高中數(shù)學(xué)經(jīng)典高考難題集錦解析版

第4頁（共35頁）2015年10月18日姚杰的高中數(shù)學(xué)組卷一．填空題（共17小題）1．（2014?永川區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是

．2．（2013?江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為．3．（2013?湖南）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，則（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．4．（2012?湖南）對(duì)于n∈N*，將n表示為n=+…+，當(dāng)i=k時(shí)，ai=1，當(dāng)0≤i≤k﹣1時(shí)，ai為0或1．定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1；否則bn=0．（1）b2+b4+b6+b8=；（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是．5．（2012?河北）數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項(xiàng)和為．6．（2012?上海）已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，則a20+a11的值是．7．（2012?上海）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)及公差均為正數(shù)，令．當(dāng)bk是數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)時(shí)，k=．8．（2011?浙江）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k=．9．（2010?天津）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．記．設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)，則n0=．10．（2013?湖南）對(duì)于E={a1，a2，…．a(chǎn)100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余項(xiàng)均為0，例如子集{a2，a3}的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于；（2）若E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，…，P100滿足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為．11．（2010?湖南）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N﹡，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為（an）+，則得到一個(gè)新數(shù)列{（an）+}．例如，若數(shù)列{an}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知對(duì)任意的n∈N+，an=n2，則（a5）+=，（（an）+）+=．12．（2010?遼寧）已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1﹣an=2n，則的最小值為．13．（2008?北京）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)Pk（xk，yk）處，其中x1=1，y1=1，當(dāng)k≥2時(shí)，T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為；第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．14．（2008?天津）已知數(shù)列{an}中，，則=．15．（2006?天津）設(shè)函數(shù)，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是與的夾角，（其中），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則=．其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1，3，5，…2n﹣1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．（I）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（II）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12…，記此數(shù)列為{bn}求和：（n∈N+）25．（2010?湖北）已知數(shù)列{an}滿足：，anan+1＜0（n≥1），數(shù)列{bn}滿足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．26．（2009?廣東）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1=（n≥2）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{}前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn＞的最小正整數(shù)n是多少？27．（2009?江西）數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2（cos2﹣sin2），其前n項(xiàng)和為Sn．（1）求Sn；（2）bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．28．（2009?重慶）已知，（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；（Ⅱ）設(shè)cn=bnbn+1，Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn≥17n；（Ⅲ）求證：．29．（2008?四川）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）證明：{an+1﹣2an}是等比數(shù)列；（Ⅲ）求{an}的通項(xiàng)公式．30．（2007?福建）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和為Sn；（2）設(shè)（n∈N+），求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

2015年10月18日姚杰的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．填空題（共17小題）1．（2014?永川區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是

．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：由a1，a3，a9成等比數(shù)列求得a1與d的關(guān)系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴（a1+2d）2=a1?（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)．2．（2013?江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為12．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；一元二次不等式的解法；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q，由題意可得關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得關(guān)于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．解答：解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q，由題意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通項(xiàng)公式為an==2n﹣6．記Tn=a1+a2+…+an==，Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由題意可得Tn＞Sn，即＞，化簡(jiǎn)得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只須n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n為正整數(shù)，因此n最大為的整數(shù)部分，也就是12．故答案為：12點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題．