2020年高考·海南省海口市2020屆高三高考調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)

保密★啟用前

2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷的指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

指定位鳧上。寫在本試卷上無(wú)效.

3.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合合={1,2,3,4},8={3,4,5,6,7},集合“={x|xe3且xw/},則加=

A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6,7}D.(3,4,5,6,71

復(fù)數(shù)千對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)T對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離是

2.在復(fù)平面內(nèi)，

A.1B.-J1C.2D.242

3.設(shè)向量。=(-1,2),向原。是與。方向相同的單位向埴，則力=

4.(1-2x)“的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

X

A.-160B.-80C.80D.160

5.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門,’的造型是東方之門的

立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1,兩棟建筑第八層由?條長(zhǎng)60m的連橋連接,

在該拋物線兩側(cè)距連橋150m處各有一窗戶,兩窗戶的水平距離為30m,如圖2,則此拋物

線頂端O到連橋48距離為

圖1

A.180mB.200/wC.220mD.240/w

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第I頁(yè)(共5頁(yè))】

6.函數(shù)〃x)=ln|x|+J—的圖象大致是

X'-1

離為20,則該球的表面積為

A.16”B.24兀C.36乃D.4M

8.已知數(shù)列｛a“｝滿足％=logz(”+2X"wN),設(shè)［=…eN'),若(eN'，稱數(shù)A為

“企盼數(shù)”，則區(qū)間［1,2020］內(nèi)所有的企盼數(shù)的和為

A.2020B.2026C.2044D.2048

二'多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)越小，表明空氣質(zhì)量越好，表1

是空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖I是經(jīng)整理后的某市2019年2月與2020年2

月的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖

表1

空氣質(zhì)量:指數(shù)(AQD

優(yōu)(AQIS5O)

良(50<AQI<l00)

輕度污染<100<AQl<150)

中度污染(15O<AQI42OO)

垂度污染<200<AQI<300)

嚴(yán)肅污臭(AQI>300)

下列敘述正確的是

A.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)的頻率為0.032

B.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量整體上優(yōu)于2019年2月份的空氣質(zhì)量

C.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)小于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)

D.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差大于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差

10.設(shè)有一組圓C*：(X-A+1)2+()，-2幻2=1,下列說(shuō)法正確的是

A.這組圓的半徑均為1

B.直線2x-y+2=0平分所有的圓Q

C.存在無(wú)窮多條直線/被所有的I圓Q截得的弦長(zhǎng)相等

D.存在一個(gè)圓C*與x軸和)，軸均相切

［2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共5頁(yè))］

11.如右圖，正方體力8。-44cA的樓長(zhǎng)為1,過(guò)點(diǎn)4作平面48。的垂Bi

線，垂足為點(diǎn)，.則以下命題正確的是\;V/v\

A.點(diǎn)，是△48D的重心B./H_L平面\>VZI\l

C.延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)GD.直線加/和84所成角為45修番二三坪心

12.“已知函數(shù)/(x)=.r-cosx,對(duì)手瑪，夕上的任意芭,x,,若,則必有/(x,)>/(x2)

恒成立.”在橫線中填上下列選項(xiàng)中的某個(gè)條件，使得上述說(shuō)法正確的可以是

A.|x(|>x,B.+x,>0C.x；>x：D.—>1

*2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.2020年初，新冠肺炎疫情爆發(fā)，全國(guó)人民萬(wàn)眾一心，共同抗擊疫情.武漢市某醫(yī)院傳染科有

甲、乙、丙、丁、戊五位醫(yī)生，每位醫(yī)生從周一至周五輪流安排一個(gè)夜班.若丁比乙晚兩天,

丙比甲早一天，戊比丙單兩天，則周一值夜班的醫(yī)生是.

14.已知ae(J”)，且sina=3,則tan(a+2)的值為_(kāi)______.

254

22

15.如圖，從雙曲線3?嘖=1的左焦點(diǎn)6引圓/+/=9的切線，切點(diǎn)為7,延長(zhǎng)并交雙曲

線右支于。點(diǎn).設(shè)M為線段々P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|￡7|=,

\MO\-\MT\=.(本題第一空2分，第二空3分)

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區(qū)想曲臾r桃?1

，、八，、九九九九》十

16.擁有“千古第一才女”之稱的宋代女詞人李清照發(fā)明了古代非常流行的游戲“打馬”，在她

的《打馬賦》中寫道“實(shí)博弈之上流，乃閨房之雅戲”.“打馬”游戲用每輪拋擲三枚完全

相同的骰了?決定“馬”的行走規(guī)則，每一個(gè)拋擲結(jié)果都有對(duì)應(yīng)走法的名稱，如結(jié)果由兩個(gè)2

點(diǎn)和一個(gè)3點(diǎn)組成，叫做“夾七”，結(jié)果由兩個(gè)2點(diǎn)和?個(gè)4點(diǎn)組成，叫做“夾八”.則在

某?輪中，能夠拋出“夾七”或“夾八”走法的概率是.

