平面向量十一種類型及平面向量強化訓(xùn)練經(jīng)典題型含詳細(xì)答案

平面向量專題高考真題類型一：向量的坐標(biāo)表示類型二：幾何形狀類型三：比值類型四：系數(shù)的計算類型五：數(shù)量積類型六：夾角的計算類型七：面積計算類型八：長度的計算類型九：三點共線恒等式類型十：基底系數(shù)判斷類型十一：求最值問題高考真題2011年10．（5分）（2011?江蘇）已知，是夾角為的兩個單位向量，=﹣2，=k+，若?=0，則實數(shù)k的值為．ABCEFD2012年9．如圖，在矩形ABCD中，點ABCEFD點F在邊CD上，若，則的值是▲．2013年10．設(shè)分別是的邊上的點，，，若（為實數(shù)），則的值為．2014年12．（5分）（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，則?的值是_________．2015年6.已知向量a=，b=,若ma+nb=(),則的值為______.2016年13.如圖，在中，是的中點，是上兩個三等分點，，，則的值是．（偏于向量表示和運算）2017年12．如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則▲．（偏于向量分解）【答案】3【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以．【考點】向量表示【名師點睛】（1）向量的坐標(biāo)運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題．（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題．通過向量的坐標(biāo)運算，可將原問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問題的一般方法．（3）向量的兩個作用：①載體作用，關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題．2018年在平面直角坐標(biāo)系中，A為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若，則點A的橫坐標(biāo)為________．（偏于綜合）【答案】3【解析】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標(biāo)，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果.詳解：設(shè)，則由圓心為中點得易得，與聯(lián)立解得點D的橫坐標(biāo)所以.所以，由得或，因為，所以點睛：以向量為載體求相關(guān)變量的取值或范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.類型一：向量的坐標(biāo)表示1.如圖所示，在△ABC中，＝eq\f(1,2)，＝3，若＝a，＝b，則＝________(用a，b表示)．2．已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標(biāo)為________．答案(1,5)有無三種可能性？解析設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))3.已知點A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，則點B的坐標(biāo)為__________．設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－5)．由＝3a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6，,y－5＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝14.))4.,在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________.＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．5.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________.由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，即m＝－4.從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．6.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為________．∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴＝2.設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點D的坐標(biāo)為(2,4)．7.若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________．答案－eq\f(5,4)解析＝(a－1,3)，＝(－3,4)，根據(jù)題意∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).8.已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以＝eq\f(3,4)＝(3,3)，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)．方法二設(shè)點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)．類型二：幾何形狀1.若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________．2.已知平面上有四個互異點A、B、C、D，若(＋－2)·(－)＝0，則△ABC的形狀為________．類型三：比值1.如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．類型四：系數(shù)的計算1.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2AD＝1，AC＝eq\r(3)，且∠CAB＝eq\f(π,6)，∠BAD＝eq\f(2π,3)，設(shè)＝λ＋μ，則λ＋μ＝______.2.已知：如圖，||＝||＝1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于________．3.設(shè)兩個向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m,2)＋sinα))，其中λ，m，α為實數(shù)．若a＝2b，則eq\f(λ,m)的取值范圍是________．4.如圖，在邊長為單位長度的正六邊形ABCDEF中，點P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動點，設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．解析不妨以點A為原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)．則(x，y)＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋βeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，∴α＋β＝2x，當(dāng)點P在CE上時，α＋β＝3，當(dāng)P在D點時，α＋β＝4.5.已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－eq\f(3,2)，則λ＝________.類型五：數(shù)量積1.設(shè)E、F分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB＝3，AC＝6，則·＝________.2.若等邊三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，平面內(nèi)一點M滿足＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)，則·＝________.3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝eq\r(2)，則·＝________.4.在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq\r(3)，則a·b＋b·c＋c·a＝________.5.