高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-第七章-第九節(jié)拋物線(一)課件-文

第九節(jié)拋物線(一)第七章平面(píngmiàn)解析幾何第一頁(yè)，共50頁(yè)?？季V要求1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單(jiǎndān)性質(zhì)．2．理解數(shù)形結(jié)合的思想.第二頁(yè)，共50頁(yè)。課前自修知識(shí)(zhīshi)梳理一、拋物線的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線l(定點(diǎn)不在定直線上)的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線．其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線．注意：當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)該定點(diǎn)且與定直線垂直(chuízhí)的一條直線．第三頁(yè)，共50頁(yè)。二、拋物線的類型(lèixíng)、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(注意：表中各式的p>0)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py圖形焦點(diǎn)FFFF準(zhǔn)線x=-x=y=-y=第四頁(yè)，共50頁(yè)。標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e=1焦半徑=+x1=+=+y1=+第五頁(yè)，共50頁(yè)。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義(dìngyì)(屬知識(shí)拓展)平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線．第六頁(yè)，共50頁(yè)?；A(chǔ)(jīchǔ)自測(cè)1．(2012·東莞市一模)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線(zhíxiàn)y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為 () A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x解析：依題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，直線(zhíxiàn)y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)A在原點(diǎn)，因?yàn)镻(2,2)為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4)，代入拋物線方程得p＝2.故選A.答案：A第七頁(yè)，共50頁(yè)。2.(2012·西安市月考)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離(jùlí)是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離(jùlí)是()A．4B．6C．8D．12解析：據(jù)已知拋物線方程可得其準(zhǔn)線方程為x＝－2，又由點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP＝4，由拋物線定義可知點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于(děngyú)其到準(zhǔn)線的距離，即|PF|＝xP＋＝xP＋2＝4＋2＝6.故選B.答案：B第八頁(yè)，共50頁(yè)。3．若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離(jùlí)與它到直線x+2=0的距離(jùlí)相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為____________．解析：由拋物線定義知點(diǎn)，P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)，直線x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以(suǒyǐ)p＝4，所以(suǒyǐ)其方程為y2＝8x.答案：y2＝8x第九頁(yè)，共50頁(yè)。4．(2011·廈門市模擬)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓(tuǒyuán)=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為______．解析(jiěxī)：橢圓＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(2,0)，則p＝4.答案：4第十頁(yè)，共50頁(yè)。考點(diǎn)探究考點(diǎn)(kǎodiǎn)一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)方程及準(zhǔn)線方程【例1】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過(guò)點(diǎn)(-3,2)；(2)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上；(3)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(AB不垂直于x軸)，但|AF|+|BF|=8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(6,0)．第十一頁(yè)，共50頁(yè)。思路點(diǎn)撥：對(duì)于(1)與(2)從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開口(kāikǒu)方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論；對(duì)于(3)由已知“拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上”，可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，利用拋物線的定義可解決．第十二頁(yè)，共50頁(yè)。解析(jiěxī)：(1)設(shè)所求的拋物線方程為y2＝－2px或x2＝2py(p＞0)，∵過(guò)點(diǎn)(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.∴所求的拋物線方程為y2＝－x或x2＝y(tǒng)，前者的準(zhǔn)線方程是x＝，后者的準(zhǔn)線方程是y＝－.第十三頁(yè)，共50頁(yè)。(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0，－2)．當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，＝4，∴p＝8，此時(shí)拋物線方程y2＝16x.焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，＝2，∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y.∴所求的拋物線的方程為y2＝16x或x2＝－8y，對(duì)應(yīng)(duìyìng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2.(3)設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，其準(zhǔn)線為x＝－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.第十四頁(yè)，共50頁(yè)?！