3．（2013?湖南）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，則（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性．專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式先分n=1和n≥2討論，由此求出首項(xiàng)和n≥2時(shí)的關(guān)系式．對(duì)此關(guān)系式再分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別得到當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，則a3可求；（2）把（1）中求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，n∈N*，則利用數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得結(jié)果．解答：解：由，n∈N*，當(dāng)n=1時(shí)，有，得．當(dāng)n≥2時(shí)，．即．若n為偶數(shù)，則．所以（n為正奇數(shù)）；若n為奇數(shù)，則=．所以（n為正偶數(shù)）．所以（1）．故答案為﹣；（2）因?yàn)椋╪為正奇數(shù)），所以﹣，又（n為正偶數(shù)），所以．則．，．則．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)能求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，此題為中高檔題．4．（2012?湖南）對(duì)于n∈N*，將n表示為n=+…+，當(dāng)i=k時(shí)，ai=1，當(dāng)0≤i≤k﹣1時(shí)，ai為0或1．定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng)a0，a1，a2，…，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1；否則bn=0．（1）b2+b4+b6+b8=3；（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值是2．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的函數(shù)特性．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）由題設(shè)定義可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，從而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；（2）設(shè){bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bi，即bi=0，構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，則akak﹣1…a1a0中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)a2a1a0=000時(shí)，cm=2；當(dāng)a2a1a0=001時(shí)，cm=0；當(dāng)a2a1a0=010時(shí)，cm=1；當(dāng)a2a1a0=011時(shí)，cm=0；當(dāng)a2a1a0=100時(shí)，cm=2；當(dāng)a2a1a0=101時(shí)，cm=0；當(dāng)a0=0，前面有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，cm=1；當(dāng)a0=0，前面有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，cm=2；當(dāng)末位有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，cm=1；當(dāng)末位有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，cm=0，由此可得cm的最大值．解答：解：（1）由題設(shè)定義可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1∴b2+b4+b6+b8=3（2）設(shè){bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bi，即bi=0，構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，則akak﹣1…a1a0中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，當(dāng)a2a1a0=000時(shí)，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；當(dāng)a2a1a0=001時(shí)，bi+1=0，cm=0；當(dāng)a2a1a0=010時(shí)，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；當(dāng)a2a1a0=011時(shí)，bi+1=0，cm=0；當(dāng)a2a1a0=100時(shí)，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；當(dāng)a2a1a0=101時(shí)，bi+1=0，cm=0；當(dāng)a0=0，前面有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；當(dāng)a0=0，前面有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；當(dāng)末位有奇數(shù)個(gè)1時(shí)，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；當(dāng)末位有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值為2．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于新定義型問題，正確理解新定義傳遞的信息是解題的突破口．5．（2012?河北）數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項(xiàng)和為1830．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列，而{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和，由等差數(shù)列的求和公式可求解答：解：∵，∴令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16∴數(shù)列{bn}是以16為公差的等差數(shù)列，{an}的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的和，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造等差數(shù)列6．（2012?上海）已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，則a20+a11的值是．考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：綜合題；壓軸題．分析：根據(jù)，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），可確定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（負(fù)值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得結(jié)論．解答：解：∵，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+2=f（an），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（負(fù)值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念、組成和性質(zhì)、同時(shí)考查函數(shù)的概念．理解條件an+2=f（an），是解決問題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中高檔試題．7．（2012?上海）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)及公差均為正數(shù)，令．當(dāng)bk是數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)時(shí)，k=1006．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：設(shè)，，由，根據(jù)基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，由此能求出結(jié)果．