如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，則·＝________.類型六：夾角的計算1.已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________．2.已知非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝eq\f(2\r(3),3)|a|，則a＋b與a－b的夾角為________．3.已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，且|2a＋b|＝eq\r(7)，則向量a與向量a＋b的夾角為________．解析∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如圖所示，a與a＋b的夾角為∠COA，∵tan∠COA＝eq\f(|CA|,|OA|)＝eq\r(3)，∴∠COA＝eq\f(π,3)，即a與a＋b的夾角為eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)類型七：面積計算1.已知O是△ABC的內(nèi)部一點，＋＋＝0，·＝2，且∠BAC＝60°，則△OBC的面積為________．解析由·＝||||cos60°＝2，得||||＝4，S△ABC＝eq\f(1,2)||||sin60°＝eq\r(3)，由＋＋＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)類型八：長度的計算1.已知向量p的模為eq\r(2)，向量q的模為1，p與q的夾角為eq\f(π,4)，且a＝3p＋2q，b＝p－q，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的長度較小的對角線長為________．解析由題意可知較小的對角線為|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝eq\r((2p＋3q)2)＝eq\r(4p2＋12p·q＋9q2)＝eq\r(8＋12\r(2)×\f(\r(2),2)＋9)＝eq\r(29).答案eq\r(29)類型九：三點共線恒等式1.如圖，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則eq\f(xy,x＋y)的值為________．易知＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)，＝－x＋y，故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))＋eq\f(1,3).由于與共線，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))y＝－eq\f(1,3)x，即xy＝eq\f(1,3)(x＋y)，因此eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).2.如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，則eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值為________．答案3解析設(shè)＝a，＝b，由題意知＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，由P，G，Q三點共線得，存在實數(shù)λ，使得＝λ，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.類型十：基底系數(shù)判斷1.設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，則B的大小為________．答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，將其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.又，不共線，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．根據(jù)正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等邊三角形，則角B＝60°.已知點p在所在的平面內(nèi)，若，則與的面積比值為在中，，則類型十一：求最值問題1.設(shè)＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點，若A，B，C三點共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．答案eq\f(3＋2\r(2),2)解析由題意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2＝λ(b＋2)，,－2＝－4λ，))整理得2a＋b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(2a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(1,2)(3＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,a))≥eq\f(1,2)(3＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,a)))＝eq\f(3＋2\r(2),2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\r(2)a時，等號成立)．2.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為eq\f(2π,3).如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的eq\x\to(AB)上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．思維點撥可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，求出點A，B的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點C的坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值．規(guī)范解答解以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．[4分]設(shè)∠AOC＝α(α∈[0，eq\f(2π,3)])，則C(cosα，sinα)，由＝x＋y，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，[8分]所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sin(α＋eq\f(π,6))，[11分]又α∈[0，eq\f(2π,3)]，所以當(dāng)α＝eq\f(π,3)時，x＋y取得最大值2.[14分]一．選擇題（共30小題）1．（2011?重慶）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么?的值為（） A．1 B．2 C．3 D．42．（2011?遼寧）若為單位向量，且=0，，則的最大值為（） A．﹣1 B．1 C． D．23．（2011?湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于（） A．﹣ B． C． D．4．（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為（） A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]5．（2011?廣東）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ為實數(shù)，（（a+λb）∥c），則λ=（） A． B． C．1 D．26．（2011?番禺區(qū)）如圖，已知=，=，=3，用，表示，則等于（） A．+ B．+ C．+ D．+7．（2011?番禺區(qū)）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），則A分的比λ等于（） A． B．﹣ C． D．﹣8．（2010?重慶）已知向量a，b滿足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，則|2a﹣b|=（） A．0 B． C．4 D．89．（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，則=（） A． B． C． D．10．（2010?