逹(6,0)在線段(xiànduàn)AB的中垂線上，∴|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，y＝2px1，y＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2，故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.從而拋物線方程為y2＝8x，其準(zhǔn)線方程為x＝－2.第十五頁(yè)，共50頁(yè)。點(diǎn)評(píng)：(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定參數(shù)p的值．這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去(shīqù)一解．(2)應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)．如本題第(3)小題根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)及頂點(diǎn)在x軸設(shè)出方程，再將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，產(chǎn)生所設(shè)方程中的參變量，分析與求解均建立在拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行，難度不大，但基礎(chǔ)性較強(qiáng)．第十六頁(yè)，共50頁(yè)。變式探究(tànjiū)1.(1)設(shè)斜率為2的直線(zhíxiàn)l過(guò)拋物線y2=ax(a10)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()A．y2=±4xB．y2=±8xC．y2=4xD．y2=8x(2)已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線過(guò)點(diǎn)(4，-2)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________.第十七頁(yè)，共50頁(yè)。解析：(1)拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，故直線(zhíxiàn)l的方程為y＝2，它與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A，∴S△OAF＝××＝4，得a2＝64，a＝±8，即拋物線方程為y2＝±8x.故選B.(2)設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，因拋物線過(guò)點(diǎn)(4，－2)，∴42＝－2p×(－2)，p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y.答案：(1)B(2)x2＝－8y第十八頁(yè)，共50頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)二求以非標(biāo)準(zhǔn)方程(fāngchéng)形式給出的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程(fāngchéng)【例2】設(shè)a10，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(a,0)B．(0，a)C.D．隨a符號(hào)而定思路點(diǎn)撥(diǎnbo)：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得．解析：由y＝4ax2得x2＝y(tǒng)，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是.故選C.答案：C第十九頁(yè)，共50頁(yè)。變式探究(tànjiū)2．拋物線x=ay2的焦點(diǎn)(jiāodiǎn)F是橢圓=1的左焦點(diǎn)(jiāodiǎn)，則a的值為______________．第二十頁(yè)，共50頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)三利用拋物線的定義(dìngyì)求距離和的最小值【例3】設(shè)P是拋物線y2=4x上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值．思路點(diǎn)撥：由拋物線方程(fāngchéng)為y2=4x知此拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x=-1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x=-1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離．于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,1)與到點(diǎn)F(1,0)的距離最小的問(wèn)題，從而獲得問(wèn)題的解答．第二十一頁(yè)，共50頁(yè)。解析：(1)由于A(-2,1)，F(xiàn)(1,0)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則|AP|+|PF|≥|AF|==，從而(cóngér)知點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點(diǎn)B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線(zhǔnxiàn)于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，此時(shí)，|P1Q|=|P1F|，那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值為4.第二十二頁(yè)，共50頁(yè)。點(diǎn)評(píng)：與拋物線有關(guān)(yǒuguān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)(yǒuguān)，由于拋物線的定義在利用上有較大的靈活性，因此，此類問(wèn)題也有一定的難度．本題中的兩小問(wèn)有一個(gè)共性，都是利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而構(gòu)造出“兩點(diǎn)間線段距離最短”，使問(wèn)題獲解．第二十三頁(yè)，共50頁(yè)。變式探究(tànjiū)3．(2012·泰安市月考)已知點(diǎn)M是拋物線y2=4x上的一點(diǎn)(yīdiǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x-4)2+(y-1)2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為____________.解析：依題意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由拋物線的定義知|MF|等于點(diǎn)M到拋物線x＝－1的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準(zhǔn)線x＝－1的距離，即為5，因此(yīncǐ)所求的最小值為4.答案：4第二十四頁(yè)，共50頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)四與焦點(diǎn)(jiāodiǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題【例4】(2012·安徽卷)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(zhíxiàn)交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=3，則△AOB的面積為()A.B.C.D．2第二十五頁(yè)，共50頁(yè)。