常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

Interrogateofpositivetermseries高等數(shù)電子教編安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics案§12.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959學(xué)高等數(shù)學(xué)三、絕對(duì)收斂與條件收斂一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023§12.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法1.1、定義及其收斂準(zhǔn)則1.2、比較審斂法1.3、比較法的極限形式1.4、比值審斂法1.5、根值審斂法(柯西法)1.6、極限審斂法：1.7、斂散性判別步驟二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及審斂法2.1、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義2.2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法三、絕對(duì)與條件收斂3.1、有關(guān)定義3.2、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系四、小結(jié)思考題1⑷⑸；2⑶；3⑷；4⑵⑷；5⑶⑸。設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)?￥=1nnu收斂,能否推得?￥=12nnu收斂?反之是否成立?作業(yè)：P268~269課前練習(xí)06六月2023課前練習(xí)當(dāng)

時(shí)收斂，其值為

。

2.若收斂，則A.收斂B.發(fā)散C.a=0時(shí)收斂D.以上都不對(duì)各類(lèi)級(jí)數(shù)收斂判別法比較繁，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)同號(hào)（正項(xiàng)）最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)（負(fù)項(xiàng)）提取負(fù)號(hào)變號(hào)（任意項(xiàng)）取絕對(duì)值為正項(xiàng)06六月20231.1、定義及其收斂準(zhǔn)則⑴定義:若,則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).⑵收斂準(zhǔn)則:定理1.有上界部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ns?證明(<=)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023★注意:一般級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的區(qū)別一般級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂單調(diào)有界數(shù)列有極限例1.

證明級(jí)數(shù)證:一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20231.2、比較審斂法①若?￥=1nnv收斂,則?￥=1nnu收斂;②若?￥=1nnu發(fā)散，則?￥=1nnv發(fā)散.且),2,1(L=￡nvunn

均為正項(xiàng)級(jí)數(shù),和設(shè)??￥=￥=11nnnnvu(大收小亦收)(小散大更散)證:①

即部分和數(shù)列有界注意：記反了則成笑話(huà)不是有界數(shù)列定理證畢.②⑴定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023例1.討論p-級(jí)數(shù)

的斂散性(p>0)。證故當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散.矩形的總面積小于曲邊梯形面積一旦命名很重要，今后天天打交道。

①當(dāng)p≤1時(shí),發(fā)散②當(dāng)p>1時(shí),綜上，p-級(jí)數(shù)當(dāng)0<p≤1時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂。一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023①若?￥=1nnv收斂,則?￥=1nnu收斂;②若?￥=1nnu發(fā)散，則?￥=1nnv發(fā)散.),N+1,N(L=￡nkvunn均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在常數(shù)k>0,和設(shè)??￥=￥=11nnnnvu推論使從某項(xiàng)起,有注意:比較審斂法的不便須有參考級(jí)數(shù).⑵比較法推論★注①擴(kuò)大k倍；②增減有限項(xiàng)。重要參考級(jí)數(shù):

幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),p-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).06六月2023例2.討論下列級(jí)數(shù)的斂散性。①②③解注：比大比小，在常數(shù)上打主意①∵②∵③∵一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023證例3證明級(jí)數(shù)?￥=+1)1(1nnn是發(fā)散的。例4.

判別級(jí)數(shù)的斂散性。解:因?yàn)閚>2時(shí)，,且發(fā)散,由比較判別法可知：發(fā)散Ex.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023例5.

判別的斂散性解：因?yàn)?且發(fā)散由比較判別法可知：發(fā)散例5的錯(cuò)誤在于：對(duì)比較判別法的比較原理未理解.故產(chǎn)生了找大散或找小斂，這是難點(diǎn)之一。對(duì)否？何也？另外，不等式的放大或縮小也是一個(gè)難點(diǎn)。觀察法：對(duì)一般項(xiàng)為分式的推測(cè)若記p=分母n的最高次冪與分子n的最高次冪的差，則

p>1時(shí)廣義p-級(jí)數(shù)收斂；p≤1時(shí)廣義p-級(jí)數(shù)發(fā)散.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20231.3、比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則⑴當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;⑵當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;⑶當(dāng)時(shí),若發(fā)散,則發(fā)散.nv?￥=1nnv?￥=1nnv?￥=1n?￥=1nnu?￥=1nnu證明由比較法推論,得證.都是無(wú)窮小量,上述三種情形分別為un是vn的⑴同階無(wú)窮小;⑵高階無(wú)窮小;⑶低階無(wú)窮小.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023比較判別法的一般步驟：1.首先根據(jù)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的形式,猜測(cè)級(jí)數(shù)的斂散性;2.根據(jù)猜測(cè)找斂散性已知的級(jí)數(shù),通常3.由比較判別法得出結(jié)論例6.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：請(qǐng)同學(xué)們先猜斂散性,再找級(jí)數(shù),最后下結(jié)論解:

因?yàn)?，又是q=1/2的幾何級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023解⑴原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.例7判定下列級(jí)數(shù)的斂散性:⑴?￥=11sinnn

;⑵?￥=-131nnn.例8.