廣東）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（） A．6 B．5 C．4 D．311．（2010?福建）若向量=（x，3）（x∈R），則“x=4”是“|a|=5”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件12．（2010?湖南）若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）?b=0，則a與b的夾角為（） A．30° B．60 C．120° D．150°13．（2010?湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，則等于（） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1614．（2010?安徽）（安徽卷理3文3）設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C．與垂直 D．15．（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量滿足（+）∥，⊥（+），則=（） A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）16．（2009?四川）已知雙曲線的左、右焦點分別是F1、F2，其一條漸近線方程為y=x，點在雙曲線上、則?=（） A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．417．（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（） A． B． C． D．18．（2009?山東）設(shè)p是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（） A． B． C． D．19．（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，則角A，B的大小分別為（） A．， B．， C．， D．，20．（2008?遼寧）已知四邊形ABCD的三個頂點A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，則頂點D的坐標(biāo)為（） A． B． C．（3，2） D．（1，3）21．（2008?湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，則=（） A． B． C． D．22．（2008?海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），與垂直，則λ是（） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．223．（2008?廣東）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，則=（） A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）24．（2007?遼寧）若向量a與b不共線，a?b≠0，且，則向量a與c的夾角為（） A．0 B． C． D．25．（2007?湖北）連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量與向量的夾角為θ，則的概率是（） A． B． C． D．26．（2007?北京）已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且，那么（） A． B． C． D．27．（2006?陜西）已知非零向量與滿足（+）?=0，且?=﹣，則△ABC為（） A．等腰非等邊三角形 B．等邊三角形 C．三邊均不相等的三角形 D．直角三角形28．（2006?遼寧）△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c設(shè)向量，，若，則角C的大小為（） A． B． C． D．29．（2006?湖南）已知，且關(guān)于x的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是（） A． B． C． D．30．（2006?廣東）如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點，則向量=（） A． B． C． D．

答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一．選擇題（共30小題）1．（2011?重慶）已知向量=（1，k），=（2，2），且+與共線，那么?的值為（） A．1 B．2 C．3 D．4考點：平面向量數(shù)量積的運算。專題：計算題。分析：利用向量的運算法則求出兩個向量的和；利用向量共線的充要條件列出方程求出k；利用向量的數(shù)量積公式求出值．解答：解：∵=（3，k+2）∵共線∴k+2=3k解得k=1∴=（1，1）∴=1×2+1×2=4故選D點評：本題考查向量的運算法則、考查向量共線的充要條件、考查向量的數(shù)量積公式．2．（2011?遼寧）若為單位向量，且=0，，則的最大值為（） A．﹣1 B．1 C． D．2考點：平面向量數(shù)量積的運算；向量的模。專題：計算題；整體思想。分析：根據(jù)及為單位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根據(jù)數(shù)量積的運算法則展開即可求得．解答：解：∵，即﹣+≤0，又∵為單位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值為1．故選B．點評：此題是個中檔題．考查平面向量數(shù)量積的運算和模的計算問題，特別注意有關(guān)模的問題一般采取平方進行解決，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析、解決問題的能力．3．（2011?湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），則2+與的夾角等于（） A．﹣ B． C． D．考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角。分析：由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我們可以計算出2+與的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案．解答：解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）則（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故選C點評：本題考查的知識點是數(shù)量積表示兩個向量的夾角，其中利用公式，是利用向量求夾角的最常用的方法，一定要熟練掌握．4．（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為（） A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用。專題：數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)平面向量的垂直的坐標(biāo)運算法則，我們易根據(jù)已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，構(gòu)造出一個關(guān)于x，y，z的方程，即關(guān)于Z的目標(biāo)函數(shù)，畫了約束條件|x|+|y|≤1對應(yīng)的平面區(qū)域，并求出各個角點的坐標(biāo)，代入即可求出目標(biāo)函數(shù)的最值，進而給出z的取值范圍．解答：解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知當(dāng)x=0，y=1時，z取最大值3，當(dāng)x=0，y=﹣1時，z取最小值﹣3，故z的取值范圍為[﹣3，3]故選D點評：本題考查的知識點是數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用平面向量的垂直的坐標(biāo)運算法則，求出目標(biāo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2011?廣東）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ為實數(shù)，（（a+λb）∥c），則λ=（） A． B． C．1 D．2考點：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示。專題：計算題。