2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編13概率統(tǒng)計(jì)解答題（全國(guó)通用版）含解析

2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題13概率統(tǒng)計(jì)解答題

一、解答題

1.（2022年全國(guó)甲卷理科?第19題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)

目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率：

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

2.（2022年全國(guó)乙卷理科?第19題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)

某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單

位：n?），得到如下數(shù)據(jù)：

樣

本

12345678910總和

號(hào)

i

根

部

橫

截0.040.060.040.080080.050.050.070.070.060.6

面

積

匕

材

積

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

J里S.

匕

101010

并計(jì)算得=0.038,2弁=1.6158,工工上=0.2474.

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為

186m2.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材

積量的估計(jì)值.

Z&-?。˙一力____

附：相關(guān)系數(shù)r=I三，"96h1.377.

住（凡-?。┻@s-歹r

Vi=li=l

3.（2022新高考全國(guó)H卷?第19題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）:

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)

據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

4.（2022新高考全國(guó)I卷?第20題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)

慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在

未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，/表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選到的人患有該

疾病《導(dǎo)?與翼容的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該

|A)|A)

指標(biāo)為R.

rvTH0?P(A\B)P(A\B)

⑴此■P(A15)P(A\B)'

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出產(chǎn)(川6),尸(小豆)的估計(jì)值，并利用⑴的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

附心——n(ad-bcf——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.(2021年新高考全國(guó)II卷?第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為

第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相

互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).

(1)已知p0=0.4,A=0.3,2=0.2,/?3=0.1,求E(X)?

23

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x+Pix=x

的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)41時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

6.(2021年新高考I卷?第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有8兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)

先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確

則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束./類問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得20分，否則得。分：8類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明

能正確回答/類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答8類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與

回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答/類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

7.(2020年新高考I卷(山東卷)?第19題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)

行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：Hg/m5),得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)？

附：爛=——出3——，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

8.(2020新高考II卷(海南卷)?第19題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)

行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：ptg/m3),得下表:

[0.50](50,150](150,475]

PM25

[0,35]32184

(35.75]6812

(75,115]3710

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且S02濃度不超過(guò)150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0.150](150,475]

[0,7習(xí)

(75115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PR>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.(2021年高考全國(guó)乙卷理科?第17題)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某

項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.31001029.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為戛和亍，樣本方差分別記為S：和S；.

⑴求1y,S；,S；；

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹-亍22形除豆，則認(rèn)為

新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

10.(2021年高考全國(guó)甲卷理科?第17題)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，

為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

附：——幽冷——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

11.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第19題)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)

兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)

比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人

被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概

率都為:，

2

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

12.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第18題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量

有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)

單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（》,y,）（i=l,2....20）,其中x,和、分別

20

表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得=60,

/=1

20202020

2

￡乂=1200,￡（X,.-X）=80,￡（匕—歹了=9000,￡（x,.-x）（y;-7）=800.

/=!r=l/=1i=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本Q,%）（戶1,2....20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料?，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

附：相關(guān)系數(shù)『〒’".，--------------------，414.

應(yīng)—迂3-守一

V/'=1/,=]

13.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第18題）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)

和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率：

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握

認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

附：K、——出3——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（聯(lián)/）0.0500.0100.001

3841

k6.63510.828

14.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)in卷理科?第17題）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn):

將200只小鼠隨機(jī)分成48兩組，每組100只，其中Z組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子

溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在

小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

15.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)II卷理科?第18題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平

后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲

發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10

平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

⑴求尸（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

16.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)I卷理科?第21題）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種

新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩

只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為

了方便描述問(wèn)題，約定，對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1

分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分；若

都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和萬(wàn)，一輪試驗(yàn)中甲藥的得

分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲

藥比乙藥更有效”的概率,則Po=0,Pg=1,p.=apiA+bpI+cpM(i=l,2,…,7),

其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,夕=0.8.

⑴證明：｛夕川一0.｝。=0,1,2一?,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4,并根據(jù)為的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

17.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷(理)?第18題)(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完

成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種生產(chǎn)方式，為比較兩咱生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組,

每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的

工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)加，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)〃?和不超過(guò)加的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過(guò)機(jī)不超過(guò)加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n(ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（理）?第18題）（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單

位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量,的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000

年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量，的值依次為1,2,…,17）建立模型①：,=-30.4+13.5/；根據(jù)2010年至

2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量f的值依次為1,2,…,7）建立模型②：f=99+17.5f.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.

19.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷1（理）?第20題）（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在

交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取

20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

p（0<p<l）,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）1520件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/（p）,求/（p）的最大值點(diǎn)p0.

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的P。作為p的值.已知每件產(chǎn)品

的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

⑴若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

20.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第19題）（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員

每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條

生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布NWd).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件數(shù)，

求P(XN1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的

生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

⑴試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.951().129.969.9610.019.929.981().04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

]/116/]16

經(jīng)計(jì)算得亍二二工七二力鄉(xiāng)？，s=—￡(x,—亍)2=J—(VX,2-16X2)2B0.212,其中七為抽取

16,=i"16篇

的第i個(gè)零件的尺寸，，=1,2,…,16.

用樣本平均數(shù)亍作為〃的估計(jì)值A(chǔ),用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值3,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)

天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(。-36,〃+35)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)〃和o■(精確到o.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布"(〃,/),則P(〃—3b<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592,J0.008?0.09.

