平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”教學(xué)方案教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算。過程與方法：在對(duì)平面向量坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中使學(xué)生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發(fā)展，利用圖形解決問題，也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力的重要性。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際生產(chǎn)、生活的密切聯(lián)系，體會(huì)客觀世界中事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：平面向量坐標(biāo)表示的意義。教學(xué)方法：結(jié)合本節(jié)課的目標(biāo)要求、重難點(diǎn)的確定以及學(xué)生實(shí)際思維水平，教學(xué)設(shè)計(jì)中采取啟發(fā)引導(dǎo)、類比歸納、合作探究、實(shí)踐操作等教學(xué)方法。教學(xué)手段：投影儀、多媒體軟件教學(xué)過程1.情境創(chuàng)設(shè)教師借助多媒體動(dòng)畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節(jié)課的問題情境引入課題，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結(jié)合同學(xué)們的生活常識(shí)及物理學(xué)知識(shí)，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？學(xué)生回答：速度可按豎直和水平兩個(gè)方向進(jìn)行分解設(shè)計(jì)目的：情境與生活聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為下面展開的知識(shí)做好鋪墊。2.展開探究問題一：平面向量的基本定理內(nèi)容是什么？教師請(qǐng)一學(xué)生回答，同時(shí)投影出示其內(nèi)容。問題二：向量能不能象平面坐標(biāo)系中點(diǎn)一樣給出坐標(biāo)表示呢？我們?nèi)绾伪硎靖雍侠砟?？組織學(xué)生談?wù)?，給出各種想法，教師做點(diǎn)評(píng)歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標(biāo)系中，給出向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，并提出問題問題三：既然向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的，那么向量也可以用一對(duì)實(shí)數(shù)來表示嗎？設(shè)計(jì)目的：此問題引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，對(duì)平面向量坐標(biāo)表示方法具有指導(dǎo)性作用。教師講授：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得a=xi+yj,我們把叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，(x,y)式叫做向量的坐標(biāo)表示。3.深化理解一.平面向量坐標(biāo)表示的的理解提出問題：(1)、如果以原點(diǎn)O作為起點(diǎn)作一向量OA=a（投影動(dòng)畫同步演示），那么點(diǎn)A的位置是否可以唯一確定呢？(2)、點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量OA的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？(3)、兩個(gè)向量相等的充要條件利用坐標(biāo)如何進(jìn)行表示呢？(4)、如果我們將一個(gè)平面向量在直角坐標(biāo)系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標(biāo)會(huì)改變嗎？組織學(xué)生以小組為單位展開探究交流活動(dòng)

，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:(1)

、點(diǎn)A的位置受向量OA決定，唯一確定。(2)、以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量OA的坐標(biāo)和終點(diǎn)A的坐標(biāo)事完全相同的。(3)、兩個(gè)平面向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同。(4)、在直角坐標(biāo)系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動(dòng)，它們的坐標(biāo)就是相同的。設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生在合作探究中去主動(dòng)學(xué)習(xí)，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養(yǎng)了探究協(xié)作的能力。出示練習(xí)：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo)（圖略）。教師讓學(xué)生獨(dú)立完成，之后借助投影讓個(gè)別學(xué)生展示完成情況，教師點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)目的：增進(jìn)了所學(xué)新知的內(nèi)化。二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標(biāo)表示，向量是可以進(jìn)行運(yùn)算的，如何運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)表示及實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)表示呢？投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b,λa的坐標(biāo)

學(xué)生展開討論，可能給出多種推導(dǎo)方法，教師要耐心給與點(diǎn)評(píng)，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標(biāo)等于向量坐標(biāo)的加減法。（2）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于是屬于向量坐標(biāo)的積。