四'解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

從①a="，②6=2,③cos8=".這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，分別補(bǔ)充在卜面問(wèn)題的橫線中,

回答有關(guān)問(wèn)題.設(shè)△/8C的角4、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c,若,

,且滿足(26-c)cos4=acosC,求aABC其余各邊的長(zhǎng)度和△ABC的面枳S.

(注：如果選擇不同條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.)

【2020年海口市高考調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第3貝(共5頁(yè))】

18.（12分）

已知數(shù)列｛4｝的苜項(xiàng)q=1,且點(diǎn)（瘋在函數(shù)》=./+1的圖象上.

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（II）若數(shù)列他｝滿足a=1,=4+2%,證明：〃也+2…

19.（12分）

如圖，四棱錐S-襤CD滿足&4_L平面加KO,底面48CO是正方形，AC與BD交于煎O,

SA=AB=4,側(cè)棱SC上有一點(diǎn)￡滿足S￡=3￡C.5'

（I）證明：。￡_1平面5。8：

（II）求二面角E-8O-C的余弦值.\

20.（12分）

已知橢網(wǎng)C:4+4=1（a>A>0）的其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線/=8K的焦點(diǎn)相同，點(diǎn)D（4.3）到

a1h-

圓O：/+/=從上點(diǎn)的最大距離為7,點(diǎn)/,8分別是橢圓C的左右頂點(diǎn).

（【）求圓O和橢圓C的方程：

（II）如圖，已知位于），軸兩側(cè)的尸,0分別是橢圓C和圓。上的動(dòng)點(diǎn)，且直線P0與x軸

平行，直線力尸，8P分別與y軸交于點(diǎn)M,N,證明：/A/0N為定值.

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共5頁(yè)）］

21.（12分）

零部件生產(chǎn)水平，是評(píng)判一個(gè)國(guó)家高端裝備制造能力的更要標(biāo)準(zhǔn)之一.其中切割加工技術(shù)是一

項(xiàng)重要技術(shù).某研究機(jī)構(gòu)自主研發(fā)了一種切割設(shè)備，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為設(shè)備正常狀

態(tài)下切割的零件尺寸服從正態(tài)分布.按照技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)要求，從該設(shè)備切割的一個(gè)批次

零件中任意抽取10件作為樣本，如果樣本尺寸的平均值與零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸相差的絕對(duì)值小于

0.1(單位：mm),且所有零件尺寸均在(〃-3b,〃+孫范圍內(nèi)，則認(rèn)定該切割設(shè)備的技術(shù)標(biāo)

準(zhǔn)為A級(jí)：如果樣本尺寸的平均值與零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸相差的絕對(duì)值大于等于0.1小于0.5,且

所有零件尺寸均在(〃-3b,〃+3b)范圍內(nèi)，則認(rèn)定該切割設(shè)備的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)為B級(jí)：如果樣本

尺寸的平均值與零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸相差的絕對(duì)值大于等于0.5或存在零件尺寸在(〃-3G〃+3G

范圍外，則認(rèn)定該切割設(shè)備的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)為C級(jí).

(I)設(shè)某零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為100mm,下面是檢驗(yàn)員抽取該設(shè)備切割的10個(gè)零件尺寸：

100.03100.499.92100.5299.98

100.3599.92100.44100.66100.78

10

經(jīng)計(jì)算，有Ex：=100601.8,其中七為抽取的第，,個(gè)樣本的尺寸，i=l,2,3,…,10,用

?=|

樣本的平均數(shù)亍作為〃的估計(jì)值"，用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差S作為O■的估計(jì)值6,根據(jù)數(shù)據(jù)

判斷該切割設(shè)備的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)：

(11)生產(chǎn)該種零件的某制造商購(gòu)買了該切割設(shè)備，正常投入生產(chǎn)，公司制定了兩種銷售方

案(假設(shè)每種方案對(duì)銷售量沒(méi)有影響)：

方案1：每個(gè)零件均按70元定價(jià)銷售；

方案2：若零件的實(shí)際尺寸在(99.7.100.3)范圍內(nèi)，則該零件為【級(jí)零件，每個(gè)零

件定價(jià)100元，否則為11級(jí)零件，每個(gè)零件定價(jià)60元.

