線性方程組的數(shù)值解法

線性方程組的數(shù)值解法第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一各種類型的矩陣對(duì)角矩陣三對(duì)角矩陣上三角矩陣Hessenberg陣對(duì)稱矩陣埃爾米特矩陣對(duì)稱正定矩陣正交矩陣酉矩陣初等置換陣置換陣第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一三、線性方程組的兩類解法直接法迭代法四、本講內(nèi)容安排解線性方程組的直接方法高斯消去法矩陣三角分解法高斯主元素消去法√√第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

Matlab與線性方程組求解解線性方程組的迭代法雅可比迭代法高斯-賽德?tīng)柕ㄖ鸫纬沙诘ā獭痰谒捻?yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)有線性方程組：AX=b高斯消去法如何求解一般線性方程組？一、高斯消去法§2解線性方程組的直接方法第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1）消元過(guò)程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到高斯消去法的步驟：即消去第2至第n個(gè)方程中的未知數(shù)x1第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中第n-1步：……（2）回代過(guò)程第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一若則第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一說(shuō)明：若線性方程組的系數(shù)矩陣非奇異，則它總可以通過(guò)帶行交換的高斯消去法進(jìn)行求解。定理5(1)可以通過(guò)高斯消去法求解。(2)系數(shù)矩陣非奇異，總可以通過(guò)帶行交換的高斯消去法進(jìn)行求解。第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一算法歸納：

第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一乘除法運(yùn)算工作量消元過(guò)程乘除法次數(shù)：回代過(guò)程乘除法次數(shù)：總的乘除法運(yùn)算次數(shù)：非零判斷次數(shù)最多為：行交換的元素個(gè)數(shù)為：第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)有線性方程組：AX=b矩陣三角分解法包括不選主元和選主元兩種方法。1、不選主元三角分解算法

當(dāng)A非奇異時(shí)，可以將A作LU分解：二、矩陣三角分解法第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中：(矩陣LU分解)第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是，可以通過(guò)求解兩個(gè)三角形方程組得到原方程組的解。求解線性方程組的計(jì)算公式第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：利用LU分解法求解方程組第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一考慮線性方程組也就是Ax=b.(2.1)進(jìn)行矩陣分裂A=M-N,(2.2)其中M為可選擇的非奇異矩陣,且使Mx=d容易求解.于是,Ax=b?x=M-1Nx+M-1b.可得一階定常迭代法。§3解線性方程組的迭代法第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一一階定常迭代法：第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、雅可比迭代法可以得到雅可比迭代法的計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、高斯—塞德?tīng)柕ㄟ€可根據(jù)迭代計(jì)算公式：對(duì)k=0,1,…,稱為高斯—塞德?tīng)柕?第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一高斯—塞德?tīng)柕ㄋ惴枋觯旱诙?yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：求解如下線性方程組：取初值x(0)=(0,0,0)T,解：第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一高斯—塞德?tīng)柕ㄓ值葍r(jià)于：對(duì)k=0,1,…,第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4Matlab與線性方程組求解線性方程組AX=B的Matlab求解函數(shù)⑴X=A\B左除法⑵X=inv(A)*B高斯法⑶[L,U]=lu(X)LU法⑷[L,U]=luinc(X,‘0’)不完全LU分解法⑸[x,flag,relres,iter]=cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)共軛梯度法⑹[x,flag,relres,iter]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)預(yù)共軛梯度法⑺[x,flag,relres,iter]=bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)雙共軛梯度法⑻[x,flag,relres,iter]=bicgstab(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)雙共穩(wěn)軛梯度法第二十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一⑼[x,flag,relres,iter]=lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小二乘法⑽[x,flag,relres,iter]=gmres(A,b,restart,tol,maxit,M1,M2,x0)廣義殘余法⑾[x,flag,relres,iter]=minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)最小殘余法⑿[x,flag,relres,iter]=symm