點(diǎn)評(píng)：凡涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，往往能利用拋物線的定義(dìngyì)來(lái)解決，因此正確理解和掌握拋物線的定義(dìngyì)和性質(zhì)，將會(huì)給解題帶來(lái)方便．第二十六頁(yè)，共50頁(yè)。4．(2011·江西(jiānɡxī)卷)已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且=9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求l的值．解析：(1)直線(zhíxiàn)AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.變式探究(tànjiū)第二十七頁(yè)，共50頁(yè)。(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，從而(cóngér)x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而(cóngér)A(1，－2)，B(4,4)．設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.第二十八頁(yè)，共50頁(yè)?？键c(diǎn)(kǎodiǎn)五拋物線與其他知識(shí)(zhīshi)的綜合【例5】(2011·廣州市一模)已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線l1垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在l1上，且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)(zuòbiāo)原點(diǎn))，記點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求曲線C的方程；(2)若直線l2是曲線C的一條切線，當(dāng)點(diǎn)到直線l2的距離最短時(shí)，求直線l2的方程．第二十九頁(yè)，共50頁(yè)。第三十頁(yè)，共50頁(yè)。第三十一頁(yè)，共50頁(yè)。第三十二頁(yè)，共50頁(yè)。第三十三頁(yè)，共50頁(yè)。第三十四頁(yè)，共50頁(yè)。變式探究(tànjiū)5．(2012·肇慶市一模)已知圓C與兩圓x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圓C的圓心軌跡方程為L(zhǎng)，設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M(x，y)的距離的最小值為m，點(diǎn)F(0,1)與點(diǎn)M(x，y)的距離為n. (1)求圓C的圓心軌跡L的方程． (2)求滿足條件m＝n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程． (3)試探究軌跡Q上是否存在點(diǎn)B(x1，y1)，使得(shǐde)過(guò)點(diǎn)B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第三十五頁(yè)，共50頁(yè)。解析：(1)兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C1(0，－4)，C2(0,2)，由題意(tíyì)得|CC1|＝|CC2|，可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線，C1C2的中點(diǎn)為(0，－1)，故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線方程為y＝－1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y＝－1.(2)因?yàn)閙＝n，所以M(x，y)到直線y＝－1的距離與到點(diǎn)F(0,1)的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y＝－1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，＝1，即p＝2，所以，軌跡Q的方程是x2＝4y.第三十六頁(yè)，共50頁(yè)。第三十七頁(yè)，共50頁(yè)。易錯(cuò)警示(jǐnɡshì)忽略(hūlüè)多解性致誤求到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)的距離小2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．學(xué)生錯(cuò)解：即為動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)的距離等于(děngyú)到直線x=-2的距離，由拋物線的定義可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線，其方程為y2=8x.錯(cuò)因分析：上述解法忽略了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)“在過(guò)定點(diǎn)且與定直線垂直的射線上”也符合題意這一情形，因而產(chǎn)生漏解，因此要注意正確理解和掌握拋物線的定義和性質(zhì)和注意問(wèn)題的多解性，養(yǎng)成嚴(yán)密思考問(wèn)題的習(xí)慣．第三十八頁(yè)，共50頁(yè)。正解：依題意可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡需分類討論：(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)定點(diǎn)(2,0)且與定直線(y軸)垂直的射線(即x軸的非正半軸)上時(shí)，其軌跡為一條射線，故其方程為y=0.(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P不在過(guò)定點(diǎn)(2,0)且與定直線(y軸)垂直的射線(即x軸的非正半軸)上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)(2,0)的距離(jùlí)等于到直線x=-2的距離(jùlí)，其軌跡是一條拋物線，故其方程為y2=8x.綜上可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8x或y=0.第三十九頁(yè)，共50頁(yè)。課時(shí)升華本課時(shí)重點(diǎn)是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì)，難點(diǎn)是四種方程的運(yùn)用及對(duì)應(yīng)性質(zhì)的比較、辨別和應(yīng)用，關(guān)鍵是定義的運(yùn)用．在復(fù)習(xí)過(guò)程中注意以下幾點(diǎn)：1．求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法．2．解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)．3．由于拋物線的離心率(xīnlǜ)e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來(lái)解決的．第四十頁(yè)，共50頁(yè)。4．拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題(jiětí)非常有益．5．求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．6．在解題(jiětí)中，拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化．第四十一頁(yè)，共50頁(yè)。7．焦半徑：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離叫焦半徑．8．拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)(yǒuguān)的一些性質(zhì)