5.6二項(xiàng)式定理十大典型例題配套練習(xí)

/選修２-3:二項(xiàng)式定理常見題型１.二項(xiàng)式定理：，2．基本概念:①二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式.②二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù).③項(xiàng)數(shù):共n+1項(xiàng)，是關(guān)于與的齊次多項(xiàng)式④通項(xiàng)：展開式中的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用表示。３。性質(zhì):①二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．②二項(xiàng)式系數(shù)和:令,可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式.③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和＝偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令，則,從而得到:④二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)取得最大值。⑤系數(shù)的最大項(xiàng):求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為,設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)有,從而解出來。⑥題型一：二項(xiàng)式定理的逆用;例:解:練：解:題型二：利用通項(xiàng)公式求的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式的展開式中倒數(shù)第項(xiàng)的系數(shù)為,求含有的項(xiàng)的系數(shù)?解：由條件知,即，，解得，由,由題意，則含有的項(xiàng)是第項(xiàng)，系數(shù)為.練：求展開式中的系數(shù)？解:，令,則故的系數(shù)為。題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例:求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解：，令,得，所以練：求二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解:,令,得，所以練：若的二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則解:，令,得。題型四:利用通項(xiàng)公式,再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式展開式中的有理項(xiàng)?解：,令,(）得,所以當(dāng)時(shí)，,，當(dāng)時(shí),,。題型五:奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和＝偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,求.解:設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為,則有①,，則有②將①—②得：有題意得，，。練：若的展開式中,所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，求它的中間項(xiàng)。解：，，解得所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為,,題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng);例:已知，若展開式中第項(xiàng)，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解:解出,當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是,當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，.練：在的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，也就是第項(xiàng).練：在的展開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則，即，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于練：寫出在的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值,從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?解：由解出,假設(shè)項(xiàng)最大,，化簡(jiǎn)得到，又，,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為,有練：在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：假設(shè)項(xiàng)最大，，化簡(jiǎn)得到，又,，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法①：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的展開式中才有x的一次項(xiàng),此時(shí),所以得一次項(xiàng)為它的系數(shù)為。解法②：故展開式中含的項(xiàng)為,故展開式中的系數(shù)為２40.練:求式子的常數(shù)項(xiàng)?解：，設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，得，，.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例:解：.練：解：.練:解：題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例:解：題型十：賦值法;例：設(shè)二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，若,則等于多少?解:若,有,,令得,又，即解得，。練：若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解：令，則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,所以，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為。練:解：練：解：題型十一：整除性;例：證明:能被64整除證：由于各項(xiàng)均能被64整除練習(xí)：１、(x-1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是1、設(shè)f(x）=（x－1）11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是2、2、4n３、的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第項(xiàng)3、3，9,1５，2１4、(２x—１)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、（2x－１)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(２x＋1)5展開式系數(shù)之和，故令x＝1，則所求和為35５、求（1+x+x2)（１-x)1０展開式中x4的系數(shù)5、，要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1—x)９展開式中的項(xiàng)作積，第一個(gè)因式中的－x3與(1—ｘ)9展開式中的項(xiàng)作積,故x４的系數(shù)是6、求(1+ｘ）+(1+x)2+…+(1＋ｘ)10展開式中x3的系數(shù)6、=,原式中x3實(shí)為這分子中的x4,則所求系數(shù)為7、若展開式中，x的系數(shù)為21,問m、n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最?。?、由條件得ｍ+n＝２１，x2的項(xiàng)為,則因n∈N，故當(dāng)ｎ=１0或１1時(shí)上式有最小值，也就是m=１1和n=10，或ｍ=10和n＝１1時(shí)，x2的系數(shù)最小8、自然數(shù)ｎ為偶數(shù)時(shí)，求證：８、原式=９、求被９除的余數(shù)9、,∵k∈Ｚ，∴9k－1∈Z,∴被９除余81０、在（x2+3x+2)5的展開式中,求x的系數(shù)10、在(x+1）５展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(２＋x）５展開式中，常數(shù)項(xiàng)為2５=3２，含x的項(xiàng)為