若則正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散證明：因?yàn)橛职l(fā)散，由比較判別法知發(fā)散一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法達(dá)朗貝爾簡(jiǎn)介[法國(guó)]

(DAlembert)1717~17831.4、達(dá)朗貝爾與比值審斂法06六月2023⑵比值審斂法(達(dá)朗貝爾DAlembert判別法)：例9.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：由比值判別法可知：級(jí)數(shù)收斂.比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).設(shè)?￥=1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果)(lim1￥+rr=+￥?數(shù)或nnnuu則1<r時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1>r時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;1=r時(shí)失效.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023兩點(diǎn)注意:一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023例10.

判別級(jí)數(shù)的斂散性解：故級(jí)數(shù)發(fā)散.例11.

判別級(jí)數(shù)的斂散性解：由比值判別法可知：級(jí)數(shù)收斂.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023練習(xí)：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性

(sinx~x)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023例12.

判別的斂散性.解：此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)為發(fā)散綜上當(dāng)0<x<2時(shí)，收斂當(dāng)時(shí)，發(fā)散一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20231.5、柯西與根值審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

柯西簡(jiǎn)介柯西[法國(guó)]

(Augustin-LouisCauchy)

1789-185706六月20231.5、根值審斂法(柯西判別法)：設(shè)?￥=1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果r=￥?nnnulim)(￥+為數(shù)或r則1<r時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1>r時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;1=r時(shí)失效.例13.

判別的斂散性解：故原級(jí)數(shù)收斂例14判別的斂散性(k>0)解：級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散k=1時(shí)原級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)發(fā)散一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023例15設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，判別下列命題的對(duì)錯(cuò)。收斂斂散性不定發(fā)散例16.

討論的斂散性(曾不止一次考)。一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20231.6、極限審斂法：級(jí)數(shù)收斂.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20231.7、斂散性判別步驟發(fā)散發(fā)散比值判別法、根值判別法、比較判別法例18.證明:若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則收斂但反之不真（舉例說(shuō)明）證：因?yàn)槭諗?，所以又，由比較判別法得收斂例如：一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023練習(xí)：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解：1)為廣義p-級(jí)數(shù)，故找比較，因?yàn)樗园l(fā)散.又因發(fā)散，一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20232)找比較，因?yàn)橛忠蚴諗?，所以也收?)因?yàn)?所以故找比較,因?yàn)橛忠蚴諗?所以也收斂一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月20232.1、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義形如的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)其特點(diǎn)在于：級(jí)數(shù)的各項(xiàng)正、負(fù)相間.例1.

指出下列級(jí)數(shù)中的交錯(cuò)級(jí)數(shù)：二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023萊布尼茨定理2.2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判斂法——萊布尼茨判別法(1)(2)則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足:思考：若條件⑴不滿(mǎn)足,交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性如何？若條件⑵不滿(mǎn)足,交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性如何？發(fā)散不定例2

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解:⑴顯然又，故收斂.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023⑵因?yàn)橛杉?jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散.例3.

證明收斂證由可知又當(dāng)x>e時(shí),從而當(dāng)n>2時(shí),有

f(n)>f(n+1),即由萊布尼茨判別法可知：收斂

此題推導(dǎo)，借助于可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023解由萊布尼茲判別法知：原級(jí)數(shù)收斂.例4判別級(jí)數(shù)?￥=--21)1(nnnn的收斂性二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法06六月2023⑴任意項(xiàng)級(jí)數(shù):

正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)。3.1、有關(guān)定義注意:

正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)都屬于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，且是特殊的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。⑵絕對(duì)收斂:⑶條件收斂:三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023上定理的作用：證明3.2、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023例5.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解：是p=2>1的p-級(jí)數(shù),收斂.故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂01lim,11,1)2(11=3+==￥?++nvvnvnvnnnnn且顯然由萊布尼茨判別法可知：又發(fā)散,故原級(jí)數(shù)條件收斂.三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例6判別級(jí)數(shù)?￥=12sinnnn的收斂性.三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023例7.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：當(dāng)

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散p>1時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由于級(jí)數(shù)條件收斂綜上可知：三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023例8.

討論級(jí)數(shù)的斂散性解：將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值得正項(xiàng)級(jí)數(shù)由比值判別法可知:①當(dāng)|x|<1時(shí)收斂，從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;②當(dāng)|x|>1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散且有,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.③當(dāng)|x|=1若x=-1，原級(jí)數(shù)為發(fā)散，若x=1,原級(jí)數(shù)為：由萊布尼茲定理可知原級(jí)數(shù)條件收斂.三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023綜上可知及發(fā)散，可知原級(jí)數(shù)條件收斂.事實(shí)上練習(xí)：判別級(jí)數(shù)的斂散性.三、絕對(duì)收斂與條件收斂06六月2023正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法06六月2023一.級(jí)數(shù)收斂的必要條件判別一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性，首先考慮必要條件二.兩類(lèi)斂散性已知的級(jí)數(shù)廣義p-級(jí)數(shù)，即分子、分母為n的多項(xiàng)式，或n的多項(xiàng)式的算術(shù)根以及n的冪函數(shù)的代數(shù)和形式的級(jí)數(shù).常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法06六月2023三.正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法1.兩個(gè)必要條件發(fā)散發(fā)散2.比值判別法則r<1,級(jí)數(shù)收斂；r>1,級(jí)數(shù)發(fā)散；r=1,此法失效.3.根值判別法定理：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若則r<1,級(jí)數(shù)收斂；r>1,級(jí)數(shù)發(fā)散；r=1,此法失效.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法06六月20234.比較判別法定理：設(shè)與