉）

（右側(cè)受拉）

(h)正對稱荷載下彎矩圖（kNm）

2）反對稱荷載下的計算

(i)(j)(k)(l)代入位移法方程求解：計算桿端彎矩：

（上側(cè)受拉）

（上側(cè)受拉）

（右側(cè)受拉）

（左側(cè)受拉）

反對稱荷載下彎矩圖（kNm）

最后彎矩圖（kNm）

3)疊加繪結(jié)構(gòu)最后彎矩圖

(a)

(b)

(c)

(d)

例9-6-2

確定圖示對稱結(jié)構(gòu)的位移法基本結(jié)構(gòu)。(a1)正對稱變形圖

(a2)反對稱變形圖

解考慮對稱軸（即中柱）上結(jié)點C為鉸接點，并考慮由于中柱只產(chǎn)生軸力，在相應的半剛架中去掉不影響結(jié)構(gòu)彎矩計算。因而有正、反對稱半剛架見圖(a1—2)、(a2—2)。(a1—1)

(a1—2)

(a2—1)

(a2—2)

(b1)正對稱變形

(b1—1)

(b1—2)

(b2—1)

(b2—2)

(b2)反對稱變形

(c1)正對稱變形

(c1—1)

(c2—2)

(c2—1)

(c2—2)

(c2)反對稱變形

(d1—1)

(d1反對稱變形

)

(d1—2)

(d2反對稱變形

)

(d2—1)

(d2—2)

§9-7有側(cè)移的斜柱剛架

對于有側(cè)移的斜柱剛架在計算上的特點是，確定基本結(jié)構(gòu)發(fā)生線位移時與平行柱的區(qū)別,見圖a和圖b。

對于圖a，在單位線位移作用下，兩平行柱的兩端相對線位移數(shù)值相同，且都等于1，而橫梁僅平行移動，其兩端并無相對線位移，故不彎曲。而對于圖b則就不同了，在單位線位移作用下，桿AB、CD的垂直線位移不等于1，水平桿BC的兩端產(chǎn)生了相對線位移，發(fā)生彎曲變形。因此，在非平行柱剛架中，在單位線位移作用下：（1）柱與橫梁發(fā)生彎曲；（2）各桿端垂直于桿軸線的相對線位移亦各不相同。

如何確定對于斜柱剛架在當結(jié)點發(fā)生線位移時各桿兩端的相對線位移？以下面圖所示一具有斜柱剛架發(fā)生結(jié)點線位移的情為例來說明。

應該注意到，各桿的線位移雖然不同，但它們是互相有關的。確定當結(jié)點發(fā)生單位線位移時各桿兩端的相對線位移，可采用作結(jié)點位移圖的方法。首先將剛結(jié)點改為鉸，然后觀察在單位線位移條件下各結(jié)點的新位置及由此所產(chǎn)生的線位移數(shù)值方向。

圖a：結(jié)點A的線位移垂直于桿AB，其水平位移分量為1。由此可確定B的新位置。當機構(gòu)ABCD作機動時，桿CD將繞鉸D轉(zhuǎn)動，故鉸C的位移必垂直于桿CD。于是在的作用下，桿BC將最終占有位置。桿件BC的運動可分解為平移（從BC到）與轉(zhuǎn)動（從到）。因此，各桿的相對線位移為（圖b）：作結(jié)點位移圖的方法（圖b）如下所述：

只需直接作出三角形即可。其方法為：任選一點O代表位移為零的點，如A、D點，稱為極點。按適當比例繪出，然后作OB垂直于桿AB；再過B點作桿BC的垂線；又過O點作桿CD的垂線，便得出交點C。在此圖中，向量OB、OC即代表B、C點的位移，而AB、BC、CD則代表AB桿、BC桿、CD桿兩端的相線位移。則圖b稱為結(jié)點位移圖。例5-3由圖d得：桿AB兩端相對線位移為，桿CD兩端相對線位移由圖f得：由圖g得：由圖h得由圖i得由圖j得將各系數(shù)和自由項代如位移法基本方程，得按疊加法繪最后彎矩圖試用位移法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。EI=常數(shù)。第八節(jié)力法和位移法的聯(lián)合應用§9-8-1聯(lián)合法用位移法計算圖a所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。

聯(lián)合法：上述這種求解同一問題時，聯(lián)合應用力法、位移法求解的方法，稱為聯(lián)合法。

注意點：用聯(lián)合法求解對稱結(jié)構(gòu)時，每個半結(jié)構(gòu)的計算簡圖的求解是很方便的，但從半結(jié)構(gòu)的結(jié)果，利用對稱性和進行疊加時必須細心，否則將前功盡棄?！?-8-2混合法

前面介紹的超靜定結(jié)構(gòu)的解法，即使是聯(lián)合法，對每一個計算簡圖選用基本結(jié)構(gòu)未知量都是相同性質(zhì)的，但對圖示結(jié)構(gòu)，不管是用位移法或力法，其位知數(shù)數(shù)目均7個，手算是不可能的。

分析：左邊“主廠房”部分一次超靜定，但獨立位移有5個。由邊“附屬廠房”部分獨立位移只有2個，而超靜定次數(shù)為六次。如果左邊部分以力作未知量，右邊部分以位移作未知量，混合用兩類未知量的總未知量只有3個，如圖所示。下面說明混合法解題思路

此例說明,解決問題不能墨守成規(guī)，要深刻理解和掌握力學概念、原理和方法，在此基礎上靈活應用知識，才能既好又省地解決問題。95§9-9支座移動和溫度改變時的計算基本方程和基本未知量以及作題步驟與荷載作用時一樣，只是荷載引起的固端反力一項不同。lliiABCΔliD5.1M圖一、支座移動時的計算96lliiABCΔlliiABClliiABCΔ/2Δ/2Δ/2Δ/2li