高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.4平面向量的綜合應(yīng)用課件文新人教版

§5.4平面向量的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a∥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)a⊥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量1.向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：知識梳理a＝λbx1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b＝0夾角問題數(shù)量積的定義cosθ＝

(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題

向量問題

解決向量問題

解決幾何問題.2.向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題.知識拓展2.若直線l的方程為：Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行.幾何畫板展示判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若

∥，則A，B，C三點共線.(

)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.(

)(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角.(

)(4)在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形.(

)(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點P滿足：

，t∈R，則點P的軌跡方程是x－y＋1＝0.(

)√×××√思考辨析

考點自測1.(教材改編)已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，則該三角形為A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴△ABC為直角三角形.

A.6 B.5C.4 D.3在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D為邊BC的中點，所以

，兩邊平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故選D.答案解析答案解析x＋2y－4＝0由

＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4.(2016·銀川模擬)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值為_____.設(shè)a與b夾角為α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4].∴|2a－b|的最大值為4.4答案解析幾何畫板展示答案解析題型分類深度剖析題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1

(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點.若

＝1，則AB＝_____.答案解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，

(2)已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足

，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的A.內(nèi)心 B.外心

C.重心 D.垂心答案解析引申探究本例(2)中，若動點P滿足

，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的______.內(nèi)心答案解析向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進行求解.思維升華

跟蹤訓(xùn)練1

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形答案解析5答案解析以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng).則D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由點P是腰DC上的動點，知0≤y≤a.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2

(1)已知向量

＝(k,12)，

＝(4,5)，

＝(10，k)，且A、B、C三點共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為___________.2x＋y－3＝0∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析答案解析向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·合肥模擬)如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則

的最小值為________.∵圓心O是直徑AB的中點，答案解析題型三向量的其他應(yīng)用命題點1向量在不等式中的應(yīng)用答案解析因為

＝(x,1)，

＝(2，y)，所以

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1,1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.

命題點2向量在解三角形中的應(yīng)用例4

(2016·合肥模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于答案解析∴△ABC最小角為角A，跟蹤訓(xùn)練3

(1)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點、最低點，O為坐標(biāo)原點，且

＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是____.答案解析3解得xN＝2，答案解析3

三審圖形抓特點審題路線圖系列審題路線圖答案解析返回由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點C的對稱點M，作MF⊥x軸，垂足為F，如圖.返回課時作業(yè)A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√答案解析12345678910111213故△ABC一定是直角三角形.123456789101112132.(2016·山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為√∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，答案解析123456789101112133.(2016·南寧模擬)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，則sin2α等于√由a∥b得cosα＋2sinα＝0，∴cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，答案解析123456789101112134.(2016·武漢模擬)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，則C等于√答案解析123456789101112135.已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足

＝x2，則點P的軌跡是A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線√∵＝(－2－x，－y)，

＝(3－x，－y)，∴

＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即點P的軌跡是拋物線.12345678910111213答案解析*6.若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為

，則α與β的夾角θ的取值范圍是________.答案解析12345678910111213如圖，向量α與β在單位圓O內(nèi)，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為

，故以向量α，β為兩邊的三角形的面積為

，故β的終點在如圖所示的線段AB上(α∥，且圓心O到AB的距離為)，因此夾角θ的取值范圍為 .123456789101112137.在菱形ABCD中，若AC＝4，則

＝________.－8設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴

＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.答案解析123456789101112138.已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.12345678910111213123456789101112139.設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為

，則

的最大值等于_____.答案解析2123456789101112136答案解析12345678910111213圓(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑為2，圓M(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1，圓心M(2＋5cosθ，5sinθ)，半徑為1，∵CM＝5＞2＋1，故兩圓相離.如圖所示，設(shè)直線CM和圓M交于H，G兩點，1234567891011121312345678910111213證明由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.12345678910111213解答(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值.12345678910111213因為a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.12345678910111213解答1234567891011121312345678910111213解答12345678910111213由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，12345678910111213*13.設(shè)向量a＝(cosωx－sinωx，－1)，b＝(2sinωx，－1)，其中ω>0，x∈R，已知函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期為4π.(1)求ω