21.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第18題)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶

4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天

需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:。C)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間

[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前

三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

⑴求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列；

(H)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為丫(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量〃(單位:瓶)為多少

時(shí),y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

22.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科?第18題)(12分)淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量

對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直方圖如下：

量不低于50kg,估計(jì)A的概率;

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量五0kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）

n(ad-be)2pRw0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

23.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第18題）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位:億噸）

的折線圖.

人

京

萬(wàn)

切

宋

哀

宅

要

知

臥

⑴由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合夕與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

（H）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.

參考數(shù)據(jù):￡乂=9.32,=40.17忙（乂一歹了=0?55，6”2.646.

/=1/=!V/=1

6（—）8-歹）

參考公式:相關(guān)系數(shù)r=產(chǎn)“

）2七（X.-歹）2

Vz=i/=1

—）（y；-y）

回歸方程y=G+應(yīng)中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:b=-...........,a=y-bT.

E（c-o2

/=1

24.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科?第18題）（本題滿分12分）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為°（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該

險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險(xiǎn)次

01234>5

數(shù)

0.85a1.25a1.75a

保費(fèi)a1.5。2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

⑴求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（II）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;

（III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.

25.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第19題）（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年

后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元.在

機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零

件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

頻數(shù)"

891011更換的易損零件數(shù)

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)

機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).

（I）求X的分布列；

（H）若要求尸（XV〃）20.5,確定〃的最小值;

（HI）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

26.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第18題）（本題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從Z,B

兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

/地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

8地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

⑴根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值

及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；

/地區(qū)8地區(qū)

4

5

6

7

8

9

（H）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

記事件C：“Z地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于6地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相

互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.

27.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第19題）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)

x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：/）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)西和年銷

售量匕（i=l,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。

年

銷

售

量

年宣傳費(fèi)汗元

K8.K__8_

-JZu-E(W,TZ(若-x)(%-y)22(w,-w)(x-

/=!/=1/=1/=!

46.656.36.8289.81.61469108.8

表中叫.=,w=ZWj。

1=1

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，夕=4+6、與夕=?+哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)X的回歸

方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（H）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（III）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-尤.根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

①年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

（ii）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

附,：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,片）,（陶,嶺），……，（〃”,匕）,其回歸線丫=&+仇/的斜率和截距的最小二乘估計(jì)

分別為：

〃__

P=3七----------"=u一6".、

E（u,-?）2

/=1

28.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科?第19題）（本小題滿分12分）

某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入六單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號(hào)

1234567

t

人均純收

2.93.33.64.44.85.25.9

入N

⑴求y關(guān)于/的線性回歸方程；

（II）利用（I）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并

預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

29.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科?第18題）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)

值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)嚏和樣本方差$2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃,〃)，其中〃近似為樣本

平均數(shù)3川近似為樣本方差『.

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記x表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187.8,212.2)

的產(chǎn)品件數(shù),利用⑴的結(jié)果，求EX.

|；#：7150?12.2.

若Z?N(〃,J?),則P(加-d<Z<m+d)=0.6826P(m-2d<Z<m+2d)=0.9544.

30.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第19題)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出It該產(chǎn)品

獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每It虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率

分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位：t,100*150)

表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，7(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).

頻率/組距

0.030...............................

100110120130140150需求量/t

(1)將7表示為X的函數(shù)；

(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)7不少于57000元的概率;

(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為

需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若xC[100,110),則取T=105,且X=105的概率等于需求量落入

[100,110)的7的數(shù)學(xué)期望.

31.(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第19題)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取

4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為

優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品

通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)。

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為0.5,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品

相互獨(dú)立

(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率：

(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)

用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題13概率統(tǒng)計(jì)解答題

一、解答題

1.（2022年全國(guó)甲卷理科?第19題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10

分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)

目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率：

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6；（2）分布列見(jiàn)解析：，E（X）=13.

解析：（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為48,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

P（Z=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

P（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P〈X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

【題目欄目】概率'相互獨(dú)立事件'相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

【題目來(lái)源】2022年全國(guó)甲卷理科?第19題

2.（2022年全國(guó)乙卷理科?第19題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)

某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單

位：??），得到如下數(shù)據(jù)：

樣

本總

12345678910

號(hào)和

i

根

部

橫

截0.040.060.040.080080.050.050.070.070.060.6

面

積

X]

材

積

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

里

兒

101010

并計(jì)算得=0.038,X片=1.6158,=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為

186m2.己知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材

積量的估計(jì)值.

支（七—三）（乂一歹）____

附：相關(guān)系數(shù)r=I“，J1.896x1.377.

￡（玉-無(wú)）2支（乂一力2

Vi=li=l

【答案】（1）0.060?；0.39m3

⑵0.97

⑶1209m'

解析：【小問(wèn)1詳解】

樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值亍=箸=0.06

樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值3=3a9=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m，

【小問(wèn)2詳解】

1010

￡(七一方)(乂一刃Zx/TO藥

"=i=]=i=l

&(…曙叱才/&2_104邑2_回

=0.2474-10x0.06x0.39=0334,0.0134,

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

則尸標(biāo)0.97

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為Km3,

又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得萬(wàn)行=-p-,解之得Y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為1209m3

【題目欄目】統(tǒng)計(jì)'相關(guān)關(guān)系、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)'線性回歸方程

【題目來(lái)源】2022年全國(guó)乙卷理科?第19題

3.(2022新高考全國(guó)H卷?第19題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,

得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

頻率/組距

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%.從該地區(qū)中任選一