解答：解：設(shè)，，∵，∴根據(jù)基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，當(dāng)且僅當(dāng)an=a2012﹣n時(shí)，bn取到最大值，此時(shí)n=1006，所以k=1006．故答案為：1006．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，具體涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的性質(zhì)等基本知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．8．（2011?浙江）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k=4．考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：求數(shù)列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理．解答：解：令，假設(shè)=≥1，則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，又n是整數(shù)，即n≤3時(shí)，an+1＞an，當(dāng)n≥4時(shí)，an+1＜an，所以a4最大．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的最值問題，利用做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性是求數(shù)列最值的常用方式．9．（2010?天津）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．記．設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)，則n0=4．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：首先用公比q和a1分別表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表達(dá)式．再根據(jù)基本不等式得出n0解答：解：==因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值．故答案為：4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題．本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對(duì)進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解．10．（2013?湖南）對(duì)于E={a1，a2，…．a(chǎn)100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余項(xiàng)均為0，例如子集{a2，a3}的“特征數(shù)列”為0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于2；（2）若E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，…，P100滿足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為17．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；交集及其運(yùn)算．專題：壓軸題；新定義．分析：（1）利用“特征數(shù)列”的定義即可得出；（2）利用“特征數(shù)列”的定義分別求出子集P，Q的“特征數(shù)列”，再找出相同“1”的個(gè)數(shù)即可．解答：解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”為：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三項(xiàng)和等于1+0+1=2；（2）∵E的子集P的“特征數(shù)列”P1，P2，…，P100滿足Pi+Pi+1=1，1≤i≤99，∴P的特征數(shù)列為1，0，1，0，…，1，0．其中奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為0．則P={a1，a3，a5，…，a99}有50個(gè)元素，又E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，…，q100滿足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，可知：j=1時(shí)，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．∴子集Q的“特征數(shù)列”為1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．則Q={a1，a4，a7，…，a100}則P∩Q的元素為a1，a7，a13，…，a91，a97．∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．故答案分別為2，17．點(diǎn)評(píng)：正確理解“特征數(shù)列”的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2010?湖南）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N﹡，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為（an）+，則得到一個(gè)新數(shù)列{（an）+}．例如，若數(shù)列{an}是1，2，3…，n，…，則數(shù)列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知對(duì)任意的n∈N+，an=n2，則（a5）+=2，（（an）+）+=n2．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題；新定義．分析：根據(jù)題意，若am＜5，而an=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由題設(shè)條件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（an）+）+=n2．解答：解：∵am＜5，而an=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，猜想：（（an）+）+=n2．答案：2，n2．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答．12．（2010?遼寧）已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1﹣an=2n，則的最小值為．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由累加法求出an=33+n2﹣n，所以，設(shè)f（n）=，由此能導(dǎo)出n=5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．解答：解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以設(shè)f（n）=，令f′（n）=，則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n=5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．13．（2008?北京）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)Pk（xk，yk）處，其中x1=1，y1=1，當(dāng)k≥2時(shí)，T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，2）；第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（4，402）．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：由題意可知，數(shù)列xn為1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；數(shù)列{yn}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能夠得到第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)和第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：∵組成的數(shù)列為0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…一一代入計(jì)算得數(shù)列xn為1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即xn的重復(fù)規(guī)律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．?dāng)?shù)列{yn}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即yn的重復(fù)規(guī)律是y5n+k=n，0≤k＜5．