（3）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)教師提問：設(shè)AB是表示向量a的有向線段，點(diǎn)A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標(biāo)如何表示？學(xué)生結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強(qiáng)調(diào)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)計(jì)目的：此環(huán)節(jié)教師充當(dāng)引導(dǎo)者，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生在討論思考中享受成功的快樂。4.例題剖析例1、已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)成為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)。教師給學(xué)生充足時(shí)間獨(dú)立思考，適當(dāng)時(shí)可提示作圖理解，而變式對(duì)學(xué)生來說難度增大，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，獨(dú)立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設(shè)計(jì)目的：通過例題和變式綜合考查學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，也促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。5.課堂小結(jié)請(qǐng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容作歸納，不足之處師生補(bǔ)充完善，最后教師作總結(jié)式說明。1.向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數(shù)表示，其背景是平面向量的基本定理。2.向量的坐標(biāo)表示為我們進(jìn)行向量的運(yùn)算提供了方便。3.向量的坐標(biāo)表示使得我們借助數(shù)的運(yùn)算對(duì)圖形的幾何性質(zhì)展開研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。前面我們還學(xué)習(xí)了這留待我們下一節(jié)再來研究。6.布置作業(yè)（1）.課后習(xí)題（2）如何運(yùn)用向量坐標(biāo)來表示和判定共線向量呢？讓學(xué)生預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容。7.板書設(shè)計(jì)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的坐標(biāo)例1變式定義解：解：（1）（2）（3）2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、知識(shí)精講1．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得a＝xi＋yj，則把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)．記作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐標(biāo)表示．(2)在直角坐標(biāo)平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加、減法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．即兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)實(shí)數(shù)與向量的積若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)向量的坐標(biāo)已知向量的起點(diǎn)A(x1，y1)，終點(diǎn)B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，即向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)4．兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.則a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.[小問題·大思維]1．與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？提示：與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0，即a＝(x,0)；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示：坐標(biāo)相同但寫法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底確定的條件下，給定一個(gè)向量．它的坐標(biāo)是唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，給定一對(duì)實(shí)數(shù)，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè)，這些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎？提示：不發(fā)生變化。向量確定以后，它的坐標(biāo)就被唯一確定，所以向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．5．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)成立？提示：不一定．由于eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)的意義與x1y2－x2y1＝0的意義不同，前者不允許x2和y2為零，而后者允許，當(dāng)x1＝x2＝0，或y1＝y(tǒng)2＝0或x2＝y(tǒng)2＝0時(shí)，a∥b但eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)不成立．二、典例精析例1、如圖所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求的坐標(biāo)．變式練習(xí)：若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bB.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案：B例2、已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.(1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第二象限？(2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說明理由．保持例題條件不變，問t為何值時(shí)，B為線段AP的中點(diǎn)？變式練習(xí)：已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐標(biāo)．例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？保持例題條件不變，是否存在實(shí)數(shù)k，使a＋kb與3a－b平行？變式練習(xí)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？例4、(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，(1)求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)設(shè)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？變式練習(xí)設(shè)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時(shí)，與共線且方向相同，此時(shí)，A，B，C，D能否在同一條直線上？例5、如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式練習(xí)：在△AOB中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．三、課后檢測(cè)一、選擇題1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；④若a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：由平面向量基本定理可知，①正確；②不正確．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲詀＝(x，y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故③錯(cuò)誤；a的坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)是以a的始點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．答案：B2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，則()A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2)＝(3m－n，－m＋2n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－n＝10，,－m＋2n＝0，))∴m＝4，n＝2.答案：C3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：∵四條有向線段首尾相接構(gòu)成四邊形，則對(duì)應(yīng)向量之和為零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋∴d＝－6a－4b＋4答案：D4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)滿足(ka＋b)∥c，則k＝()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：ka＋b＝(k－1，k＋1)，由(ka＋b)∥c，得2(k－1)－4(k＋1)＝0，解得k＝－3.答案：B5．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－0＝3－－1，,2y－2＝1－－2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，eq\f(7,2))．答案：A6．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9解析：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.答案：D7．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－eq\f(1,4))，且a∥b，則銳角θ等于()A．45° B．30°C．60° D．30°或60°解析：由a∥b得－2×(－eq\f(1,4))＝1－cos2θ＝sin2θ，∵θ為銳角，∴sinθ＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.答案：A二、填空題8．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，且a∥b，則tanθ＝________.解析：∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ.即4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.答案：－110．已知點(diǎn)A(－1，－1)、B(1,3)、C(x,5)，若對(duì)于平面上任意一點(diǎn)O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，則x＝______.解析：取點(diǎn)O(0,0)，由＝λ＋(1－λ)，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))答案：211．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________________．解析：由b∥a，可設(shè)b＝λa＝(－2λ，3λ)．設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，則AB→＝(x－1，y－2)＝b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＝x－1，,3λ＝y(tǒng)－2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2.))①又B點(diǎn)在