分析：根據(jù)所給的兩個向量的坐標(biāo)，寫出要用的+λ向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量平行，寫出兩個向量平行的坐標(biāo)表示形式，得到關(guān)于λ的方程，解方程即可．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故選B．點評：本題考查兩個向量平行的坐標(biāo)表示，考查兩個向量坐標(biāo)形式的加減數(shù)乘運算，考查方程思想的應(yīng)用，是一個基礎(chǔ)題．6．（2011?番禺區(qū)）如圖，已知=，=，=3，用，表示，則等于（） A．+ B．+ C．+ D．+考點：向量加減混合運算及其幾何意義。專題：計算題。分析：根據(jù)向量加法的三角形法則可得要求只需求出即可而根據(jù)題中條件=3可得故只需利用向量的減法求出即可得解．解答：解析：∵=，=∴根據(jù)向量減法的定義可得=∵=3∴=∴根據(jù)向量加法的三角形法則可得=+=故選B點評：本題主要考察向量的加法，減法的三角形法則，屬基礎(chǔ)題，較易．解題的關(guān)鍵是利用條件=3得出這一結(jié)論！7．（2011?番禺區(qū)）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），則A分的比λ等于（） A． B．﹣ C． D．﹣考點：線段的定比分點。專題：計算題。分析：可先求=（8，﹣8），=（3，﹣3）．根據(jù)與與共線同向，可求λ=解答：解：∵A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），∴=（8，﹣8），=（3，﹣3）．∴與與共線同向，∴λ==．故選C．點評：本題主要考查了向量點分線段所成比的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的共線定理，屬于基礎(chǔ)試題8．（2010?重慶）已知向量a，b滿足a?b=0，|a|=1，|b|=2，，則|2a﹣b|=（） A．0 B． C．4 D．8考點：向量的模。專題：計算題。分析：利用題中條件，把所求|2|平方再開方即可解答：解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故選B．點評：本題考查向量模的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．9．（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，則=（） A． B． C． D．考點：平面向量數(shù)量積的運算。分析：本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎(chǔ)知識，屬于難題．從要求的結(jié)論入手，用公式寫出數(shù)量積，根據(jù)正弦定理變未知為已知，代入數(shù)值，得到結(jié)果，本題的難點在于正弦定理的應(yīng)用．解答：解：=故選D．點評：把向量同解三角形結(jié)合的問題，均屬于中等題或難題，應(yīng)加強平面向量的基本運算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題．10．（2010?廣東）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）滿足條件（8﹣）?=30，則x=（） A．6 B．5 C．4 D．3考點：平面向量數(shù)量積的運算。專題：計算題。分析：根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)，寫出要用的8﹣的坐標(biāo)，根據(jù)它與的數(shù)量積是30，利用坐標(biāo)形式寫出兩個向量的數(shù)量積，得到關(guān)于x的方程，解方程即可．解答：解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故選C．點評：向量的坐標(biāo)運算幫助認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，向量是數(shù)形結(jié)合的最完美體現(xiàn)．11．（2010?福建）若向量=（x，3）（x∈R），則“x=4”是“|a|=5”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件考點：向量的模。分析：當(dāng)x=4時能夠推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要條件．解答：解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立反之，由||=5可得x=±4所以x=4不一定成立．故選A．點評：本題考查平面向量和常用邏輯用語等基礎(chǔ)知識．12．（2010?湖南）若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）?b=0，則a與b的夾角為（） A．30° B．60 C．120° D．150°考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角。專題：計算題。分析：由+3與7﹣5垂直，﹣4與7﹣2垂直，我們不難得到（+3）?（7﹣5）=0（﹣4）?（7﹣2）=0，構(gòu)造方程組，我們易得到2=2=2?，再結(jié)合cosθ=，我們求出與的夾角．解答：解：∵2+與垂直∴（2+）?=2+2?=0即||2=﹣2?又∵||=||∴||?||=﹣2?又由cosθ=易得：cosθ=﹣則θ=120°故選C點評：若θ為與的夾角，則cosθ=，這是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟練掌握．13．（2010?湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，則等于（） A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16考點：平面向量數(shù)量積的運算；向量的加法及其幾何意義。專題：計算題。分析：本題是一個求向量的數(shù)量積的問題，解題的主要依據(jù)是直角三角形中的垂直關(guān)系和一條邊的長度，解題過程中有一個技巧性很強的地方，就是把變化為兩個向量的和，再進行數(shù)量積的運算．解答：解：∵∠C=90°，∴=0，∴=（）==42=16故選D．點評：啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)．14．（2010?安徽）（安徽卷理3文3）設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C．與垂直 D．考點：向量的模；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。專題：計算題。分析：本題考查的知識點是向量的模，及用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，由，我們易求出向量的模，結(jié)合平面向量的數(shù)量坐標(biāo)運算，對四個答案逐一進行判斷，即可得到答案．解答：解：∵，∴=1，=，故不正確，即A錯誤∵?=≠，故B錯誤；∵﹣=（，﹣），∴（﹣）?=0，∴與垂直，故C正確；∵，易得不成立，故D錯誤．故選C點評：判斷兩個向量的關(guān)系（平行或垂直）或是已知兩個向量的關(guān)系求未知參數(shù)的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標(biāo)運算法則，即“兩個向量若平行，交叉相乘差為0，兩個向量若垂直，對應(yīng)相乘和為0”．15．（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量滿足（+）∥，⊥（+），則=（） A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）考點：平行向量與共線向量；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。專題：計算題。分析：設(shè)出要求的向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量之間的平行和垂直關(guān)系，寫出兩個關(guān)于x，y的方程，組成方程組，解方程組得到變量的值，即求出了向量的坐標(biāo)．解答：解：設(shè)=（x，y），則+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）．∵（+）∥，⊥（+），∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0．∴x=﹣，y=﹣，故選D點評：本題考查向量平行和垂直的充要條件，認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實現(xiàn)了形與數(shù)的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．