哪種銷售方案能夠給公司帶來(lái)更多的利潤(rùn)？請(qǐng)說(shuō)明.

(附：若隨機(jī)變量X?%(〃,/),則尸(〃-b<X<〃+b)=0.6826,

P(〃-2a<X<//+2CT)=0.9544)

22.（12分）

已知函數(shù)/（.V）=winx.

(I)當(dāng)〃?=2以””乃(左€N*),分析函數(shù)g(x)=x?-f(x)的單調(diào)性；

X—1

(II)當(dāng)，〃>0時(shí)，若函數(shù)f(x)=〃21nx與力(幻=—的圖象有且只有一條公切線，求〃7

2x

的值.

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)(共5頁(yè))]

2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：1、C2、C3、B4、A5、B6、A7、D8、B

二、多項(xiàng)選擇題：9、BC10、ABII、ABC12、CD

三、填空題：13、乙14、--15、4、116、—

7——36

四、解答題

17.解析：在。中，已知(2/>—c)cos/=acosC,

由正弦定理得:(2sin5-sinC)-cosJ=sinA-cosC.......1分

即2sinB-cosJ-sinC-cosA=sin4cosc,

得2sin8cos4=sinA-cosC+sinC-cosJ=sin(A+C).......2分

又因?yàn)?+8+C=;r,sin(4+C)=sinB,所以，2sin8-cos/=sin8.......3分

乂Be(0,;r),sin8K0,得2cos/=LcosJ=—.Ae(0?乃)，所以，A=—........5分

23

若選條件①②，由余弦定理得：

a2=h2+c2-2/)ccos/!=4+c2-2x2xex—=c2-2c+4=7.......7分

2

得c,-2c-3=0,c=3或e=-l(舍去).......8分

所以.=-he-sinA=—x2x3x=^2.........io分

"2222

1a,a/a

若選條件①③，由cos8=—，Be(0>TT)9得sin8=Jl-cos~8=....6分

1414

又由正弦定理」一=/一,得半=_，，解得8=2：自.........7分

sinAsinB，33V37

T14

因?yàn)榱?8+。=乃，

由1313G4。

所以，sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosJsin5=—x--1—x----=----........8分

2142147

E4百

asinC_*7_84

從而,.......9分

sinAyj37

2

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁(yè)（共7頁(yè)）】

c_1A?「一I不3々4力_66inZ.

S——QD,sinC——xv7x------x------=........................10分

MBC22777

1->_______a巧

若選條件②③，lilcosB=—,Be(0,左)，WsinB=Vl-cos2B=-..............6分

1414

又由正弦定理，一=/一,得與=/.解得..........7分

sinAsinBV33V33

214

因?yàn)镹+8+C=zr,

所以，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cos71sinZ?=—x---1--x------=........8分

2142147

144G

X

▽asinC3-----7------16八八

sinAV33

2

?1,.?114.4x/385/3s公

=-apsmC=-x—x2x------=........10分

"友22373

18.解析:

（1）由已知得4“+[=。“+1..........1分

所以，數(shù)列｛”“｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列：.....2分

則1=n.........4分

(2)由(1)知b“+i-b.=2fl-=2".........5分

4=應(yīng)-%)+(%-如)+…+(&-4)+4

=2*-1+2"2+2"3+---+2+1

力也+2-〃/=(2"-D(2n+2-l)-(2"+,-1)2

=-5-2"+4-2n=-2"<0

所以，b.?b,+2cb.........12分

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁(yè)（共7頁(yè)）】

19.解析：

(1)法一

如圖，在平面S6c內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EMHCB交SB于點(diǎn)M,則有SW=3MB，連OM，取SB的

中點(diǎn)尸,連接。尸.

