行列式按行列展開

行列式按行列展開第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一n階行列式的計算主要方法：

1【定義法】—

利用n階行列式的定義計算;

2【三角形法】—利用性質1-5化為三角形計算；

3【展開法】—利用行列式按行（列）展開性質

6，對行列式進行降階計算；

4【綜合法】—利用性質1-5先使D的某行(列)有盡可能多的零,再用性質6對行列式進行降階計算.5【遞推公式法】；

6【歸納法】。

本節(jié)主要介紹展開法—利用行列式按行(列)展開性質6，對行列式進行降階計算；第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一一、簡介一般說來，要解出行列式的值,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便.

通常的方法是：把一個行列式轉化為一些階數比較低的行列式來計算.

那么，如何將高階的行列式轉化為低階的呢？

第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一二、余子式與代數余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作1、【余子式】例如的元素a23余子式與代數余子式余子式為

:

第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一叫做元素的代數余子式．2、【代數余子式】在余子式前面加上相應的符號，即構成代數余子式。例如的元素a23代數余子式【代數余子式】第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一三、按一行（列）展開行列式特例1：某行中只有一個元不為零。故展開后較簡單。

【引理】一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即：

第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一證明見P16

先證明的情形，此時：

此行列式值為：又：從而：

第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一2、【特例2】：行列式D中第i行除元外，該行其他元全為零。即：這時，將行列式第i行調換到的一行，要換（i-1）次換到的第一行，則有：想把該行列式變換為，第一行中第一元素為，該行其他元全為零的情形：辦法如下：第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

第一步：把D的第i行依次與第i-1行，第i-2行、…..、第1行對調，這樣數就調成元，調換的次數為i-1；得

第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第二步：把第j列依次與第j-1列，j-2列，…，第1列對調,這樣數就調成（1,1）元，對調次數為j-1總之，經i+j-2次調換，把數調成（1,1）元。所得的行列式為：第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一中的余子式第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

故得利用前面的結果有第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一3．推廣到一般情形：定理3.

行列式按行(列)展開法則(定理)n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即：【注意】：在具體計算行列式的值時，到底按哪一行(列)來展開,看實際情況確定,哪行簡單(零元素較多),就按哪行展開.第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一證明：

則可以得到:

類似地,若按列來證明有:第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

例題分析解：把第3行其余元素變?yōu)?，然后按第3行展開：

第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例12證明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中記號是連乘號,表示全體同類因子的乘積。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一定理3推論.

n階行列式的任一行的各元與另一行對應元的代表余子式乘積之和為零，即：同理

n階行列式的任一列的各元與另一列對應元的代表余子式乘積之和為零，即：第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

行列式展開定理

行列式等于它的任一行(列)各元素與其對應的代數余子式乘積的和即

推論行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零即

綜合結論

總結第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43其中a13=3

a23=1

a33=-1

a43=0

例題分析例1

計算行列式

將D按第三列展開解

所以=-24D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)應有第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例2計算行列式常用方法：先化零，再展開.解