16．（2009?四川）已知雙曲線的左、右焦點分別是F1、F2，其一條漸近線方程為y=x，點在雙曲線上、則?=（） A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4考點：平面向量數(shù)量積的運算；雙曲線的簡單性質(zhì)。專題：計算題。分析：由雙曲線的漸近線方程，不難給出a，b的關(guān)系，代入即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而可以求出F1、F2，及P點坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)后代入向量內(nèi)積公式即可求解．解答：解：由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2﹣y2=2，于是兩焦點坐標(biāo)分別是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，則，∴?=故選C點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運算，處理的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)（頂點、焦點、漸近線、實軸、虛軸等與a，b，c的關(guān)系），求出滿足條件的向量的坐標(biāo)后，再轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積運算．17．（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（） A． B． C． D．考點：向量的共線定理；平面向量數(shù)量積的運算。專題：計算題。分析：由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．解答：解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故選A點評：判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標(biāo)法：P點坐標(biāo)是三個頂點坐標(biāo)的平均數(shù)．18．（2009?山東）設(shè)p是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（） A． B． C． D．考點：向量的加法及其幾何意義；向量的三角形法則。專題：計算題。分析：根據(jù)所給的關(guān)于向量的等式，把等式右邊二倍的向量拆開，一個移項一個和左邊移來的向量進行向量的加減運算，變形整理，得到與選項中一致的形式，得到結(jié)果．解答：解：∵，∴，∴∴∴故選B．點評：本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答．向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好向量的加減運算．19．（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，則角A，B的大小分別為（） A．， B．， C．， D．，考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；三角函數(shù)的積化和差公式。專題：計算題。分析：根據(jù)向量數(shù)量積判斷向量的垂直的方法，可得cosA﹣sinA=0，分析可得A，再根據(jù)正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，有和差公式化簡可得，sinC=sin2C，可得C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B，進而可得答案．解答：解：根據(jù)題意，，可得=0，即cosA﹣sinA=0，∴A=，又由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，C=，∴B=．故選C．點評：本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，判斷向量的垂直，解題時，注意向量的正確表示方法．20．（2008?遼寧）已知四邊形ABCD的三個頂點A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，則頂點D的坐標(biāo)為（） A． B． C．（3，2） D．（1，3）考點：平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用。分析：本小題主要考查平面向量的基本知識，先設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)所給的點的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)乘關(guān)系，得到向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，由橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，得到結(jié)果．解答：解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為（x，y）∵，，且，∴故選A點評：向量首尾相連，構(gòu)成封閉圖形，則四個向量的和是零向量，用題目給出的三個點的坐標(biāo)，再設(shè)出要求的坐標(biāo)，寫出首尾相連的四個向量的坐標(biāo)，讓四個向量相加結(jié)果是零向量，解出設(shè)的坐標(biāo)．21．（2008?湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，則=（） A． B． C． D．考點：平面向量數(shù)量積的含義與物理意義。分析：在三角形中以兩邊為向量，求兩向量的數(shù)量積，夾角不知，所以要先用余弦定理求三角形一個內(nèi)角的余弦，再用數(shù)量積的定義來求出結(jié)果．解答：解：∵由余弦定理得cosA=，∴，∴，故選D點評：由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系．，所以本題能考慮到需要先求向量夾角的余弦值，有時數(shù)量積用坐標(biāo)形式來表達．22．（2008?海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），與垂直，則λ是（） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。專題：計算題。分析：由于，所以，即（λ+4）﹣3（﹣3λ﹣2）=0，整理得λ=﹣1．解答：解：∵，∴，即（λ+4）﹣33λ﹣2）=0，整理得10λ+10=0，∴λ=﹣1，故選A．點評：高考考點：簡單的向量運算及向量垂直；易錯點：運算出錯；全品備考提示：高考中每年均有相當(dāng)一部分基礎(chǔ)題，要想得到高分，這些習(xí)題均不能大意，要爭取多得分，最好得滿分．23．（2008?廣東）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，則=（） A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）考點：平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用。分析：向量平行的充要條件的應(yīng)用一種做法是根據(jù)平行求出向量的坐標(biāo)，然后用向量線性運算得到結(jié)果；另一種做法是針對選擇題的特殊做法，即排除法．解答：解：排除法：橫坐標(biāo)為2+（﹣6）=﹣4，故選B．點評：認(rèn)識向量的代數(shù)特性．向量的坐標(biāo)表示，實現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化．以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化．24．（2007?遼寧）若向量a與b不共線，a?b≠0，且，則向量a與c的夾角為（） A．0 B． C． D．考點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。分析：求兩個向量的夾角有它本身的公式，條件中表現(xiàn)形式有點繁瑣，我們可以試著先求一下要求夾角的向量的數(shù)量積，求數(shù)量積的過程有點出乎意料，一下就求出結(jié)果，數(shù)量積為零，兩向量垂直，不用再做就得到結(jié)果，有些題目同學(xué)們看著不敢動手做，實際上，我們試一下，它表現(xiàn)得很有規(guī)律．解答：解：∵==0∴向量a與c垂直，故選D