因?yàn)镾/1面48CO,

所以，SA工DB,又DBLAC,SAQAC=A

所以，O8J.面S4C,

OEu面”C,所以O(shè)EJ.OB..............2分

又因?yàn)镾X_L8GAB1BC,SAQAB=A

所以，BC1

SBu面S48,所以8C_LSB,

又EM"CB,所以EM_LSB,

易知ASDB為等邊三角形，則DE_LS8,由SM=3MB得M為BF的中點(diǎn),

在zW戶方中，。為￡>8的中點(diǎn)，則與OM//DF,從而與OM上SB

因?yàn)镺MAEM=M,OM,EMc面OEM

所以SSI面。EM,..........4分

又OEu面OEM,所以，OELSB

因?yàn)?。ClSB=&BD,SBu面SD8

所以,OE上面SDB..........6分

(1)法二

以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，/8,/。,45所在直線分別為乂招2軸建系如圖：

則5(0,0,4),C(4,4,0),B(4,0,0),0(0,4,0),0(2,2,0),由SC=4EC,得E(3,3,l)……2分

方=(1,1,1),麗=(4,-4,0)國(guó)=(4,0,-4)

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁(yè)(共7頁(yè))】

OE?DB=4-4=0,詼?宓=4-4=0,

()ELDB.OE....................4，：

OE1DB,OE1SB,SB,DBu面S￡>8,SBC\DB=B

所以,OEJL面SDB...................6分

(2)易得平面80a去向量7=(0,0,1)...................8分

設(shè)平面BDE法向量無(wú)=(x,y,z),D5=(4,-4,0),B￡=(-1,3,1)

[n.,±DB[w,?DB=0\4x-4y=0一

由_得,|」—即；；八取〃,=(U,-2).....................10分

\[n2±BE|[n:-5￡=0[-x+3j+z=0

則cos<4，%>=[^=q-.所以，銳二面角E-8O-C的余弦值為于............12分

20.解析：

(1)由題知拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),則橢圓中c=2..........................1分

。到圓O的最大距離為|。。|+力=7,|叩=5,則6=2,................2分

則圓O的方程為x2+y2=4................3分

由，=/+02=8,橢圓。方程為：J匕=1................4分

84

(2)由題，設(shè)尸(叫〃),Qr,〃),〃e(-2,0)U(0,2)

由力(一2&,0),8(20,0).................................5分

得：直線P8:y=-，（x—2板），從而直（0,一2&2）

m-272m-2y/2

直線":y=—J=(x+2拒)，從而A/(0,金色3)

7分

m+2j2膽+2,2

.2^2/7—■-2

QM=(T,---------Lft),QN=(T,--------『一〃)

m4-2V2m-2\J2

得0M?0N=/+-^-9分

-8

【2020年海口市高考調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁(yè)（共7頁(yè)）】

因?yàn)镻在橢圓C上,所以〃/+2〃2=8,

因?yàn)?在圓。上，所以產(chǎn)+“2=4,............................io分

所以：

?m~n~2(8—.y?2、八

QM-QN=t+―；----t1------------------一(4-〃2)=z0

/w~—82〃~

.?.QM±QN/MQN=90,為定值...............12分

21解析：

(I)由題意，

110

x=—￡x,=1003,...................1分

10i=i

I10110

4=?Z(x，-a7°F)=009，..........3分

iu/=iiu,

所以/}=100.3，d=0.3,樣本的均值與零件標(biāo)準(zhǔn)尺寸差為100.3-100=0.3,并旦對(duì)每一個(gè)數(shù)據(jù)巧，

均有±e(/7-笫/+笫)(/=1,2,3,-,10),由此判斷該切割設(shè)備技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)為B級(jí)標(biāo)

準(zhǔn)...........5分

(11)方案1：每個(gè)零件售價(jià)為70元.

方案2：設(shè)生產(chǎn)的零件售價(jià)為隨機(jī)變量則§可以取60,100.由題意，設(shè)備正常狀態(tài)下切割

的零件尺寸為X，11X?MI0030.32).所以

P(g=100)=P(99.7<x<]00.3)=-2cr<X<〃)=0.4772,

=60)=1-P(g=100)=0.5228,....................8分

所以隨機(jī)變量J的分布列為

g60100

P0.52280.4772

所以4的數(shù)學(xué)期望心=60x0.5228+100x0.4772>60x0.5+100x0.47=77>70................11分

綜上，方案二能夠給公司帶來(lái)更多的利潤(rùn)...........12分

22.解析:

(1)由己知：g(x)=x2-f(x)=x2-2cosA:^-In.rXG(0,+OO)

.<1,2coskn

g(x)=2x--------------

1分

【2020年?？谑懈呖颊{(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案第5頁(yè)(共7頁(yè))】

2

當(dāng)無(wú)為奇數(shù)時(shí)，COSATF=?1,g(x)=2x+—>0

x

g(x)=x2-2cosZr^-Inx在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增。........2分

、1//-fcf.nl11\C22(X~-1)2(X—1)(X+1)

當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，cosQr=l,g(x)=2x?—=-------=------------