∴由題意可知第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，2）；第2009棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（4，402）．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意創(chuàng)新題的靈活運(yùn)用．14．（2008?天津）已知數(shù)列{an}中，，則=．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；極限及其運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：首先由求an可以猜想到用錯(cuò)位相加法把中間項(xiàng)消去，即可得到an的表達(dá)式，再求極限即可．解答：解：因?yàn)樗詀n是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案為點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列的求和問題，用到錯(cuò)位相加法的思想，需要注意．15．（2006?天津）設(shè)函數(shù)，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是與的夾角，（其中），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，則=1．考點(diǎn)：數(shù)列的極限．專題：綜合題；壓軸題．分析：設(shè)函數(shù)，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），則能推導(dǎo)出Sn=，由此能導(dǎo)出．解答：解：設(shè)函數(shù)，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)An（n，f（n））（n∈N*），若向量=，θn是與的夾角，（其中），設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=，則=1．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)算，解題時(shí)要注意三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．16．（2005?上海）已知函數(shù)f（x）=2x+log2x，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=0.1n（n∈N），當(dāng)|f（an）﹣2005|取得最小值時(shí)，n=110．考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：壓軸題．分析：要使|f（an）﹣2005|取得最小值，可令|f（an）﹣2005|=0，即20.1n+log20.1n=2005，對(duì)n值進(jìn)行粗略估算可得答案．解答：解：|f（an）﹣2005|=|f（0．n）﹣2005|=|20.1n+log20.1n﹣2005|，（1）要使（1）式取得最小值，可令（1）式等于0，即|20.1n+log20.1n﹣2005|=0，20.1n+log20.1n=2005，又210=1024，211=2048，則當(dāng)n=100時(shí)，210=1024，log210≈3，（1）式約等于978，當(dāng)n=110時(shí)，211≈2048，log211≈3，（1）式約等于40，當(dāng)n＜100或n＞110式（1）式的值會(huì)變大，所以n=110，故答案為：110．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．17．（2006?湖北）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，則=．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；極限及其運(yùn)算．專題：計(jì)算題；壓軸題；探究型．分析：通過觀察可得=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕=1﹣+﹣=+﹣．進(jìn)而可得．解答：解：第一個(gè)空通過觀察可得．==（1+﹣1）+（）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）=（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕=1﹣+﹣=+﹣所以=．答案：．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．二．解答題（共13小題）18．（2008?安徽）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1﹣c，n∈N*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅲ）若0＜an＜1對(duì)任意n∈N*成立，證明0＜c≤1．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性．專題：壓軸題．分析：（Ⅰ）需要觀察題設(shè)條件進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造an﹣1=c（an﹣1﹣1）利用迭代法計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，觀察知應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和；（Ⅲ）由（Ⅰ）的結(jié)論知an=（a﹣1）cn﹣1+1．接合題設(shè)條件得出，．然后再用反證法通過討論得出c的范圍．解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)得：n≥2時(shí)，an﹣1=c（an﹣1﹣1）=c2（an﹣2﹣1）=…=cn﹣1（a1﹣1）=（a﹣1）cn﹣1．所以an=（a﹣1）cn﹣1+1．當(dāng)n=1時(shí)，a1=a也滿足上式．故所求的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=（a﹣1）cn﹣1+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：.，∴．∴所以∴．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知an=（a﹣1）cn﹣1+1．若0＜（a﹣1）cn﹣1+1＜1，則0＜（1﹣a）cn﹣1＜1．因?yàn)?＜a1=a＜1，∴．由于cn﹣1＞0對(duì)于任意n∈N+成立，知c＞0．下面用反證法證明c≤1．假設(shè)c＞1．由函數(shù)f（x）=cx的圖象知，當(dāng)n→+∞時(shí)，cn﹣1→+∞，所以不能對(duì)任意n∈N+恒成立，導(dǎo)致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及不等式的證明等；考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)送知識(shí)分析問題和解決問題的能力．第三問中特值法與反證法想接合，對(duì)做題方向與方法選取要求較高．是一個(gè)技能性較強(qiáng)的題．19．（2011?廣東）設(shè)b＞0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由題設(shè)形式可以看出，題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列an的面的一個(gè)方程，即一個(gè)遞推關(guān)系，所以應(yīng)該對(duì)此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)若對(duì)方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個(gè)類似等差數(shù)列的形式，對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行討論，分類求其通項(xiàng)即可．（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可以采取分析法的思路，由結(jié)論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達(dá)到證明不等式的目的．解答：解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），當(dāng)b=1時(shí)，（n≥2），∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，（n≥2），即數(shù)列{}是以=為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴=×=，即an=，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是（2）證明：當(dāng)b=1時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，an=，要證對(duì)于一切正整數(shù)n，2an≤bn+1+1，只需證2×≤bn+1+1，即證∵==（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥bn（2+2+…+2）=2nbn所以不等式成立，綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)n，有2an≤bn+1+1，點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，研究數(shù)列的性質(zhì)的能力，本題中遞推關(guān)系的形式適合用取倒數(shù)法將所給的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的形式，兩邊取倒數(shù)，條件許可的情況下，使用此技巧可以使得解題思路呈現(xiàn)出來．?dāng)?shù)列中有請(qǐng)多成熟的規(guī)律，做題時(shí)要注意積累這些小技巧，在合適的情況下利用相關(guān)的技巧，可以簡(jiǎn)化做題．在（2）的證明中，采取了分析法的來探究解題的思路，通過本題希望能進(jìn)一步熟悉分析法證明問題的技巧．20．（2014?濮陽二模）設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程求得d和q，進(jìn)而可得{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和Sn．解答：解：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則依題意有q＞0且解得d=2，q=2．所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①Sn=，②①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，則===．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和．21．（2014秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．（Ⅰ）設(shè)c=，bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范圍．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)學(xué)歸納法．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）令c=代入到an+1=c﹣中整理并令bn=進(jìn)行替換，得到關(guān)系式bn+1=4bn+2，進(jìn)而可得到{}是首項(xiàng)為﹣，公比為4的等比數(shù)列，先得到{}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．（2）先求出n=1，2時(shí)的c的范圍，然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明當(dāng)c＞2時(shí)an＜an+1，然后當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，根據(jù)由可發(fā)現(xiàn)c＞時(shí)不能滿足條件，進(jìn)而可確定c的范圍．解答：解：（1），，即bn+1=4bn+2，a1=1，故所以{}是首項(xiàng)為﹣，公比為4的等比數(shù)列，，（Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1得c＞2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時(shí)an＜an+1．（?。┊?dāng)n=1時(shí)，a2=c﹣＞a1，命題成立；（ii）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak＜ak+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，故由（i）（ii）知當(dāng)c＞2時(shí)，an＜an+1當(dāng)c＞2時(shí)，令α=，由當(dāng)2＜c≤時(shí)，an＜α≤3當(dāng)c＞時(shí)，α＞3且1≤an＜α于是α﹣an+1≤（α﹣1），當(dāng)n＞因此c＞不符合要求．所以c的取值范圍是（2，]．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力，在解題過程中也滲透了對(duì)函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查．22．（2010?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．（1）證明；（2）是否存在常數(shù)c＞0，使得成立？并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；不等式的證明．專題：計(jì)算題；證明題；壓軸題．分析：（1）設(shè){an}的公比為q，當(dāng)q=1時(shí)根據(jù)Sn?Sn+2﹣Sn+12求得結(jié)果小于0，不符合；當(dāng)q≠1時(shí)利用等比數(shù)列求和公式求得Sn?Sn+2﹣Sn+12＜0，進(jìn)而推斷Sn?Sn+2，＜Sn+12．根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得lg（Sn?Sn+2）＜lgSn+12，原式得證．（2）要使．成立，則有進(jìn)而分兩種情況討論當(dāng)q=1時(shí)根據(jù)（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）=（Sn+1﹣c）2求得﹣a12＜0不符合題意；當(dāng)q≠1時(shí)求得（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）﹣（Sn+1﹣c）2=﹣a1qn[a1﹣c（1﹣q）]，進(jìn)而推知a1﹣c（1﹣q）=0，判斷出0＜q＜1，但此時(shí)不符合題意，最后綜合可得結(jié)論．解答：（1）證明：設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)a1＞0，q＞0．（i）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，從而Sn?Sn+2﹣Sn+12=na1?（n+2）a1﹣（n+1）2a12=﹣a12＜0（ⅱ）當(dāng)q≠1時(shí)，，從而Sn?Sn+2﹣Sn+12==﹣a12qn＜0．由（i）和（ii）得Sn?Sn+2，＜Sn+12．根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知lg（Sn?Sn+2）＜lgSn+12，即．（2）解：不存在．要使．成立，則有分兩種情況討論：（i）當(dāng)q=1時(shí)，（Sn﹣c）（Sn+2﹣c）=（Sn+1﹣c）2=（na1﹣c）[（n+2）a1﹣c]﹣[（n+1）a1﹣c]2=﹣a12＜0．可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c＞0，使結(jié)論成立．（ii）當(dāng)q≠1時(shí)，若條件①成立，因?yàn)椋⊿n﹣c）（Sn+2﹣c）﹣（Sn+1﹣c）2==﹣a1qn[a1﹣c（1﹣q）]，且a1qn≠0，故只能有a1﹣c（1﹣q）=0，即此時(shí)，因?yàn)閏＞0，a1＞0，所以0＜q＜1．但0＜q＜1時(shí)，，不滿足條件②，即不存在常數(shù)c＞0，使結(jié)論成立．綜合（i）、（ii），同時(shí)滿足條件①、②的常數(shù)c＞0不存在，即不存在常數(shù)c＞0，使．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力以及分析問題和解決問題的能力．23．（2010?安徽）設(shè)C1，C2，…，Cn，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列．（Ⅰ）證明：{rn}為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)r1=1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定．專題：壓軸題．分析：（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)Cn的圓心為（λn，0），得λn=2rn，同理得λn+1=2rn+1，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即{rn}中rn+1與rn的關(guān)系，證明{rn}為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求{rn}的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后用錯(cuò)位相減法求和．解答：解：（1）將直線y=x的傾斜角記為，則有tanθ=，sinθ=，設(shè)Cn的圓心為（λn，0），則由題意得知，得λn=2rn；同理λn+1=2rn+1，從而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，將λn=2rn代入，解得rn+1=3rn故|rn|為公比q=3的等比數(shù)列．（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n﹣1，從而，記，則有Sn=1+2?3﹣1+3?3﹣2+…+n?31﹣n①﹣②，得=，∴點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考查抽象概括能力以及推理論證能力．對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an+1之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論．對(duì)于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時(shí)，通常是利用前n項(xiàng)和Sn乘以公比，然后錯(cuò)位相減解決．24．（2010?湖南）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1，3，5，…2n﹣1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．（I）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；（II）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12…，記此數(shù)列為{bn}求和：（n∈N+）考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)表1，表2，表3的規(guī)律可寫出表4，然后求出各行的平均數(shù)，可確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而推廣到n．（2）先求出表n的首項(xiàng)的平均數(shù)，進(jìn)而可確定它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而得到表中最后一行的數(shù)bn=n?2n﹣1，再化簡(jiǎn)通項(xiàng)，最后根據(jù)裂項(xiàng)法求和．解答：解：（I）表4為13574812122032它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列將這一結(jié)論推廣到表n（n≥3），即表n（n≥3）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列．（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n﹣1，其平均數(shù)是=n由（I）知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列（從而它的第k行中數(shù)的平均數(shù)是n?2k﹣1），于是，表中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bn=n?2n﹣1．因此====（k=1，2，…，n）故++…+=（﹣）+（﹣）+…+[﹣]=﹣=4﹣．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和等比數(shù)列的性質(zhì)．?dāng)?shù)列求和是高考的必考點(diǎn)，一般有公式法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法等，都要熟練掌握．25．（2010?湖北）已知數(shù)列{an}滿足：，anan+1＜0（n≥1），數(shù)列{bn}滿足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；應(yīng)用題；壓軸題．分析：（1）對(duì)化簡(jiǎn)整理得，令cn=1﹣an2，進(jìn)而可推斷數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得cn，則a2n可得，進(jìn)而根據(jù)anan+1＜0求得an．（2）假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，于是有br＞bs＞bt，則只有可能有2bs=br+bt成立，代入通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為2，右邊為分?jǐn)?shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．解答：解：（Ⅰ）由題意可知，令cn=1﹣an2，則又，則數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，anan+1＜0故因?yàn)?，故（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{bn}存在三項(xiàng)br，bs，bt（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是有2bs=br+bt成立，則只有可能有2br=bs+bt成立，∴化簡(jiǎn)整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且為整數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．故數(shù)列{bn}中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于用遞推式確定數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，?？砂淹ㄟ^吧遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列．26．（2009?廣東）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c，數(shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1=（n≥2）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{}前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn＞的最小正整數(shù)n是多少？考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)（1，）在f（x）=ax上求出a的值，從而確定函數(shù)f（x）的解析式，再由等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）﹣c求出數(shù)列{an}的公比和首項(xiàng)，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1=可得到數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，再由bn=Sn﹣Sn﹣1可確定{bn}的通項(xiàng)公式．（2）先表示出Tn再利用裂項(xiàng)法求得的表達(dá)式Tn，根據(jù)Tn＞求得n．解答：解：（Ⅰ）∵f（1）=a=∴f（x）=（）x，∴a1=f（1）﹣c=﹣c，∴a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列，=﹣，∵a1=﹣c∴﹣=﹣c，∴c=1又公比q==所以an=（）n﹣1=﹣（）n，n∈N；∵Sn﹣Sn﹣1=（+）（﹣）=（n≥2）又bn＞0，＞0，∴=1；∴數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，∴=1+（n﹣1）×1=n，Sn=n2當(dāng)n≥2，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1；又b1=c=1適合上式，∴bn=2n﹣1（n∈N）；（Ⅱ）Tn=++…+==（1﹣）+（﹣）+（）+…+=（1﹣）=由＞，得n＞滿足的最小正整數(shù)為84．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和問題．考查學(xué)生綜合分析問題的能力．27．（2009?江西）數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2（cos2﹣sin2），其前n項(xiàng)和為Sn．（1）求Sn；（2）bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；二倍角的余弦．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）利用二倍角公式可得，由于，所以求和時(shí)需要對(duì)n分類討論，求出和（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列的和解答：解：（1）由于，故S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k﹣2+a3k﹣1+a3k）==，，故（k∈N*）（2），，，兩式相減得，故．點(diǎn)